2020年湖北省黄冈中学高考数学模拟试卷(理科)(四) (含答案解析)

2020年湖北省黄冈中学高考数学模拟试卷(理科)(四) (含答案解析)

䁧 的单调减区间为 䁧⸴ ൌ ݋Ͳ⸴ ݔͲ⸴ 函数 h. h D. h C. Ͳ B. A. ． 䁧 若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的体积为 7. D. 1 C. 2 B. 3 䁧A. 4 运行如图的程序框图，输出的 n 值为 . C. 必要非充分条件 D. 既非充分也非必要条件 䁧 A. 充要条件 B. 充分非必要条件 ”的 ⸴ t Ͳ ”是“ 1 或 ⸴ 1 ，则“ 已知 x， 5. C. 6 D. 50 5 Ͳ ʹ t ʹ ൌ 䁧A. 5 B. ，则 ，若 ൌ 䁧Ͳ1 ൌ 䁧⸴ 已知向量 . ⸴ሼ t ሼ Ͳ ⸴ሼ ， ⸴ሼ ሼ D. ⸴ t ሼ Ͳ ⸴ ， ⸴ ሼ ⸴ሼ t ሽ ሼC. Ͳ ⸴ሼ ， ⸴ሼ ሼ B. ⸴ t ሽ ሼ Ͳ ⸴ ， ⸴ ሼ 䁧 A. ”的否定是 ⸴ሼ t ሽ ሼ Ͳ ⸴ሼ ， ⸴ሼ ሼ 命题“ . D. 10 5 ʹʹ ൌ 䁧A. 3 B. 5 C. ，则 1t i thi ൌ 已知复数 Ͳ. ሼͲ D. 䁧ሼͲ C. ሼͲ B. Ͳ ൌ 䁧A. ，则 ൌ ⸴ ʹ⸴ ሽ ， ൌ ሼͲ 集合 1. 一、单项选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 年湖北省黄冈中学高考数学模拟试卷(理科)(四) 2020 ； 1ܥ ܥ1 的体积为定值且 1䁨ܥ 三棱锥 上移动，给出下列命题： 䁨1 中，点 P 在直线 1ܥ11䁨1 ܥ䁨 如图，在正方体 1. 面积的最小值为________． B 是切点，则 的两条切线，A， ൌ 1 Ͳ t 䁧 1 Ͳ ⸴ 上的动点，PA，PB 是圆 C： Ͳ⸴ t t ൌ ሼ 是直线 䁧⸴ 点 15. ____________． 的形状为 䁨 ，则 sin ൌ Ͳݔ݋䁨 ，且 䁧 t t 䁧 t ൌ 中，已知 䁨 在 1. 的系数是 80，则实数 a 的值是_______． ⸴ 的展开式中 5 䁧⸴ 1 若 1. Ͳ Ͳ e二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） Ͳ e D. Ͳ Ͳ e Ͳ e C. Ͳ e e B. Ͳ e e A. 䁧 内有两个不同的极值点，则实数 a 的取值范围是 Ͳ Ͳ 1 在 ⸴ t ⸴ ln⸴ ⸴ e ⸴ ൌ 若函数 1Ͳ. 17t1 D. 17tͲ C. 17t B. 17t 䁧A. ，则双曲线的离心率是 䁧 ሼ 象与点 P 处的切线过双曲线左焦点 的图 ൌ ⸴ 的图象交于点 P，若函数 ൌ ⸴䁧⸴ ሼ 与函数 ൌ 1䁧 ሼ ሼ Ͳ Ͳ Ͳ Ͳ ⸴ 已知双曲线 11. 䁧 Ͳ ∪ 䁧Ͳ t D. 䁧ሼͲ 䁧Ͳ t C. B. Ͳ t 䁧 A. 有极值，则 a 的取值范围是 ⸴ t ln⸴ Ͳ Ͳ ⸴ 1 䁧⸴ ൌ 若函数 1ሼ. 䁧 1 t D. 䁧 1 C. 䁧 11 B. 䁧 䁧A. 则实数 m 的取值范围是 ， ⸴ሼ Ͳሼ ൌ 满足 ⸴ሼሼ 表示的平面区域内存在点 ሼ ⸴ t ሽ ሼ Ͳ⸴ t ሼ 若关于 x，y 的不等式组 9. ， 1Ͳ 5 1Ͳ t D. ， 1Ͳ 1Ͳ Ͳ 7 Ͳ C. ， 1Ͳ 1Ͳ 7 B. ， Ͳ t t A. 