上海市上海师范大学附属中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

上海市上海师范大学附属中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

上师大附中2019学年第一学期期中考试 高二年级数学学科 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分．‎ ‎1.已知直线，，则与的夹角为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据两直线的方程求出他们的斜率及倾斜角，在坐标系中画出图形，结合图形求出直线与的夹角的大小．‎ ‎【详解】解：直线，，‎ 直线的斜率为，倾斜角为，‎ 的斜率不存在，‎ 如图所示：‎ 故直线与的夹角为，‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，两直线的夹角的定义，体现了数形结合的数学思想．‎ ‎2.向量，则在方向上的投影为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平面向量的数量积运算与向量投影的定义，写出对应的运算即可．‎ ‎【详解】解：，‎ ‎，‎ ‎；‎ 向量在向量方向上的投影为：‎ ‎．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算与向量投影的定义与应用问题，是基础题．‎ ‎3.已知向量，若，则_________ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为，所以，，即，解得．‎ 考点：向量垂直的性质，考查学生的基本运算能力．‎ ‎4.若圆的圆心到直线的距离为，则a的值为_________．‎ ‎【答案】5或1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用点到直线的距离公式求出结果．‎ ‎【详解】解：圆圆心坐标为：，‎ 则：圆心到直线的距离，‎ 解得：或．‎ 故答案为：或 ‎【点睛】本题考查的知识要点：点到直线的距离公式的应用．‎ ‎5.过点与点且半径最小圆的标准方程为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 过两点的半径最小的圆即是以这两点为直径的圆。‎ ‎【详解】解：由题意知，过点与点且半径最小的圆是以 为直径圆，则的中点为圆心，‎ 故圆的方程为：，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查圆的标准方程，属于基础题。‎ ‎6.已知入射光线经过点，被x轴反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出关于x轴对称的点的坐标，反射光线必过点，又反射光线经过点，即可求出直线方程。‎ ‎【详解】解：由题意，关于x轴对称的点为，反射光线必过点，又反射光线经过点，故直线的斜率，故直线方程为 ‎，化成一般式得，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查点关于直线对称的坐标，求直线的一般式方程，属于基础题。‎ ‎7.已知,，且，则点的坐标为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，则，，，由，，利用向量共线定理、向量垂直与数量积的关系即可得出．‎ ‎【详解】解：设，则，，，‎ ‎，，，，‎ 解得，．‎ 则点的坐标：．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了向量共线定理、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎8.已知圆截直线所得线段的长度是，则圆M与圆的位置关系是_________．‎ ‎【答案】相交 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直线与圆相交的弦长公式，求出的值，结合两圆的位置关系进行判断即可．‎ ‎【详解】解：圆的标准方程为，‎ 则圆心为，半径，‎ 圆心到直线的距离，‎ 圆截直线所得线段的长度是，‎ 即，，‎ 则圆心为，半径，‎ 圆的圆心为，半径，‎ 则，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 即两个圆相交．‎ 故答案为：相交．‎ ‎【点睛】本题主要考查直线和圆相交的应用，以及两圆位置关系的判断，根据相交弦长公式求出的值是解决本题的关键．‎ ‎9.已知两点，，过点的直线与线段AB有公共点，则的倾斜角的取值范围为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出图形，求出直线的斜率，直线的斜率，从而得到直线的倾斜角和直线的倾斜角，即得直线的倾斜角的取值范围．‎ ‎【详解】解：如图，要使与线段有公共点，则直线的倾斜角介于直线的倾斜角 和直线的倾斜角之间，直线的斜率为，‎ 直线的倾斜角是，‎ 又直线的斜率为，故直线的倾斜角是，‎ 故，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，体现了数形结合的数学思想．‎ ‎10.已知实数a，b，c成等差数列，点在直线（a，b不全为0）上的射影是M，若点的坐标是，则线段MN的长度的最大值是_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 实数，，成等差数列，可得，于是动直线，不同时为零）化为：，即，利用直线系可得：动直线过定点：．因此点在以为直径的圆上，利用中点坐标公式可得：圆心为线段的中点：，半径．则线段长度的最大值．‎ ‎【详解】解：实数，，成等差数列，‎ ‎，‎ 动直线，不全为零）化为：，变形为，‎ 令，解得．‎ 动直线过定点：．‎ 点在以为直径的圆上，‎ 圆心为线段的中点：，半径．‎ 线段长度的最大值．‎ 故答案：．‎ ‎【点睛】本题综合考查了直线系、等差数列的性质、圆的性质、点与圆的位置关系、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ ‎11.在平行四边形ABCD中，，边AB，AD的长分别为2和1，若M，N分别是边BC，CD上的点,且满足，则的取值范围是_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系，求出，的坐标，然后通过二次函数求出数量积的范围．