黑龙江省哈尔滨市第三中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学（理）试题

黑龙江省哈尔滨市第三中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学（理）试题

哈三中2019-2020学年度上学期 高二学年10月月考数学(理科)试卷 第Ⅰ卷 (选择题,共60分)‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】因为线段垂直平分线上的点到点，的距离相等，‎ 所以 ‎．‎ 即：‎ ‎，‎ 化简得：．‎ 故选：．‎ ‎2.已知是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，且，则的面积是（ ）‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用余弦定理以及椭圆的定义可得，再由三角形面积公式:即可求得 的面积.‎ ‎【详解】在中，根据余弦定理得:‎ 即┄①‎ ‎ 由椭圆的定义得: ‎ 故:‎ 整理得:┄②‎ 由①②得 ‎ ‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的方程、椭圆的定义以及余弦定理的应用,能够掌握椭圆知识和余弦定理基础上,灵活使用是解题的关键.‎ ‎3.已知两条直线： ， ： 平行，则（ ）‎ A. -1 B. 2 C. 0或-2 D. -1或2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由两直线平行，且直线的斜率存在，所以，他们的斜率相等，解方程求a．‎ 解：因为直线l1：（a﹣1）x+2y+1=0的斜率存在，‎ 又∵l1∥l2，‎ ‎∴，‎ ‎∴a=﹣1或a=2，两条直线在y轴是的截距不相等，‎ 所以a=﹣1或a=2满足两条直线平行．‎ 故选D．‎ 点评：本题考查两直线平行的性质，当两直线的斜率存在且两直线平行时，他们的斜率相等，注意截距不相等．‎ ‎4.如果表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把方程写成椭圆的标准方程形式，得到形式，要想表示焦点在轴上的椭圆，必须要满足，解这个不等式就可求出实数的取值范围。‎ ‎【详解】转化为椭圆的标准方程，得，因为表示焦点在轴上的椭圆，所以，解得.所以实数的取值范围是.选A.‎ ‎【点睛】本题考查了焦点在轴上的椭圆的方程特征、解分式不等式.‎ ‎5.已知点A(2, 3)，B(－3, －2)，若直线l过点P(1, 1)且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）‎ A. k≥2或k≤ B. ≤k≤2 C. k≥ D. k≤2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：因为，，结合图象可知，当或时，则直线与线段相交，故选A．‎ 考点：直线的斜率．‎ ‎6.若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将曲线变形,可知它是一个半圆,作出图形,可知直线过点时,与半圆有一个交点,直线与半圆相切于点时,也有交点,分别求出两种情况的斜率,可得出答案.‎ ‎【详解】由,得,‎ 作出如下的图形,显然曲线为半圆,直线过点时,与半圆有一个交点,直线与半圆相切于点时,也有交点,‎ 当直线与半圆相切时,设斜率为,则直线方程为,‎ 由圆心到直线的距离等于半径得:,解得;‎ 当直线过点时,易知,此时直线的斜率为.‎ 故直线与曲线有公共点时，直线的斜率的取值范围为.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用,考查了点到直线的距离公式的应用,考查了数形结合的解题思想,属于中档题.‎ ‎7.设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为 ‎ A. B. C. D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 绘制不等式组表示的可行域如图所示，结合目标函数的几何意义可得，目标函数在点处取得最小值.‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.‎ ‎8.已知点，，若点在圆上运动，则面积的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先把圆的方程化为标准方程,求出圆心和半径.经分析,当面积的最小值,即求出圆上的点到直线的最小值,最小值为,由点到直线的距离公式即可求出,即可求得面积的最小值.‎ ‎【详解】圆的方程,得 圆圆心,圆的半径 由,得 直线的方程为,即 ‎ 点到直线的距离: ‎ 直线与给定的圆相离,圆上的点到直线的距离的最小值 又 ‎ ‎.‎ ‎ 面积的最小值为:.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线和圆方程的应用,解题的关键是掌握直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式,通过数形结合求解.