【数学】2018届一轮复习人教A版函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象学案
专题19函数y＝Asin(ωx＋φ) 的图象
1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响；
2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．
1．“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的简图
“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点，作图时的一般步骤为：
(1)定点：如下表所示.
X
－
ωx＋φ
0
π
2π
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象．
(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝Asin(ωx＋φ)在R上的图象．
2．函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径
3．函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义
当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时，A叫做振幅，T＝叫做周期，f＝叫做频率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相．
高频考点一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
例1、已知函数y＝2sin.
(1)求它的振幅、周期、初相；
(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；
(3)说明y＝2sin的图象可由y＝sinx的图象经过怎样的变换而得到．
解 (1)y＝2sin的振幅A＝2，
周期T＝＝π，初相φ＝.
(2)令X＝2x＋，则y＝2sin＝2sinX.
列表如下：
x
－
X
0
π
2π
y＝sinX
0
1
0
－1
0
y＝2sin
0
2
0
－2
0
描点画出图象，如图所示：
方法二 将y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin 2x的图象；
再将y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin＝sin的图象；
再将y＝sin的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，即得到y＝2sin的图象．
【感悟提升】(1)五点法作简图：用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．
(2)图象变换：由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
【变式探究】(1)把函数y＝sin(x＋)图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将图象向右平移个单位长度，那么所得图象的一条对称轴方程为( )
A．x＝－ B．x＝－
C．x＝ D．x＝
(2)设函数f(x)＝cosωx (ω>0)，将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )
A.B．3C．6D．9
答案 (1)A (2)C
高频考点二 由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例2、(2016·全国Ⅱ卷)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则( )
A.y＝2sin B.y＝2sin
C.y＝2sin D.y＝2sin
解析 由题图可知，T＝2＝π，所以ω＝2，由五点作图法可知2×＋φ＝，所以φ＝－，所以函数的解析式为y＝2sin，故选A.
答案 A
【感悟提升】确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法：
(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，
则A＝，b＝.
(2)求ω，确定函数的最小正周期T，则可得ω＝.
(3)求φ，常用的方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．
②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：
“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ＝；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝.
【变式探究】函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，－＜φ＜) 的部分图象如图所示，则φ＝________.
答案 －
解析 ∵＝π－π，
∴T＝π.
又T＝(ω＞0)，
∴＝π，
∴ω＝2.
由五点作图法可知当x＝π时，
ωx＋φ＝，
即2×π＋φ＝，
∴φ＝－.
高频考点三 三角函数图象性质的应用
例3、某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－cost－sint，t∈[0，24).
(1)求实验室这一天的最大温差；
(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？
解 (1)因为f(t)＝10－2(cost＋sint)
＝10－2sin，
又0≤t<24，所以≤t＋<，
当t＝2时，sin＝1；
当t＝14时，sin＝－1.
于是f(t)在[0，24)上取得最大值12 ℃，取得最小值8 ℃.
故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.
(2)依题意，当f(t)>11时实验室需要降温，
由(1)得f(t)＝10－2sin，
故有10－2sin>11，即sin<－.
又0≤t<24，因此
0)图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求a和ω的值；
(2)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间.
解 (1)f(x)＝4cos ωx· sin＋a
＝4cos ωx·＋a
＝2sin ωxcos ωx＋2cos2ωx－1＋1＋a
＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋1＋a
＝2sin＋1＋a.
当sin＝1时，f(x)取得最大值2＋1＋a＝3＋a.
又f(x)最高点的纵坐标为2，∴3＋a＝2，即a＝－1.
又f(x)图象上相邻两个最高点的距离为π，
∴f(x)的最小正周期为T＝π，
∴2ω＝＝2，ω＝1.
【方法规律】函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的单调区间和对称性的确定，基本思想是把ωx＋φ看做一个整体.在单调性应用方面，比较大小是一类常见的题目，依据是同一区间内函数的单调性.对称性是三角函数图象的一个重要性质，因此要抓住其轴对称、中心对称的本质，同时还要会综合利用这些性质解决问题，解题时可利用数形结合思想.
【变式探究】 已知函数f(x)＝2sin·cos－sin(x＋π).
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若将f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，π]上的最大值和最小值.
解 (1)f(x)＝2sin·cos－sin(x＋π)
＝cos x＋sin x＝2sin，于是T＝＝2π.