直线 AP 与平面 䁨ܥ1 所成角的大小不变； 二面角 ܥ1 䁨 的大小不变； 是平面 11䁨1ܥ1 上到点和距离相等的点，则 M 点的轨迹是过 ܥ1 点的直线且平行于 BC 的 直线． 其中真命题的个数是________ 䁧 写出所有真命题的编号 ． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） 17. 已知数列 是等差数列，且 1 ൌ Ͳ ， 1 t Ͳ t ൌ 1Ͳ ． 䁧1 求数列 的通项公式及前 n 项和 ； 䁧Ͳ 求 1 1 t 1 Ͳ t 1 t t 1 1ሼ 的值． 18. 某学校研究性学习小组调查学生使用智能手机对学习成绩的影响，部分统计数据如表： 使用智能手机 不使用智能手机 总计 学习成绩优秀 4 8 12 学习成绩不优秀 16 2 18 总计 20 10 30 䁧 Ⅰ 根据以上 Ͳ Ͳ 列联表判断，能否在犯错误的概率不超过 ሼ.ሼሼ5 的前提下认为使用智能手机 对学习成绩有影响？ 䁧 Ⅱ 从学习成绩优秀的 12 名同学中，随机抽取 2 名同学，求抽到不使用智能手机的人数 X 的分 布列及数学期望． 参考公式： Ͳ ൌ 䁧ܽ Ͳ 䁧t䁧tܽ䁧t䁧tܽ ，其中 ൌ t t t ܽ参考数据： 䁧⸷ ሼ ሼ.ሼ5 ሼ.ሼͲ5 ሼ.ሼ1ሼ ሼ.ሼሼ5 ሼ.ሼሼ1 ሼ .h1 5.ሼͲ .5 7.h79 1ሼ.hͲh 19. 如图，在四棱锥 䁨ܥ 中，底面 ABCD 为矩形且 ܥ ൌ Ͳ ，侧面 ܥ 底面 ABCD，且侧 面 PAD 是正三角形，E 是 AD 中点． 䁧1 证明： 䁨 平面 PBE； 䁧Ͳ 求二面角 ܥ 䁨 的余弦值． 20. 已知椭圆 ⸴ Ͳ Ͳ t Ͳ Ͳ ൌ 1䁧 ሼ 的离心率 ൌ ，左、右焦点分别为 1 ， Ͳ ，且 Ͳ 与抛物线 Ͳ ൌ ⸴的焦点重合． 䁧 Ⅰ 求椭圆的标准方程； 䁧 Ⅱ 若过 1 的直线交椭圆于 B，D 两点，过 Ͳ 的直线交椭圆于 A，C 两点，且 䁨 ܥ ，求 ʹ䁨ʹ t ʹܥʹ 的最小值． 21. 已知函数 䁧⸴ ൌ Ͳ⸴ t ⸴ ，其中 ሼ ． 䁧 Ⅰ 当 ൌ 1 时，求曲线 ൌ 䁧⸴ 在点 䁧ሼ䁧ሼ 处的切线方程； 䁧 Ⅱ 若不等式 䁧⸴ ሼ 在定义域内恒成立，求实数 m 的取值范围． 22. 在极坐标系中，圆 C 的方程为 ൌ ݋ ，在以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴的平面直角坐标 系中，直线 l 的参数方程是 ⸴ ൌ Ͳ Ͳ t ൌ Ͳ Ͳ 䁧 为参数 . 若直线 l 与圆 C 相切，求实数 m 的值． 23. 䁧1 已知 䁧⸴ t 1 ൌ ⸴ Ͳ t Ͳ⸴ ，求 䁧⸴ 的解析式． 䁧Ͳ 已知不等式｜ ⸴ Ͳ ｜ t ｜ ⸴ t 1 ｜ 对于一切的实数 x 恒成立，求 a 的范围． ．，再由向量的模的坐标运算即可得到所求值 ⸴ ൌ 由向量垂直的条件：数量积为 0，可得 运算能力，属于基础题． 本题考查向量的数量积的性质和运用，注意运用向量垂直的条件和向量的平方即为模的平方，考查 解析： 4.答案：B 本题考查命题的否定．特称量词命题与全称量词命题的否定关系，基本知识的考查． 直接利用特称量词命题的否定是全称量词命题写出结果即可． 