‎ ‎9.给出平面区域如图所示,若当且仅当时,目标函数取得最小值,则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 目标函数的截距最大时,取得最小值,只需,求解即可.‎ ‎【详解】由题意,,,‎ 目标函数可化为,截距最大时,取得最小值,‎ 当时,符合题意,即.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查了线性规划,数形结合是解决本题的关键,属于基础题.‎ ‎10.若圆上有且只有两个点到直线的距离等于1，则半径的范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出圆心到直线的距离，再根据有且只有两个点到直线的距离等于1得到半径的范围为．‎ ‎【详解】圆心坐标为，它到直线的距离为，‎ 因为有且只有两个点到直线的距离等于1，故半径，‎ 所以．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】若圆的圆心到直线的距离为，圆的半径为，‎ ‎（1）若圆上有且仅有四个点到直线的距离为，则；‎ ‎（2）若圆上有且仅有三个点到直线的距离为，则；‎ ‎（3）若圆上有且仅有四个点到直线的距离为，则；‎ ‎（4）若圆上有且仅有一个点到直线的距离为，则.‎ ‎11.等腰三角形两腰所在直线的方程分别为与，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（ ）‎ A. 3 B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎，，设底边为 由题意，到所成的角等于到所成的角于是有，‎ 再将A、B、C、D代入验证得正确答案是A。‎ ‎12.已知是椭圆C：的左、右焦点,点P在椭圆C上,线段PF2与圆相切于点Q,且点Q为线段PF2的中点,则椭圆C的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 连接,,先利用三角形中位线定理证明,,而即为圆的半径,从而得焦半径,再利用椭圆的定义,得,最后利用直线与圆相切的几何性质,证明,从而在三角形中利用勾股定理得到间的等式,进而计算离心率.‎ ‎【详解】‎ 如图: 连接,,点为线段的中点,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由椭圆定义得: 即 线段与圆相切于点 ‎ ‎ ‎ 且 即: ‎ ‎ ‎ ‎ 故选: C.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的定义及其运用,直线与圆的位置关系,椭圆的几何性质及离心率的求法.掌握椭圆基础知识和数形结合是本题的关键.‎ 第Ⅱ卷(非选择题,共60分)‎ 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.已知圆C经过两点，圆心在轴上，则C的方程为__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由圆的几何性质得，圆心在的垂直平分线上,结合题意知，求出的垂直平分线方程，令，可得圆心坐标，从而可得圆的半径，进而可得圆的方程.‎ ‎【详解】由圆的几何性质得，圆心在的垂直平分线上,结合题意知，的垂直平分线为，令，得，故圆心坐标为，所以圆的半径，故圆的方程为.‎ ‎【点睛】本题主要考查圆的性质和圆的方程的求解,意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.‎ ‎14.点为直线上的动点，它与两定点，的距离之差的最大值为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 点关于直线:的对称点为,作直线,可得与的交点即为所求点,此时点与两定点，的距离之差最大,求解即可.‎ ‎【详解】由题知,设为,易知点在直线的两侧,‎ 设点关于直线的对称点为,则,解得,即,‎ 作直线,与的交点即为所求点,,可得直线为,‎ 联立,可得.‎ 故.‎ 证明如下:‎ 在上任取一点(不同于点),,,‎ 在中,,即,‎ 故时,取得最大值,最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查了直线的对称问题,作出图形,数形结合是解决本题的关键,属于中档题.‎ ‎15.已知：若直线上总存在点P，使得过点P的的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设两个切点分别为A、B，则由题意可得四边形PAOB为正方形，根据圆心O到直线的距离，进行求解即可得的范围.‎ ‎【详解】圆心为，半径，‎ 设两个切点分别为A、B，则由题意可得四边形PAOB为正方形，‎ 故有，‎ 圆心O到直线的距离，‎ 即，‎ 即，解得或.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题.‎ ‎16.