(2)由已知得g(x)＝f＝2sin，
∵x∈[0，π]，∴x＋∈，
∴sin∈，
∴g(x)＝2sin∈[－1，2]，
故函数g(x)在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.
1.【2016年高考四川理数】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点( )
（A）向左平行移动个单位长度 （B）向右平行移动个单位长度
（C）向左平行移动个单位长度 （D）向右平行移动个单位长度
【答案】D
【解析】由题意，为了得到函数，只需把函数的图像上所有点向右移个单位，故选D.
2.【2016高考新课标2理数】若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【答案】B
【解析】由题意，将函数的图像向左平移个单位得，则平移后函数的对称轴为，即，故选B.
3.【2016年高考北京理数】将函数图象上的点向左平移（） 个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则（ ）
A.，的最小值为B. ，的最小值为
C.，的最小值为D.，的最小值为
【答案】A
【解析】由题意得，，当s最小时，所对应的点为，此时，故选A.
4.【2016高考新课标3理数】函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．
【答案】
【2015高考山东，理3】要得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ）
（A）向左平移个单位 （B）向右平移个单位
（C）向左平移个单位 （D）向右平移个单位
【答案】B
【解析】因为 ，所以要得到函数 的图象，只需将函数 的图象向右平移 个单位.故选B.
【2015高考陕西，理3】如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数
，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【解析】由图象知：，因为，所以，解得：，所以这段时间水深的最大值是，故选C．
【2015高考湖南，理9】将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的，，有，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D.
【解析】向右平移个单位后，得到，又∵，∴不妨
，，∴，又∵，
∴，故选D.
【2015高考湖北，理17】某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
0
5
0
（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数
的解析式；
（Ⅱ）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象. 若图象的一个对称中心为，求的最小值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得. 数据补全如下表：
0
0
5
0
0
且函数表达式为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，得.
因为的对称中心为，.
令，解得， .
由于函数的图象关于点成中心对称，令，
解得，. 由可知，当时，取得最小值.
（2014·四川卷）为了得到函数y＝sin (2x＋1)的图像，只需把函数y＝sin 2x的图像上所有的点( )
A．向左平行移动个单位长度
B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动1个单位长度
D．向右平行移动1个单位长度
【答案】A
【解析】因为y＝sin(2x＋1)＝sin2，所以为得到函数y＝sin(2x＋1)的图像，只需要将y＝sin 2x的图像向左平行移动个单位长度．
（2014·安徽卷）若将函数f(x)＝sin的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y轴对称，则φ的最小正值是________．
【答案】
（2014·北京卷）设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为________．
【答案】π
【解析】结合图像得＝－，即T＝π.
（2014·福建卷）已知函数f(x)＝cos x(sin x＋cos x)－.
(1)若0<α<，且sin α＝，求f(α)的值；
(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．
【解析】方法一：(1)因为0<α<，sin α＝，所以cos α＝.
所以f(α)＝×－
＝.
方法二：f(x)＝sin xcos x＋cos2x－
＝sin 2x＋－
＝sin 2x＋cos 2x
＝sin.
(1)因为0<α<，sin α＝，所以α＝，
从而f(α)＝sin＝sin＝.
(2)T＝＝π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
（2014·广东卷）若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是( )
A．l1⊥l4
B．l1∥l4
C．l1与l4既不垂直也不平行
D．l1与l4的位置关系不确定
【答案】D
【解析】本题考查空间中直线的位置关系，构造正方体进行判断即可．如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，设BB1是直线l1，BC是直线l2，AB是直线l3，则DD1是直线l4，l1∥l4；设BB1是直线l1，BC是直线l2，CC1是直线l3，CD是直线l4，则l1⊥l4.故l1与l4的位置关系不确定．
（2014·湖北卷）某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：
f(t)＝10－cost－sint，t∈[0，24)．
(1)求实验室这一天的最大温差．
(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？
【解析】(1)因为f(t)＝10－2＝10－2sin，
又0≤t<24，所以≤t＋<，－1≤sin≤1.
当t＝2时，sin＝1；
当t＝14时，sin＝－1.
于是f(t)在[0，24)上取得的最大值是12，最小值是8.
故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.
(2)依题意，当f(t)>11时，实验室需要降温．
由(1)得f(t)＝10－2sin，
故有10－2sin>11，
即sin<－.