故选：C． ． ⸴ t ሼ Ͳ ⸴ ， ⸴ ሼ 定是 ”的否 ⸴ሼ t ሽ ሼ Ͳ ⸴ሼ ， ⸴ሼ ሼ 解析：解：因为特称量词命题的否定是全量词称命题，所以命题“ 3.答案：C 故选 B． ， Ͳ ൌ 5 1ሼ ʹ1t iʹ ൌ ʹthiʹ 1t i ൌ thi ʹʹ ൌ 解： 本题考查了复数的运算，是一道基础题． ． ʹ1t ݔʹ ʹthݔʹ 1t ݔ ʹ ൌ thݔ ʹʹ ൌ ʹ 根据 解析： 2.答案：B 本题考查了交集的定义与计算问题，是基础题． ． 根据交集的定义写出 故选：B． ． ൌ ሼͲ 则 ， Ͳ 1， ൌ ⸴ ʹ⸴ ሽ ൌ ሼ ， ൌ ሼͲ 解析：解：集合 1.答案：B 答案与解析】】 解：向量 ൌ 䁧Ͳ1 ൌ 䁧⸴ ，若 ， 则 ൌ ሼ ，即有 Ͳ⸴ ൌ ሼ ， 解得 ⸴ ൌ ， t ൌ 5 5则 ʹ t ʹ ൌ 5 Ͳ t 5 Ͳ ൌ 5 Ͳ ． 故选 B． 5.答案：C 解析：解：命题的等价形式为判断 ⸴ t Ͳ 是 ⸴ 1 且 1 的关系， 若 ⸴ 1 且 1 时， ⸴ t Ͳ 成立，即必要性成立， 当 ⸴ ൌ ， ൌ 时，满足 ⸴ t Ͳ ，但 ⸴ 1 且 1 不成立，即充分性不成立， 即 ⸴ t Ͳ 是 ⸴ 1 且 1 的必要不充分条件， 即“ ⸴ 1 或 1 ”是“ ⸴ t Ͳ ”的必要不充分条件， 故选：C． 根据逆否命题的等价性，判断 ⸴ t Ͳ 是 ⸴ 1 且 1 的关系，即可． 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合条件转化判断 ⸴ t Ͳ 是 ⸴ 1 且 1 的关系， 是解决本题的关键． 6.答案：C 解析：解：模拟程序的运行，可得 ൌ 1 ， Ͳ 1 1 1 ，满足条件，执行循环体， ൌ Ͳ ， Ͳ Ͳ Ͳ Ͳ ，不满足条件，退出循环，输出 n 的值为 2． 故选：C． 根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 n 的值，模拟程序的运行 过程，可得答案． 本题考查的知识点是循环结构的程序框图的应用，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟 程序法进行解答，属于基础题． 7.答案：C 解析： ，解：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示 由此解得 m 的取值范围． Ͳ . 的下方，所以 ⸴ Ͳ ൌ 平面区域 ABC，即点 A 在直线 必须穿过 ⸴ Ͳ ൌ ，由题意知，直线 䁧 作出不等式组所表示的平面区域，设点 A 的坐标为 与平面区域，属于基础题． 组 䁧 本题考查二元一次不等式 解析： 9.答案：C 属于中档题． 本题主要考查两角和差的正弦公式，正弦函数的单调增区间的求法，体现了等价转化的数学思想， ，求得 x 的范围，即得所求． ， Ͳ Ͳ t Ͳ Ͳ⸴ Ͳ 的增区间．由 ൌ Ͳݔ䁧Ͳ⸴ ，本题即求 䁧⸴ ൌ Ͳݔ䁧Ͳ⸴ 化简可得函数 故选 D． ， ， 1Ͳ 5 1Ͳ t 的增区间为 ൌ Ͳݔ䁧Ͳ⸴ 故 ． ， 1Ͳ 5 1Ͳ ⸴ t ，可得 ， Ͳ Ͳ t Ͳ Ͳ⸴ Ͳ 由 的增区间． ൌ Ͳݔ䁧Ͳ⸴ 故本题即求 ， Ͳ⸴ ൌ Ͳݔ䁧Ͳ⸴ Ͳ ݔͲ⸴ ൌ Ͳݔ䁧 1 Ͳ ݋Ͳ⸴ 䁧⸴ ൌ ݋Ͳ⸴ ݔͲ⸴ ൌ Ͳ䁧 函数 解析：解： 8.