已知P是椭圆上的动点，是椭圆的左右焦点，O是坐标原点，若M是的角平分线上一点，且，则的取值范围是_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设是第二象限的点,作出图形,设与直线交于点,易得,再结合椭圆中,,可得,再由椭圆中,可得.‎ ‎【详解】由题意,设是第二象限的点,作出图形(见下图),设与直线交于点,‎ 因为,所以,‎ 又M是的角平分线上一点，则,,‎ 故是的中位线,则.‎ 是椭圆上的动点，则,‎ 在椭圆中,,,,‎ 则,‎ 则,,‎ 又因为椭圆中,所以,‎ 故,即.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的几何性质,考查了转化思想在解题中的运用,利用三角形的中位线、椭圆中,是解决本题的关键,属于中档题.‎ 三、解答题：本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知圆的方程：．‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）若圆与直线：相交于，两点，且，求的值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【试题分析】（1）先配方，，当时是圆，即求得的范围.（2）先求出圆心到直线的距离，然后利用勾股定理得出半径，进而得到的值.‎ ‎【试题解析】‎ ‎（1）方程可化为，‎ ‎∵此方程表示圆，‎ ‎∴，即．‎ ‎（2）∵圆的方程化为，‎ ‎∴圆心，半径，‎ 则圆心到直线：的距离为 ‎，‎ 由于，则，‎ ‎∵，‎ ‎∴，得．‎ ‎【点睛】本题主要考查二元二次方程什么时候为圆的方程，考查有关圆的弦长的计算方法.对于二元二次方程，当时，方程为圆的方程，当时，为点的坐标.直线和圆相交所得弦长一般利用圆心到直线的距离构造直角三角形来求解.‎ ‎18.已知以点为圆心的圆经过点和，线段的垂直平分线交圆于点和，且．‎ ‎（1）求直线方程；‎ ‎（2）求圆的方程．‎ ‎【答案】（1）（2）或．‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）由题意可得CD过AB的中点，结合点斜式方程可得其直线方程为；‎ ‎（2）设圆心，由圆心在直线上，结合圆的半径整理计算即可求得最终结果可得或，则圆的方程为或．‎ 详解：（1）直线的斜率，中点坐标为，‎ 直线方程为，即；‎ ‎（2）设圆心，则由点在直线上得：①，‎ 又直径，，②‎ 由①②解得：或 圆心或 圆的方程为或．‎ 点睛：求圆的方程，主要有两种方法：‎ ‎(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．‎ ‎(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．‎ ‎19.已知椭圆的方程为，直线与椭圆交于两点，，‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求三角形的面积．‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将直线方程与椭圆方程联立,得到关于的一元二次方程,由,可得,结合韦达定理,可求出的值；‎ ‎（2）结合（1）利用弦长公式可求出,然后求得原点到直线 的距离,可得三角形的面积为,求解即可.‎ ‎【详解】（1）设,,联立,得,‎ ‎,,‎ 又,则,‎ 因为,所以,‎ 即,整理得,‎ 将代入可得,解得.‎ ‎（2）,,,‎ 设原点到直线的距离为,则,‎ ‎.‎ 则三角形的面积为.‎ ‎【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系,考查了韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形面积公式的应用,考查了学生的计算求解能力,属于中档题.‎ ‎20.椭圆的离心率为，过点的动直线与椭圆相交于两点，当直线平行于轴时，直线被椭圆截得线段长为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）在轴上是否存在异于点的定点，使得直线变化时，总有 ‎？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在定点满足题意.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由椭圆的离心率是，直线被椭圆截得的线段长为列方程组求出，从而可得椭圆的标准方程；（2）设直线方程为，由得，，根据韦达定理及斜率公式可得，令，可得符合题意.‎ 试题解析：（1）∵，∴，‎ 椭圆方程化：，由题意知，椭圆过点，‎ ‎∴，解得，‎ 所以椭圆的方程为：；‎ ‎（2）当直线斜率存在时，设直线方程：，‎ 由得，，‎ 设，‎ 假设存在定点符合题意，∵，∴，‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎∵上式对任意实数恒等于零，∴，即，∴，‎ 当直线斜率不存在时，两点分别为椭圆的上下顶点，‎ 显然此时，综上，存在定点满足题意．‎ ‎ ‎