2014届邢台一模理科数学试题及答案

2014届邢台一模理科数学试题及答案

‎2014年邢台市普通高考模拟考试 理科数学参考答案及评分标准 ‎(Ⅱ)记，其中 ‎ 由正弦定理得，，………8分 ‎ ，‎ 其中， ……10分 ‎ 可以取到 ‎ ‎ ‎ ‎ 因此的最大值为 ……………………12分 ‎18．解析：(Ⅰ)第二组的频率为，‎ ‎ 所以高为　‎ ‎·‎ ‎ 频率分布直方图如下：‎ ‎·‎ ‎·‎ ‎·‎ ‎ ………………2分 ‎·‎ ‎·‎ ‎·‎ ‎·‎ ‎ ‎ ‎ 第一组的人数为，频率为，所以 ‎ 第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为，所以 ‎ 第四组的频率为，第四组的人数为 ‎ 所以 ………………6分 ‎ (Ⅱ)因为岁年龄段的“低碳族”与岁年龄段的“低碳族”的比值为60:30=2:1，‎ ‎ 所以采用分层抽样法抽取18人，岁中有12人，岁中有6人，随机变量 ‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ ‎ ‎ 所以随机变量的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎ ………10分 ‎∴数学期望 ………………12分 ‎19.（Ⅰ）证明：由四边形为菱形，，可得△为正三角形.‎ ‎ 因为为的中点，所以.又，因此.………2分 ‎ 因为，，所以.而， ‎ ‎ 且，所以，又.‎ ‎ 所以 …………………4分 ‎ （Ⅱ）解：为上任意一点，连接.由（Ⅰ）知，‎ ‎ 则为直线与平面所成的角.‎ ‎ ‎ ‎ 所以 当最短时，最大，‎ ‎ 即 当时，最大.‎ ‎ 此时 ‎ ‎ .又，所以 所以 ………6分 解法一：因为，，‎ ‎ 所以 .‎ ‎ 过作于，则，‎ ‎ 过作于，连接，‎ 则为二面角的平面角， ………8分 ‎ 在Rt△中， ，,………10分 ‎ 又是的中点，在Rt△中，,‎ ‎ 又 ‎ ‎ 在Rt△中， ‎ ‎ 即所求二面角的余弦值为 ……………12分 解法二：由（Ⅰ）知两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标 ‎ 系，又分别为的中点，所以,‎ ‎ ，‎ ‎ 所以 ………8分 ‎ 设平面的一个法向量为 ‎ ‎ ‎ ………10分 ‎ ‎ ‎ 所以，故 为平面的一个法向量.‎ ‎ 又，所以.‎ ‎ 因为二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为.………12分 ‎20解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，则， ①‎ ‎ ∵抛物线的焦点为，∴，   ② ……2分 ‎ 又， ③‎ ‎ 由①、②、③得，‎ ‎ 所以椭圆的方程为 ……………………4分 ‎（Ⅱ）依题意，直线的斜率为-1，由此设直线的方程为，‎ ‎ 代入椭圆的方程，得，‎ ‎ 由△，得 ……………….6分 ‎ 记、，‎ ‎ 则，‎ ‎ 圆的圆心为，‎ ‎ 半径， …………8分 ‎ 当圆与轴相切时，，‎ ‎ 即，， ……………….10分 ‎ 当时，直线的方程为，‎ ‎ 此时，，圆心为（2，1），半径为2，‎ ‎ 圆的方程为；‎ ‎ 同理，当时，直线的方程为，‎ ‎ 此时，，圆心为（-2，-1），半径为2，‎ ‎ ……………………………………12分 ‎21.解：（Ⅰ）的定义域为 ‎ …………2分 ‎ 当时，，则在内单调递减 …………4分 ‎ 当时，，，单调递减；‎ ‎ ，，单调递增 ………………………6分 ‎（Ⅱ）当时，由（1）可知在内单调递减，在内单调递增 ‎ ， ………8分 ‎ 即， ‎ ‎ 令 ‎ 而，‎ 易知时，取得最大值,即 ………10分 ‎ ∴ ‎ ‎ …………………12分 ‎22.解：（Ⅰ） 由是圆的切线，因此=，‎ ‎ 在等腰中，，可得，所以 ‎ ‎ . ……………… 5分 ‎（Ⅱ） ‎ ‎ ，由切割线定理可知，‎ ‎ ，则，又，可得 . ……10分 ‎23. 解:（Ⅰ）曲线的普通方程为 ‎ 直线的参数方程为 ……………………………5分 ‎（Ⅱ）将的参数方程为代入曲线的方程得：‎ ‎ ……………………………………10分 ‎24.解: （Ⅰ）当时，不等式为 ‎ 当时，不等式即， ‎ ‎ 当时，不等式即， ‎ ‎ 综上，不等式的解集为 ……………………………………5分 ‎（Ⅱ）‎ ‎ 当时，单调递减，无最小值；‎ ‎ 当时，在区间上单调递减，在上单调递增， ‎ ‎ 处取得最小值 ‎ 当时，单调递增，无最小值；‎ ‎ 综上， …………………………………………………………10分