答案：D 故选 C． ． Ͳ ൌ h 几何体的体积为 ， Ͳ Ͳ ൌ 1 棱柱的底面面积为： ， ൌ ， ൌ Ͳ Ͳ Ͳ 1 䁧 Ͳ 底面三角形的边长为 a， 的正三角形，高为 2 的直棱柱， Ͳ 解：三视图复原的几何体是底面高为 力． 本题是基础题，考查三视图与直观图的关系，正三棱柱的体积的求法，考查空间想象能力、计算能 三视图复原的几何体是一个三棱柱，根据三视图数据求出底面面积，然后求出几何体的体积即可． 点 A 的坐标为 䁧 ， 由题意知，直线 ⸴ Ͳ ൌ 必须穿过平面区域 ABC， 即点 A 在直线 ⸴ Ͳ ൌ 的下方，所以 Ͳ . 即 ሽ 1 ， 故选 C． 10.答案：B 解析： 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论的思想方法，考查了转化方法，考查 了推理能力与计算能力，属于中档题． 首先求函数的定义域，再求出导函数，利用函数有极值则导函数等 0 有穿过 x 轴的根的关系，列出 不等式求解即可． 解：因为函数 䁧⸴ ൌ 1 Ͳ ⸴ Ͳ ax t ln⸴ ， 所以 ̵䁧⸴ ൌ ⸴ t 1 ⸴ ൌ ⸴ Ͳ axt1 ⸴ ， 䁧⸴ ሼ ． 因为函数 䁧⸴ ൌ 1 Ͳ ⸴ Ͳ ax t ln⸴ 有极值， 所以导函数 ̵䁧⸴ ൌ ⸴ Ͳ axt1 ⸴ ൌ ሼ 有解， 令 䁧⸴ ൌ ⸴ Ͳ ⸴ t 1 ， 则 䁧⸴ ൌ ⸴ Ͳ ⸴ t 1 ൌ ሼ 在 䁧ሼ t 函数值有解， 当 ሼ 时，必须 䁧ሼ ሽ ሼ 不成立； 当 ሼ 时，对称轴 ⸴ ൌ Ͳ ，满足 䁧 Ͳ Ͳ Ͳ t 1 ሽ ሼ ， 解得 䁧Ͳ t ． 故选 B． 11.答案：D 解析：解：设 P 的坐标为 䁧 ，左焦点 䁧 ሼ ， 函数的导数 ̵䁧⸴ ൌ 1 Ͳ ⸴ ，则在 P 处的切线斜率 ൌ ̵䁧 ൌ 1 Ͳ ൌ t ， 即 t ൌ Ͳ ，得 ൌ ， 则 䁧Ͳ ，设右焦点为 䁧ሼ ， 则 Ͳ ൌ ʹʹ ʹʹ ൌ t ሼ t ൌ Ͳ䁧 17 1 ， 即 ൌ 17 1 ， ൌ ， 双曲线的离心率 ൌ ൌ 17t1 ， 故选：D． 设 P 的坐标为 䁧 ，求函数导数，利用导数的几何意义以及切线斜率公式建立方程关系求出 ൌ ， 根据双曲线的定义求出 a，c 即可． 本题考查双曲线的离心率的求法，根据导数的几何意义，建立切线斜率关系，求出 a，c 是解决本题 的关键．考查运算能力． 12.答案：D 解析： 本题考查了利用导数研究函数的极值、零点和单调性，属于较难题． 对原函数求导，根据题目条件和函数定义域，可得函数的单调区间，由导函数可知一个极值点为 ⸴ ൌ 1 ， 所以 ⸴ t ⸴ ൌ ሼ 在区间 䁧 1 Ͳ Ͳ 内有一个根，令 䁧⸴ ൌ ⸴ ⸴ ，讨论其单调性和值域，则 䁧⸴ ൌ 有一 解，即可求得 a 的取值范围． 解：由题可知， ̵䁧⸴ ൌ ⸴ 䁧⸴1 ⸴ Ͳ t 䁧1 1 ⸴ ൌ 䁧 ⸴ t⸴䁧⸴1 ⸴ Ͳ ， 由条件可知， ̵䁧⸴ ൌ ሼ 在区间 䁧 1 Ͳ Ͳ 内有两个不同的根， 又由导函数可知一个极值点为 ⸴ ൌ 1 ，所以 ⸴ t ⸴ ൌ ሼ 在区间 䁧 1 Ͳ Ͳ 内有一个根，且 ， 令 䁧⸴ ൌ ⸴ ⸴ ，则 ̵䁧⸴ ൌ ⸴ 䁧⸴1 ⸴ Ͳ ， 当 ⸴ 䁧 1 Ͳ 1 时， ̵䁧⸴ ሼ ， 䁧⸴ 单调递增，当 ⸴ 䁧1Ͳ 时， ̵䁧⸴ ሽ ሼ ， 䁧⸴ 单调递减， 䁧⸴⸴ ൌ 䁧1 ൌ ， 所以 䁧 1 Ͳ ൌ Ͳ 䁧Ͳ ൌ 1 Ͳ Ͳ ， 又 ， 所以当 䁧 Ͳ Ͳ Ͳ 时， 䁧⸴ ൌ 有一个根， 故所求实数 a 的取值范围为 䁧 Ͳ Ͳ Ͳ 故选 D． 