‎ ‎【详解】解：建立如图所示的直角坐标系，则，，‎ ‎，设，，则，，，，‎ 所以，，，‎ 因为，二次函数的对称轴为：，所以时，．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查向量的综合应用，平面向量的坐标表示以及数量积的应用，二次函数的最值问题，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎12.已知是平面内三个单位向量，若，则的最小值是_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 所以可以把他们当成平面直角坐标系的基向量， ，所以问题转化为求的最小值，又表示点到点和的距离之和，即可求解。‎ ‎【详解】解：根据题意设，，对应的点在单位圆上，‎ ‎，所以，‎ 表示点到点和的距离之和，‎ 过点和的直线为，‎ 原点到直线的距离为，所以与单位圆相交，‎ 所以的最小值为点和之间的距离，即．‎ ‎【点睛】本题考查平面向量的坐标运算、解析几何中直线与圆的位置关系，综合性很强，属于中档题．‎ 二、选择题（本大题共有4小题，满分20分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得0分．‎ ‎13.在平面直角坐标系内，设，为不同的两点，直线l的方程为，，下面四个命题中的假命题为（ ）‎ A. 存在唯一的实数δ，使点N在直线上 B. 若，则过M，N两点的直线与直线l平行 C. 若，则直线经过线段M，N的中点；‎ D. 若，则点M，N在直线l的同侧，且直线l与线段M，N的延长线相交；‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意对一一分析，逐一验证。‎ ‎【详解】解：对于，化为：，即点，不在直线上，因此不正确．‎ 对于，，则，即过，两点的直线与直线的斜率相等，又点，不在直线上，因此两条直线平行，故正确；‎ 对于，，则，化为，因此直线经过线段的中点，故正确；‎ 对于，，则，则点，在直线的同侧，故正确；‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了直线系方程的应用、平行直线的判定、点与直线的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ ‎14.已知点A,B,C在圆上运动，且ABBC，若点P的坐标为（2，0），则的最大值为（ ）‎ A. 6 B. 7 C. 8 D. 9‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题意，AC为直径，所以,当且仅当点B为（-1，0）时，取得最大值7，故选B.‎ 考点：直线与圆的位置关系、平面向量的运算性质 ‎【名师点睛】与圆有关的最值问题是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想.‎ ‎ 由平面几何知识知，圆上的一点与圆外一定点距离最值在定点和圆心连线与圆的两个交点处取到．圆周角为直角的弦为圆的半径，平面向量加法几何意义这些小结论是转化问题的关键.‎ ‎15.如图，在平面四边形ABCD中，‎ 若点E为边CD上的动点，则的最小值为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】分析：由题意可得为等腰三角形，为等边三角形，把数量积分拆，设，数量积转化为关于t的函数，用函数可求得最小值。‎ 详解：连接BD,取AD中点为O,可知为等腰三角形，而，所以为等边三角形，。设 ‎=‎ 所以当时，上式取最小值 ，选A.‎ 点睛：本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示。同时利用向量共线转化为函数求最值。‎ ‎16.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：‎ ‎①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；‎ ‎②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；‎ ‎③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.‎ 其中，所有正确结论的序号是 A. ① B. ② C. ①② D. ①②③‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将所给方程进行等价变形确定x的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.‎ ‎【详解】由得,,,‎ 所以可为的整数有0,-1,1,从而曲线恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.‎ 由得,,解得,所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过. 结论②正确.‎ 如图所示,易知,‎ 四边形的面积,很明显“心形”区域的面积大于,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查曲线与方程､曲线的几何性质，基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知识､基本运算能力及分析问题解决问题的能力考查,渗透“美育思想”.‎ 三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应端号的规定区城内写出必要的步骤．‎ ‎17.设直线l的方程为 ‎（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．‎ ‎（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）或 （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对分类讨论，利用截距式即可得出；‎ ‎（2），由于不经过第二象限，可得，解出即可得出．‎ ‎【详解】解：（1）若，解得，化为．‎ 若，解得，化为，舍去．