广东省大埔县虎山中学2019-2020学年高二下学期数学竞赛

广东省大埔县虎山中学2019-2020学年高二下学期数学竞赛

‎2020年虎山中学高二数学竞赛2020-6-21‎ 考试时间：80分钟 总分：120分 一、填空题（共8道小题，每小题8分，共64分）。‎ ‎1．若，且，则z的最小值是________.‎ ‎2．已知函数，若方程有两个根，则实数m的取值范围为_____.‎ ‎3．已知多项式，则______.‎ ‎4．定义新运算：，已知数列满足，且，则= .‎ ‎5．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则__________．‎ ‎6．设，且，则______．‎ ‎7．已知点为△ABC内一点，+2+3=，则=_________．‎ ‎8．已知椭圆C：1(a>b>0)的左、右焦点分别为，且椭圆C与双曲线C'：1共焦点，若椭圆C与双曲线C'的一个交点M满足，则的面积是___________.‎ 二、解答题 ‎9．（16分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知c＝1，C．‎ ‎（1）若，，求；‎ ‎（2）若，求△ABC的面积．‎ ‎10．（20分）如图，四棱锥中，平面，，，，.是棱上的一点，.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若二面角的余弦值为.多面体的体积为，求.‎ ‎11．（20分）已知二次函数满足，，，.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）求证：时，；‎ ‎（3）求证：.‎ 参考答案 一、填空题 ‎1． 2．或 3． 4． 5．‎ ‎6. 7．3 8．‎ 二、解答题 ‎9．（1）（2）或 解：（1）∵，C，，‎ ‎∴可得，‎ ‎∴‎ 即 ‎（2）∵，可得 ‎∴由，得，‎ 即，可得 ‎∴或 ‎①，得，结合得 ‎∴，‎ ‎△ABC的面积 ‎②若，则，‎ 由余弦定理，得 即，解之得，从而 ‎△ABC的面积 综上：△ABC的面积为或.‎ ‎10．（1）证明见解析；（2）.‎ 解：（1）四边形中，，，所以.‎ 在中，，，所以，.‎ 则在中，，，，‎ 所以，解得：.‎ 由，知，即.‎ 因为底面，平面，所以.‎ 因为，是平面上的两条相交直线，所以面.‎ 因为平面，所以平面平面. ‎ ‎（2）由（1）知：，，两两垂直，以C为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，，.‎ 设，则，.‎ 由（1）知，底面，故取平面的法向量为.‎ 又，，‎ 设平面的法向量为，则，即，‎ 取，，得.‎ 所以，由条件，知：，‎ 整理得：①.四棱锥的体积，‎ 又到面距离，所以的体积，‎ 则多面体的体积为②，‎ 由①，②得：，解得：或.‎ 因为E是棱上的一点，所以.从而，.‎ ‎11．（1）（2）证明见解析；（3）证明见解析；‎ 解：（1）由，得的对称轴为，‎ 所以可设，‎ 由 ‎，即.‎ ‎（2）设，‎ ‎，‎ 令，即，‎ 则，‎ 由，‎ 在区间上单调递减，在区间上单调递增，.‎ ‎∴，‎ ‎∴在上单调递增，‎ ‎∴时，，‎ ‎∴.‎ ‎（3）由（2）知即.‎ 易知时，，，‎ ‎，‎ 所以，‎