13.答案：2 解析： 本题主要考查了二项式特定项的系数，以及二项展开式的通项，同时考查了计算能力，属于基础题． 二项展开式的通项 t1 ൌ 䁨5 䁧⸴ 5 䁧 1 ൌ 䁧 1 5 䁨5 ⸴ 5 ，令 5 ൌ 可得 ൌ Ͳ ，从而有 䁨5 Ͳ ൌ hሼ ，即可求 a 的值． 答案： 解：二项展开式的通项 t1 ൌ 䁨5 䁧⸴ 5 䁧 1 ൌ 䁧 1 5 䁨5 ⸴ 5 ． 令 5 ൌ 可得 ൌ Ͳ ， 䁨5 Ͳ ൌ hሼ ， ൌ Ͳ ． 故答案为：2 14.答案：正三角形 ， t1 ൌ 5 ͲͲ 5 的距离为 Ͳ⸴ t t ൌ ሼ 到直线 䁨䁧ሼ1 圆心 ， ൌ 1 解：圆 C 的半径为 出 AB，进一步得到 AD 的值，因而可求得三角形 PAB 面积的最小值． 的值，再求 ൌ ，求出 ܽ 5 ，则 䁨 ൌ ܽ 垂直时，PA 最小，设 Ͳ⸴ t t ൌ ሼ 当 PC 与直线 本题考查了直线与圆的位置关系，切线的性质，属于中档题． 解析： 5 h 15.答案： 故答案为正三角形． 的是正三角形． 䁨 因此 ， ൌ 䁨 由 B 与 C 都是三角形内角知 ， sin 䁨 ൌ ሼ 所以 ， sin t 䁨 ൌ Ͳݔ݋䁨 得 sin ൌ Ͳݔ݋䁨 由 ． ൌ 因为 A 为三角形内角，所以 ． Ͳ 1 Ͳ ൌ Ͳ Ͳ t Ͳ ݋ ൌ 所以 ， ൌ Ͳ Ͳ t Ͳ 得 䁧 t t 䁧 t ൌ .解：由 ，从而得结论 ൌ 䁨 ，再利用两角和与差的正弦函数公式得 ൌ 利用余弦定理得 本题考查了余弦定理，两角和与差的三角函数公式和解三角形的应用． 解析： 设 䁨 ൌ ܽ ， 则 ܽ 5 ， ൌ ൌ ܽ Ͳ 1 ， 则 ൌ Ͳ 䁨 䁨 ൌ Ͳ ܽͲ1 ܽ ൌ Ͳ 1 1 ܽͲ ， 当 d 取得最小值 5 时，PA 取得最小值为 5 1 ൌ Ͳ ， AB 取得最小值为 5 5 ，AD 取得最小值为 Ͳ 5 5 ， 则 䁨ܥ ൌ 䁨 Ͳ ܥ Ͳ ൌ 1 䁧 Ͳ 5 5 Ͳ ൌ 5 5 ， 则 ܥ ൌ 䁨 䁨ܥ ൌ 5 5 5 ൌ 5 5 ， 三角形 PAB 面积的最小值为： 1 Ͳ ܥ ൌ 1 Ͳ 5 5 5 5 ൌ h 5 ． 故答案为 h 5 ． 16.答案： 解析： 本题考查了空间点、线、面的位置关系，空间轨迹问题，属于中档题． ：点 P 是直线 䁨1 的动点， ܥ1 的面积是定值，而点 C 到平面 ܥ1 的距离也是定值，故得到结论； ：可以从向量的角度进行判断； ：平面 ܥ1 平面 䁨ܥ1 的法向量的夹角是不变的，得到结论． ：由 M 是平面 11䁨1ܥ1 上到点 D 和 䁨1 距离相等的点，M 点的轨迹是线段 ܥ䁨1 在空间的垂直平分 线与面 11䁨1ܥ1 的交点． 解：对于 ： 点 P 是直线 䁨1 的动点， ܥ1 的面积是定值， 点 C 到平面 ܥ1 的距离不变， 三棱锥 ܥ1䁨 的体积为定值， 1ܥ ܥ11ܥ ܥ1 ൌ ，故 1ܥ 平面 䁨1ܥ1ܥ1 在平面 䁨1ܥ1 从而 1ܥ ܥ1 ，故 正确； 对于 ： 随着 P 点的移动， 与平面 䁨ܥ1 的法向量的夹角也是变化的， 错误； 对于 ： 平面 ܥ1 平面 䁨ܥ1 的法向量的夹角是不变的， 正确； 对于 ： 是平面 11䁨1ܥ1 上到点 D 和 䁨1 距离相等的点， 点的轨迹是线段 ܥ䁨1 在空间的垂直 平分线与面 11䁨1ܥ1 的交点，故其轨迹是直线 1ܥ1 ，故 正确． 