四川省泸县第五中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

四川省泸县第五中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

‎2019-2020学年度秋四川省泸县第五中学高二期中考试 理科数学试题 第I卷(选择题 共60分）‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）‎ ‎1．若直线过点，，则此直线的倾斜角是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．抛物线的焦点到准线的距离是 ‎ A. B.1 C. D.‎ ‎3．双曲线的渐近线方程为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎4．空间直角坐标系中，点关于点的对称点的坐标是 A.(－10,2,8) B.(－10,2,－8) C.(5,2,－8) D.(－10,3,－8)‎ ‎5．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是 ‎ A.若则 B.若则 C.若则 D.若则 ‎6．已知圆，圆，则这两圆的位置关系是 ‎ A.相交 B.相离 C.外切 D.内含 ‎7．直线：与圆交于两点，，则实数的值为 A． B． C． D．‎ ‎8．抛物线有如下光学性质：由焦点的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线 的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则直线的斜率为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎9．由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎10．已知动点满足，则点的轨迹为 ‎ A.直线 B.抛物线 C.双曲线 D.椭圆 ‎11．已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎12．设为椭圆与双曲线的公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点是以线段为底边的等腰三角形，若双曲线的离心率，则椭圆的离心率取值范围是 ‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．已知直线，，且已知则 .‎ ‎14．已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，若为抛物线上一点，且，则直线的斜率等于__________．‎ ‎15．若直线和圆相交于两点（其中为坐标原点），且，则实数的值为__________．‎ ‎16．过球O表面上一点A引三条长度相等的弦AB，AC，AD，且AB，AC，AD两两夹角都为60°，若，则该球的体积为______．‎ 三、 解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17．（本大题满分10分）‎ 已知直线，.‎ ‎（1）求直线和直线交点P的坐标；‎ ‎（2）若直线l经过点P且在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线l的一般式方程．‎ ‎18． （本大题满分12分）‎ 已知抛物线与直线相交于A、B两点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）当的面积等于时，求k的值.‎ ‎19．（本大题满分12分）‎ 已知圆过点，且圆心在直线上.‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）点为圆上任意一点，求的最值.‎ ‎20．（本大题满分12分）‎ 如图1， 在直角梯形中，，，，为线段的中点. 将沿折起，使平面平面，得到几何体，如图2所示.‎ ‎（1）求证:平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎21．（本大题满分12分）‎ 已知是椭圆的左右焦点，为原点，在椭圆上，线段与轴的交点满足.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过椭圆右焦点作直线交椭圆于两点，交轴于点，若，求.‎ ‎22．（本大题满分12分）‎ 已知点A(0，－2)，椭圆E： (a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点. ‎ ‎(1)求E的方程；‎ ‎(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程.‎ ‎2019-2020学年度秋四川省泸县第五中学高二期中考试 理科数学试题参考答案 ‎1．C 2．D 3．A 4．B 5．D 6．B 7．B 8．A 9．B 10．B 11．C 12．C ‎13．0或 14． 15． 16．‎ ‎17．（1）联立，解得x=2，y=1．‎ ‎∴直线l1和直线l2交点P的坐标为（2，1）．‎ ‎（2）直线经过原点时，可得直线l的方程为：y=x，即x-2y=0．‎ 直线不经过原点时，可设直线l的方程为：x-y=a，‎ 把点P的坐标代入可得：2-1=a，‎ 即a=1，可得方程为：x-y=1．‎ 综上可得直线l的方程为：x-2y=0或x-y-1=0．‎ ‎18．（1）证明：联立，消去x，得ky2＋y－k＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1＋y2＝－，y1·y2＝－1．因为y12＝－x1，y22＝－x2，所以（y1·y2）2＝x1·x2，所以x1·x2＝1，所以x1x2＋y1y2＝0，即＝0，所以OA⊥OB．‎ ‎（2）设直线l与x轴的交点为N，则N的坐标为（－1,0），‎ 所以S△AOB＝|ON|·|y1－y2|‎ ‎＝×|ON|×‎ ‎＝×1×＝，解得k2＝，所以k＝±．‎ ‎19．（1）由，得中点为，，‎ 所以的垂直平分线为 ‎ 联立，得    ，则， ‎ 圆的半径为， ‎ 所以圆的方程为 ‎ ‎（2）可以看成是点与连线的斜率 ‎ 直线的方程为，即 ‎ 当直线为圆的切线时，有，解得 ‎ 所以的最大值为，最小值为0‎ ‎20．解法一：（Ⅰ）在图1中,可得,从而,‎ 故……………………………………………-3分 ‎∵面面,面面,面,‎ 从而平面……………………………………………6分 ‎（Ⅱ）取的中点，的中点,连结,‎ ‎∵是的中点是的中位线,是的中 位线,∴,‎ 又（Ⅰ）可知平面 ‎∴平面 ‎∵平面∴‎ 又∴‎ 连结,∵∴平面 又平面， ∴‎ ‎∴是二面角的平面角……………………………………………9分 在中，,,∴‎ ‎∴‎ ‎∴二面角的余弦值为.……………………………………………12分 解法二: （Ⅰ）在图1中,可得,从而,‎ 故……………………………………………2分 取中点连结,则,又面面,‎ 面面,面,从而平面,…………………………4分 ‎∴‎ 又,,‎ ‎∴平面……………………………………………6分 ‎（Ⅱ）建立空间直角坐标系如图所示,‎ 则,,,……8分 设为面的法向量,‎ 则即,解得 令,可得……………………………10分 又为面的一个法向量 ‎∴‎ ‎∴二面角的余弦值为.…………………12分 ‎21：（1）因为知,N为中点，而又为中点，所以为的中位线，又由于，所以，由P坐标可知，所以，RT中，由勾股定理得，又因为 ，所以 ‎ ‎，易得椭圆：‎ ‎（2）设 设：，与联立得 ‎ 同理 点睛:平面几何知识的运用大大简化了本题的运算，故求解解析几何题时需充分挖掘题目的几何关系.‎ ‎22．解：（1）设，因为直线的斜率为，所以，. ‎ 又解得，‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）解：设 由题意可设直线的方程为：，‎ 联立消去得，‎ 当，所以，即或时 ‎.‎ 所以 点到直线的距离；所以，‎ 设，则，‎ ‎，‎ 当且仅当，即，解得时取等号，‎ 满足所以的面积最大时直线的方程为：或.‎