又0≤t<24，因此4，解得m>2或m<－2，故m的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
（2014·山东卷）已知向量a＝(m，cos 2x)，b＝(sin 2x，n)，函数f(x)＝a·b，且
y＝f(x)的图像过点和点.
(1)求m，n的值；
(2)将y＝f(x)的图像向左平移φ(0＜φ＜π)个单位后得到函数y＝g(x)的图像，若y＝g(x)图像上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y＝g(x)的单调递增区间．
【解析】(1)由题意知，f(x)＝＝msin 2x＋ncos 2x.
因为y＝f(x)的图像过点和点，
所以
即
解得m＝，n＝1.
(2)由(1)知f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin.
由题意知，g(x)＝f(x＋φ)＝2sin.
设y＝g(x)的图像上符合题意的最高点为(x0，2)．
由题意知，x＋1＝1，所以x0＝0，
即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2)．
将其代入y＝g(x)得，sin＝1.
因为0<φ<π，所以φ＝.
因此，g(x)＝2sin＝2cos 2x.
由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z得kπ－≤x≤kπ，k∈Z，
所以函数y＝g(x)的单调递增区间为，k∈Z.
（2014·陕西卷）函数f(x)＝cos的最小正周期是( )
A. B．π C．2π D．4π
【答案】B
【解析】已知函数y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的周期为T＝，故函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
（2014·四川卷）已知函数f(x)＝sin.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若α是第二象限角，f＝coscos 2α，求cos α－sin α的值．
【解析】(1)因为函数y＝sin x的单调递增区间为，k∈Z，
由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋≤x≤＋，k∈Z.
所以，函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)由已知，得sin＝cos(cos2α－sin2α)，
所以sin αcos＋cos αsin＝(cos2 α－sin2 α)，
即sin α＋cos α＝(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．
当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，
得α＝＋2kπ，k∈Z，
此时，cos α－sin α＝－.
当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝.
由α是第二象限角，得cos α－sin α<0，此时cos α－sin α＝－.
综上所述，cos α－sin α＝－或－.
（2014·天津卷）已知函数f(x)＝cos x·sin－cos2x＋，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值．
【解析】(1)由已知，有
f(x)＝cos x·－cos2x＋
＝sin x·cos x－cos2x＋
＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋
＝sin 2x－cos 2x
＝sin，
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)因为f(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数，f＝－，f＝－，f＝，
所以函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－.
（2014·浙江卷）为了得到函数y＝sin 3x＋cos 3x的图像，可以将函数y＝cos 3x的图像( )
A．向右平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
【答案】C
【解析】y＝sin 3x＋cos 3x＝cos＝cos，所以将函数y＝cos 3x的图像向右平移个单位可以得到函数y＝sin 3x＋cos 3x的图像，故选C.
（2014·重庆卷）已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图像关于直线x＝对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值；
(2)若f＝，求cos的值．
(2)由(1)得ƒ＝sin(2×－)＝，
所以sin＝.
由＜α＜得0＜α－＜，
所以cos＝＝＝.
因此cos
＝sin α
＝sin
＝sincos＋cossin
＝×＋×
＝.
1. 若函数y＝sin(ωx－φ)(ω>0，|φ|<)在区间上的图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )
A.ω＝2，φ＝ B.ω＝2，φ＝－
C.ω＝，φ＝ D.ω＝，φ＝－
解析 由图可知，T＝2＝π，所以ω＝＝2，又sin＝0，所以－φ＝kπ(k∈Z)，即φ＝－kπ(k∈Z)，而|φ|<，所以φ＝，故 选A.
答案 A
2.将函数f(x)＝sin x－cos x的图象沿着x轴向右平移a(a>0)个单位后的图象关于y轴对称，则a的最小值是( )
A. B.
C. D.
解析 依题意得f(x)＝2sin，因为函数f(x－a)＝2sin的图象关于y轴对称，所以sin＝±1，a＋＝kπ＋，k∈Z，即a＝kπ＋，k∈Z，
因此正数a的最小值是，选B.
答案 B
3.函数f(x)＝3sinx－logx的零点的个数是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
解析 函数y＝3sinx的周期T＝＝4，由logx＝3，可得x＝.由logx＝－3，可得x＝8.在同一平面直角坐标系中，作出函数y＝3sinx和y＝logx的图象(如图所示)，易知有5个交点，故函数f(x)有5个零点.