故答案为 ． 17.答案：解： 䁧1 数列 是等差数列， 由 1 t Ͳ t ൌ 1Ͳ ，得 Ͳ ൌ 1Ͳ ， Ͳ ൌ ， 又 1 ൌ Ͳ ， ܽ ൌ Ͳ 1 ൌ Ͳ ൌ Ͳ ， 数列 的通项公式为： ൌ 1 t 䁧 1ܽ ൌ Ͳ t Ͳ䁧 1 ൌ Ͳ ， 数列 的前 n 项和为： ൌ 䁧1t Ͳ ൌ 䁧ͲtͲ Ͳ ൌ 䁧 t 1 ； 䁧Ͳ 1 ൌ 1 䁧t1 ൌ 1 1 t1 ， 求 1 1 t 1 Ͳ t 1 t t 1 1ሼ ൌ 䁧1 1 Ͳ t 䁧 1 Ͳ 1 t 䁧 1 1 t t 䁧 1 1ሼ 1 11 ൌ 1 1 11 ൌ 1ሼ 11 ． 解析： 䁧1 由已知借助于等差数列的性质求出 Ͳ ，由等差数列的定义得到公差，则数列 的通项公 式及前 n 项和 可求； 䁧Ͳ 把 1 进行裂项，然后利用裂项相消法求和． 本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前 n 项和，训练了裂项相消法求数列的和，是 中档题． 18.答案：解： 䁧1 由列联表可得 ⸷ Ͳ ൌ 䁧ܽ Ͳ 䁧t䁧tܽ䁧t䁧tܽ ൌ ሼ䁧Ͳh1 Ͳ 1Ͳ1hͲሼ1ሼ ൌ 1ሼ 7.h79所以能在犯错误的概率不超过 ሼ.ሼሼ5 的前提下认为使用智能手机对学习有影响． 䁧Ͳ 根据题意，X 可取的值为 0，1，2． 䁧 ൌ ሼ ൌ 䁨 Ͳ 䁨1Ͳ Ͳ ൌ 1 11 ， 䁧 ൌ 1 ൌ 䁨h 1 䁨 1 䁨1Ͳ Ͳ ൌ 1 ， 䁧 ൌ Ͳ ൌ 䁨h Ͳ 䁨1Ͳ Ͳ ൌ 1 ， 所以 X 的分布列是： X 0 1 2 P 1 11 1 1 X 的数学期望是 䁧 ൌ ሼ 1 11 t 1 1 t Ͳ 1 ൌ ． 解析：本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概 型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 䁧1 由列联表求出 ⸷ Ͳ ൌ 1ሼ 7.h79 ，从而能在犯错误的概率不超过 ሼ.ሼሼ5 的前提下认为使用智能手机 对学习有影响． 䁧Ͳ 根据题意，X 可取的值为 0，1， Ͳ. 分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和数学期望． 19.答案：解： 䁧1 证明： 侧面 ܥ 是正三角形，E 是 AD 中点， ܥ ， 侧面 ܥ 底面 ABCD，侧面 ܥ 底面 䁨ܥ ൌ ܥ ， 底面 ABCD， 䁨 ， 底面 ABCD 是矩形且 ܥ ൌ Ͳ ， ൌ ܥ ൌ ൌ 䁨ܥ ， ൌ ܥ䁨 ൌ 5 ， t ܥ䁨 ൌ 9ሼ ， 䁨 ൌ 9ሼ ， 䁨 ， ൌ ， 䁨 平面 PBE． 䁧Ͳ 解：以 E 为原点，以 ED，EP 所在直线，AD 的垂直平分线为 x，z，y 轴，建立空间直角坐标系， 设 ܥ ൌ Ͳ ൌ Ͳ ，则点 ܥ䁧1 0， ሼ ， 䁨䁧1 1， ሼ ， 䁧ሼ 0， ， 䁧 1 1， ሼ ， ܥ ൌ 䁧1 0， ， 䁨 ൌ 䁧1 1， ， ൌ 䁧 1 1， ， 设平面 PCB 的法向量 ൌ 䁧⸴ y， ， ． 5 1 的最小值为 ʹܥʹ ʹ䁨ʹ t 时，上式取等号，故 ൌ 1 ，即 ൌ 1 Ͳ 当 ． 