‎ 若且，化为：，令，化为，解得，‎ 可得直线的方程为：．‎ 综上所述直线的方程为：或；‎ ‎（2）直线的方程可化为 ‎∵不过第二象限，‎ ‎，.‎ ‎【点睛】本题考查了直线的方程、不等式的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎18.已知圆．‎ ‎（1）若圆的切线过坐标原点，求此切线的方程：‎ ‎（2）从图外一点向该调引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有，求使得取最小值时的点P的坐标．‎ ‎【答案】（1）， （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对斜率存在与否分类讨论，利用圆心到切线的距离等于半径列方程求系数即可；‎ ‎（2）可先利用可用点到圆心的距离与半径来表示），求出点的轨迹（求出后是一条直线），然后再将求的最小值转化为求直线上的点到原点的距离之最小值；‎ ‎【详解】解:（1）圆 ‎①切线过原点，且斜率存在 设切线方程是：，由，解得，‎ 即切线方程是，‎ ‎②斜率不存在，不满足题意；‎ 所以切线方程是，．‎ ‎（2）连结PC，MC ‎∵PM切面C于M，，‎ 联立得：．‎ 设代入上式再：‎ 化简得：．‎ 时，即为时，最小．‎ ‎【点睛】这个题重点考查了直线与圆的位置关系，切线问题一般利用半径弦心距列方程；切线长问题一般会考虑到点到圆心距、切线长、半径满足勾股定理列方程，属于综合题。‎ ‎19.已知两个不共线的向量满足，．‎ ‎（1）若与垂直，求向量与的夹角；‎ ‎（2）当时，若存在两个不同的θ使得成立，求正数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1），（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由与垂直，求出，由此能求出向量与的夹角．‎ ‎（2）由，，得到，由此能求出正数的取值范围．‎ ‎【详解】解：（1）两个不共线的向量满足，，．‎ ‎，，‎ 与垂直，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎（2），，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，，‎ 存在两个不同的使得成立，‎ ‎，即，‎ ‎，，‎ 正数的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题考查平面向量的模的求法，考查正数的取值范围的求法，考查向量垂直、向量的模、向量的数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．‎ ‎20.出租车几何学是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创立的．在出租车几何学中，点还是形如的有序实数对，直线还是满足的所有组成的图形，角度大小的定义也和原来一样．直角坐标系内任意两点，，定义它们之间的一种“距离”：；到两点P．Q“距离”相等的点的轨迹称为线段PQ的“垂直平分线”．已知点、、，请解决以下问题：‎ ‎（1）求线段上一点到原点的“距离”；‎ ‎（2）写出线段AB的“垂直平分线”的轨迹方程，并作出大致图像；‎ ‎（3）定义：若三角形三边的“垂直平分线”交于一点，则该点称为三角形的“外心”．试判断 的“外心”是否存在，如果存在，求出“外心”；如果不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（1）2 （2）见解析 （3）存在，；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据出租车几何学中“距离”的定义计算；‎ ‎（2）根据出租车几何学中“垂直平分线”的定义计算，即可得到图象；‎ ‎（3）设“外心”坐标为，根据定义且，得到坐标。‎ ‎【详解】解：（1)‎ ‎（2），‎ 若，则；‎ 若，则；‎ 若，则；‎ ‎（图中每格小正方形单位是1）‎ ‎（3）设“外心”坐标为．则 由，得，‎ 所以点M在上 又因为，得，‎ 所以点M在上，‎ ‎，所以“外心”，‎ 点在6|+|n-9|上，‎ 所以三边交于一点，存在“外心”．‎ ‎【点睛】本题给出一个新的定义，叫我们求该定义下的“距离”和“外心”的图象，着重考查了对新定义的理解和进行简单的演绎推理等知识，属于基础题．‎ ‎21.已知a、b、c为的三边长，直线的方程为，圆．‎ ‎（1）若为直角三角形，c为斜边长，且直线与圆M相切．求c的值；‎ ‎（2）已知为坐标原点，点，，，，平行于ON的直线h与圆M相交于R，两点，且，求直线h的方程：‎ ‎（3）若为正三角形，对于直线上任意一点P，在圆上总存在一点，使得线段的长度为整数，求c的取值范围；‎ ‎【答案】（1） （2）或 （3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）为直角三角形，为斜边长，则，又直线与圆相切，根据点到直线的距离公式，得到关于的方程，求出即可．‎ ‎（2）由直线平行于计算出斜率，设直线h的方程为，利用点到线的距离公式求距离，勾股定理得到方程，即可求出参数。‎ ‎（3）此时圆为以为圆心，以为半径的圆，直线可化为，直线上任意一点，在圆上总存在一点，使得线段的长度为整数，设圆心到直线的距离为，只需能用整数表示，并且圆的直径即可．‎ ‎【详解】解：（1）由题意得，‎ 圆心到直线的距离，‎ 或0（舍）‎ 综上：.‎ ‎（2）圆M标准方程为，‎ 所以圆心，半径为5．‎ 因为直线，所以直线h的斜率为．‎ 设直线h的方程为，即，‎ 则圆心M到直线h的距离．‎ 因为 而，所以，‎ 解得或．‎ 故直线h的方程为或．‎ ‎（3）为正三角形，‎ ‎，直线，‎ ‎，对于这条直线，总存在无穷多点在圆外，‎ 从中找一个到圆心距离为的点P，则点P到图上任意点的距离，‎ ‎，时不存在整数，‎ ‎；下面分类讨论：‎ ‎（Ⅰ）直线与圆相切或相离，即；即；‎ 此时，所以可以取到整数．‎ ‎（Ⅱ）线与圆相交，即，直线上不在圆内的点P，同理成立；‎ 对于直线上在圆内部分的任意点P，，‎ ‎,‎ 所以使得存在整数的条件是对任意点P都成立，‎ ‎，，‎ 所以，‎ 综上.‎ ‎【点睛】本题考查了直线与圆相切的充要条件、直线与圆的位置关系的判定，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ ‎ ‎