答案 D
4.如图是函数f(x)＝sin 2x和函数g(x)的部分图象，则g(x)的图象可能是由f(x)的图象( )
A.向右平移个单位得到的
B.向右平移个单位得到的
C.向右平移个单位得到的
D.向右平移个单位得到的
5.设函数f(x)＝sin，则下列结论正确的是( )
A.f(x)的图象关于直线x＝对称
B.f(x)的图象关于点对称
C.f(x)的最小正周期为π，且在上为增函数
D.把f(x)的图象向右平移个单位，得到一个偶函数的图象
解析 对于函数f(x)＝sin，当x＝时，
f＝sin ＝，故A错；当x＝时，
f＝sin ＝1，故不是函数的对称点，故B错；函数的最小正周期为T＝＝π，当x∈时，
2x＋∈，此时函数为增函数，故C正确；
把f(x)的图象向右平移个单位，得到g(x)＝sin＝sin 2x，函数是奇函数，故D错.
答案 C
6.已知函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，则ω的取值范围是( )
A.∪[6，＋∞) B.∪
C.(－∞，－2]∪[6，＋∞) D.(－∞，－2]∪
解析 当ω>0时，－ω≤ωx≤ω，由题意知－ω≤－，即ω≥；当ω<0时，ω≤ωx≤－ω，由题意知ω≤－，∴ω≤－2.
综上可知，ω的取值范围是(－∞，－2]∪.
答案 D
7.已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，x∈R.在曲线y＝f(x)与直线y＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f(x)的最小正周期为________.
解析 f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin.
由2sin＝1得sin＝，
∴ωx＋＝2kπ＋或ωx＋＝2kπ＋π(k∈Z).
令k＝0，得ωx1＋＝，ωx2＋＝π，
∴x1＝0，x2＝.
由|x1－x2|＝，得＝，∴ω＝2.
故f(x)的最小正周期T＝＝π.
答案 π
8.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y＝a＋Acos(x＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28 ℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的平均气温为________℃.
解析 因为当x＝6时，y＝a＋A＝28；
当x＝12时，y＝a－A＝18，所以a＝23，A＝5，
所以y＝f(x)＝23＋5cos，
所以当x＝10时，f(10)＝23＋5cos
＝23－5×＝20.5.
答案 20.5
9.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为2，且过点，则函数f(x)的解析式为________.
解析 据已知两个相邻最高和最低点距离为2，可得＝2，解得T＝4，故ω＝＝，
即f(x)＝sin.又函数图象过点，
故f(2)＝sin＝－sin φ＝－，
又－≤φ≤，
解得φ＝，故f(x)＝sin.
答案 f(x)＝sin
10.已知函数f(x)＝sin ωx＋cos，其中x∈R，ω＞0.
(1)当ω＝1时，求f的值；
(2)当f(x)的最小正周期为π时，求f(x)在上取得最大值时x的值.
解 (1)当ω＝1时，f＝sin ＋cos
＝＋0＝.
11.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻最高点的距离为π.
(1)求f的值；
(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，得到y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间.
解 (1)因为f(x)的图象上相邻最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.
又f(x)的图象关于直线x＝对称，所以2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，因为－≤φ＜，所以k＝0，
所以φ＝－＝－，所以f(x)＝sin，
则f＝sin＝sin ＝.
(2)将f(x)的图象向右平移个单位后，得到
f的图象，
所以g(x)＝f＝sin
＝sin.
当2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
即kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递减.
因此g(x)的单调递减区间为(k∈Z).
12.某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
Asin(ωx＋φ)
0
5
－5
0
(1)请将上表数据补充完整，并求出函数f(x)的解析式；
(2)将y＝f(x)的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象.若关于x的方程g(x)－(2m＋1)＝0在区间上有两个不同的解，求实数m的取值范围.
解 (1)根据表中已知数据，
解得A＝5，ω＝2，φ＝－.
数据补全如下表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
Asin(ωx＋φ)
0
5
0
－5
0
且函数表达式为f(x)＝5sin.
(2)通过平移，g(x)＝5sin，
方程g(x)－(2m＋1)＝0可看成函数y＝g(x)和函数y＝2m＋1的图象在上有两个交点，
当x∈时，2x＋∈，为使直线y＝2m＋1与函数y＝g(x)的图象在上有两个交点，结合函数y＝g(x)在[0，]上的图象，
只需≤2m＋1<5，解得≤m<2.
即实数m的取值范围为.