5 1 ൌ Ͳ5䁧Ͳt1Ͳ t1Ͳ Ͳ Ͳሼ 䁧 Ͳ ൌ Ͳ 䁧ͲtͲt䁧ͲͲt t1Ͳ Ͳ Ͳሼ 䁧 t Ͳ tͲ䁧Ͳ Ͳ 䁧 Ͳ t1 Ͳ Ͳሼ 䁧 t ൌ Ͳ Ͳ 1 tͲ t Ͳ 1 t 1䁧 Ͳ ൌ 䁧 ʹܥʹ ʹ䁨ʹ t ． t Ͳ Ͳ t1 Ͳ 䁧 ͲtͲ ൌ 1 Ͳt1 1 䁧 ʹ䁨ʹ ൌ 所以 ， 1 易知 AC 的斜率为 ． tͲ Ͳ t1 Ͳ 䁧 ⸴1⸴Ͳ ൌ Ͳ 䁧⸴1 t ⸴Ͳ Ͳ 䁧1 t ൌ 1 t ʹ⸴1 ⸴Ͳʹ ൌ ʹܥʹ ， tͲ Ͳ Ͳ ⸴1⸴Ͳ ൌ ， tͲ Ͳ Ͳ ⸴1 t ⸴Ͳ ൌ ，则 䁧⸴ͲͲܥ ， 䁧⸴11 设 ． ൌ ሼ Ͳ ⸴ t Ͳ t Ͳ t Ͳ⸴ Ͳ 䁧 并化简得 ， Ͳ ൌ 1 Ͳ t Ͳ ⸴ ，代入椭圆方程 ൌ 䁧⸴ t 1 直线 BD 的方程为 时， ሼ 当直线 BD 的斜率 k 存在且 䁧ݔ Ⅱ 䁧 ． Ͳ ൌ 1 Ͳ t Ͳ ⸴ ，所以椭圆的标准方程为 ൌ Ͳ Ͳ 所以 ， ൌ ，所以 ൌ 1 ൌ ൌ 又因为 ， ൌ 1 ，所以 䁧1ሼ 的焦点为 ൌ ⸴ Ͳ 抛物线 Ⅰ 䁧 20.答案：解： 的余弦值． 䁨 ܥ 用向量法能求出二面角 以 E 为原点，以 ED，EP 所在直线，AD 的垂直平分线为 x，z，y 轴，建立空间直角坐标系，利 䁧Ͳ 平面 PBE． 䁨 明 ，由此能证 䁨 ， ܥൌ ൌ 䁨 ܥ ൌ ， 䁨 底面 ABCD， 从而， ܥ 推导出 䁧1 位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 解析：本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的 ． 1 ʹ ʹʹʹ ൌ ʹ ʹ ݋ ൌ 的余弦值为： 䁨 ܥ 二面角 为钝角， ，则 的平面角为 䁨 ܥ 设二面角 ， ൌ 䁧 ሼ1 ，得 ൌ 1 取 ， 䁨 ൌ t ൌ ሼ ൌ ൌ ሼ ܥ 则 ， b， ൌ 䁧 设平面 PCD 的法向量 ， ൌ 䁧ሼ 1 ，得 ൌ 1 取 ， 䁨 ൌ ⸴ t ൌ ሼ ൌ ⸴ t ൌ ሼ 则 ．处的切线方程 䁧ሼ䁧ሼ 点 在 ൌ 䁧⸴ ，即可得曲线 䁧ሼ ൌ 1 ，又 ̵䁧ሼ ൌ 1 ，可得 1 Ͳ⸴ ̵䁧⸴ ൌ Ͳ 时， ൌ 1 当 Ⅰ 䁧 解析： 分 䁧1 内恒成立．--- 䁧 t 在定义域 䁧⸴ ሼ 时，不等式 䁧 Ͳሼ 综上：当 分 䁧1Ͳ -------------------------------- Ͳ ሽ ሽ ሼ Ͳ 1 ሼ解得 Ͳ ln䁧 分 䁧1ሼ ------------ Ͳ 1 Ͳ ln䁧 处取得最小值 Ͳ Ͳ ln䁧 1 ⸴ ൌ 在 䁧⸴ 因此 分 䁧9 内递减------------------- Ͳ Ͳ ln䁧 1 䁧 在 䁧⸴ 内递增；同理函数 Ͳ t Ͳ ln䁧 1 䁧 在 䁧⸴ 函数 ，从而知 Ͳ Ͳ ln䁧 1 ⸴ 解得 ̵䁧⸴ ሼ 时，由 ሽ ሼ 当 分 䁧7 恒成立，满足条件------------------------------ ሼ Ͳ⸴ 䁧⸴ ൌ 时， ൌ ሼ 当 下面对实数 m 进行讨论： 分 䁧 ------- ሼ ，其中 t Ͳ⸴ ̵䁧⸴ ൌ Ͳ ，且 䁧 t 定义域为 䁧⸴ 函数 Ⅱ 䁧 分 䁧5 ----- ൌ ⸴ t 1 处的切线方程为： 䁧ሼ䁧ሼ 在点 ൌ 䁧⸴ 曲线 分 䁧 ------------------------------------ 䁧ሼ ൌ 1 ，又 ̵䁧ሼ ൌ 1 则 分 䁧Ͳ ------------------------------ 1 Ͳ⸴ ̵䁧⸴ ൌ Ͳ ⸴ Ͳ⸴ 䁧⸴ ൌ 时， ൌ 1 当 Ⅰ 䁧 21.答案：解： 用以及计算能力． 本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，考查转化思想，分类讨论思想的应 的最小值即可． ʹܥʹ ʹ䁨ʹ t 当直线 BD 的斜率不存在或等于零时，验证 䁧ݔݔ 的最小值． ʹܥʹ ʹ䁨ʹ t ，利用韦达定理以及弦长公式，求出 BD，推出 AC，即可转化求解 䁧⸴ͲͲܥ ， 䁧⸴11 并化简，设 ， Ͳ ൌ 1 Ͳ t Ͳ ⸴ ，代入椭圆方程 ൌ 䁧⸴ t 1 时，直线 BD 的方程为 ሼ 当直线 BD 的斜率 k 存在且 䁧ݔ Ⅱ 䁧 椭圆方程． ，通过椭圆的离心率求出 a，然后求解 b，即可得到 ൌ 1 的焦点求出 ൌ ⸴ Ͳ 利用抛物线 Ⅰ 䁧 解析： ． 5 1 的最小值为 ʹܥʹ ʹ䁨ʹ t 综上， ． 5 1 1ሼ ൌ ʹܥʹ ʹ䁨ʹ t 当直线 BD 的斜率不存在或等于零时，易得 䁧ݔݔ ，再利用同一函数确定 1 Ͳ t Ͳ䁧 1 ൌ Ͳ 䁧 ൌ 䁧 1 ，所以 ⸴ ൌ 1 ，则 ൌ ⸴ t 1 首先令 䁧1 解析：本题主要考查了求函数解析式和不等式中的恒成立问题，属于基础题． ． ሽ 所以 时等号成立； 䁧⸴ Ͳ䁧⸴ t 1 ሼ ，当且仅当 ʹ䁧⸴ Ͳ 䁧⸴ t 1ʹ ൌ ｜ ⸴ t 1 ｜ t ｜ ⸴ Ͳ 而不等式｜ ， ݔ ｜ ⸴ t 1 ｜ t ｜ ⸴ Ͳ ｜ 䁧 只需不等式 ， ｜ ⸴ t 1 ｜ t ｜ ⸴ Ͳ 要使不等式｜ 䁧Ͳ 1 Ͳ 䁧⸴ ൌ ⸴ ， 1 Ͳ t Ͳ䁧 1 ൌ Ͳ 䁧 ൌ 䁧 1 所以 ， ⸴ ൌ 1 则 ， ൌ ⸴ t 1 令 䁧1 23.答案：解： 系的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关 的应用求出参数 m 的值． 解析：首先把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离公式 ． ൌ Ͳ Ͳ Ͳ 解得： ， Ͳ ൌ Ͳ ʹͲʹ 即： 的距离为 2， ⸴ ൌ ሼ 到直线 䁧Ͳሼ 则： 若直线 l 与圆 C 相切， ， ⸴ ൌ ሼ 转换为直角坐标方程为： ． 为参数 䁧 Ͳ Ͳ ൌ Ͳ t Ͳ ⸴ ൌ 直线 l 的参数方程是 ． ൌ Ͳ t Ͳ 䁧⸴ Ͳ 转换为直角坐标方程为： ， ൌ ݋ 22.答案：解：圆 C 的方程为 究函数的单调性极值问题，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了函数零点存在但是无法求出的情况下研 ． Ͳ ሽ ሽ ሼ ，解得 Ͳ 1 Ͳ ln䁧 处取得最小值 Ͳ Ͳ ln䁧 1 ⸴ ൌ 在 䁧⸴ 可得 ሽ ሼ. 当 ， ൌ ሼ 当 对实数 m 进行讨论： ሼ ，其中 t Ͳ⸴ ̵䁧⸴ ൌ Ͳ Ⅱ 䁧 ． ሽ ，所以 ʹ䁧⸴ Ͳ 䁧⸴ t 1ʹ ൌ ｜ ⸴ t 1 ｜ t ｜ ⸴ Ͳ 式｜ ，而不等 ݔ ｜ ⸴ t 1 ｜ t ｜ ⸴ Ͳ ｜ 䁧 ，只需不等式 ｜ ⸴ t 1 ｜ t ｜ ⸴ Ͳ 要使不等式｜ 䁧Ͳ 的解析式； 䁧⸴