湖南省衡阳市雁峰区第八中学2020届高三上学期10月月考数学（文）试题

湖南省衡阳市雁峰区第八中学2020届高三上学期10月月考数学（文）试题

启慧·衡阳市八中2020届高三月考试题（三）‎ 数学（文科）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合A={0，1，2}，A的非空子集个数为（ ）‎ A. 5 B. 6 C. 7 D. 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由集合A中的元素有3个，把n＝3代入集合的非空子集的公式2n﹣1中，即可计算出集合A非空子集的个数即可．‎ ‎【详解】由集合A中的元素有0，1，2共3个，代入公式得：23﹣1＝7，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】解得本题的关键是掌握当集合中元素有n个时，非空子集的个数为2n﹣1．同时注意子集与真子集的区别：子集包含本身，而真子集不包含本身．‎ ‎2.已知a，b∈R，i为虚数单位，(2a+i)(1+3i)=3+bi，则a+b=（ ）‎ A. 22 B. -16 C. 9 D. -9‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用复数的乘法运算及复数相等的条件列式求得a，b的值．‎ ‎【详解】∵（2a+i）（1+3i）＝3+bi，‎ ‎∴2a﹣3+（6a+1）i＝3+bi，‎ ‎∴，‎ 解得a＝3，b＝19，‎ ‎∴a+b＝3+19＝22，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础题．‎ ‎3.已知具有线性相关的变量x，y，设其样本点为Ai(xi，yi)(i=1，2..，6)，回归直线方程为 ‎，若=(9，6)(O为坐标原点)，则b=（ ）‎ A. 3 B. C. D. -‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意计算平均数、，代入回归直线方程求出b的值．‎ ‎【详解】计算（x1+x2+…+x6），‎ ‎（y1+y2+…+y6）；‎ 回归直线方程为，‎ ‎∴1b，‎ 解得b．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了平均数与线性回归方程的应用问题，是基础题．‎ ‎4.已知平面向量满足，若，则向量与的夹角为（ ）‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用公式进行求解即可 ‎【详解】‎ ‎，解得，‎ 答案选D ‎【点睛】本题考查形如向量模长的求法，主要根据进行求解，这也是高考中常考点 ‎5.黄金三角形就是一个等腰三角形，其顶角为36°，底角为72°，底与腰的长度比值约为0.618，这一数值也可以表示为m=2cos72°，若n= cos36°cos72°cos144°，则=（ ）‎ A. -1 B. C. - D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知利用二倍角的正弦公式，结合诱导公式化简即可求值得解．‎ ‎【详解】∵m＝2cos72°，n= cos36°cos72°cos144°‎ ‎∴mn＝2cos72°cos36°cos72°cos144°，可得：mn=2sin18°cos36°cos72°cos144°，‎ ‎∴mn．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了二倍角的正弦，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．‎ ‎6.已知是公差为2的等差数列，为的前n项和，若，则=（ ）‎ A. -4 B. -3 C. -2 D. -1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由{an}是公差为2的等差数列，利用S5＝S3，求出a1＝﹣7，由此能求出a4．‎ ‎【详解】∵{an}是公差为2的等差数列，‎ Sn为{an}的前n项和，S5＝S3，‎ ‎∴，‎ 由d＝2，解得a1＝﹣7，‎ ‎∴a4＝﹣7+3×2＝﹣1．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的前n项和的求法，考查计算能力，属于基础题．‎ ‎7.在四面体SABC中若三条侧棱SA，SB，SC两两互相垂直，且SA=1，SB=，SC=‎ ‎，则四面体ABCD的外接球的表面积为（ ）‎ A. 8π B. 6π C. 4π D. 2π ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意一个四面体SABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，可知，四面体SABC是长方体的一个角，扩展为长方体，两者的外接球相同，长方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的表面积．‎ ‎【详解】四面体SABC中，共顶点S的三条棱两两相互垂直，且其长分别为1，，，‎ 所以四面体SABC是长方体的一个角，扩展为长方体，‎ 又四面体SABC的四个顶点同在一个球面上，‎ 而四面体SABC的外接球与长方体的外接球相同，长方体的对角线就是球的直径，‎ 所以球的直径为：， ‎ 外接球的表面积为：4π×R2＝6π 故选：B．‎ ‎【点睛】本题是基础题，考查四面体的外接球的表面积，本题的突破口在于四面体是长方体的一个角，扩展的长方体与四面体有相同的外接球．‎ ‎8.函数的图象大致为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当时，排除；当时，排除D,从而可得结果.‎ ‎【详解】当时，函数，所以选项B不正确；‎ 当时，函数，‎ 所以选项不正确，故选C.‎ ‎【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：‎ ‎(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．‎ ‎(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．‎ ‎(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．‎ ‎(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.‎ ‎9.已知满足条件∠ABC=30°，AB=12，AC=x的ΔABC有两个，则x的取值范围是（ ）‎ A. x=6 B. 6e时，<0，而，‎ 所以在[1，+∞)上递增，‎ 则在[1，+∞)上递增，.‎ ‎①当时，，‎ ‎∴在[1，+∞)上递减，‎ ‎∴‎ ‎∴比更靠近；‎ ‎②当时，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴递减，‎ ‎∴‎ ‎∴比更靠近； ‎ 综上所述，当时，比更靠近.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述函数的单调性、极值、最值的情况，考查考生分类讨论思想的应用，考查了逻辑推理能力与运算求解能力，属于较难题型．‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系．己知直线的直角坐标方程为，曲线C的极坐标方程为．‎ ‎（1）设t为参数，若，求直线的参数方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知：直线与曲线C交于A，B两点，设，且，，依次成等比数列，求实数a的值．‎ ‎【答案】（1）直线的参数方程是（t为参数）,曲线C的直角坐标方程：（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用代入消元法得直线的参数方程． 根据得曲线C的直角坐标方程．‎ ‎（2）将直线的参数方程代入抛物线方程，再由直线参数的几何意义以及韦达定理列方程解得答案．‎ ‎【详解】（1）将代入，得，‎ ‎∴直线的参数方程是（t为参数）‎ 由得，两边同时乘以得，由得曲线C的直角坐标方程：．‎ ‎（2）将直线的参数方程代入，得：，‎ 设A、B对应的参数分别是，∴，，‎ 由题意知：，∴，∴‎ 得：，∴，又∵，∴（经检验：符合题意．）‎ ‎【点睛】本题考查极坐标方程，普通方程与直角坐标方程的互化，以及直线参数方程中参数的几何意义，属于一般题．‎ ‎23.已知函数.‎ ‎(1)解不等式.‎ ‎(2)若函数，若对于任意的∈R都存在∈R，使得成立，求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用分类讨论法去掉绝对值，从而求得不等式f（x）≤2的解集；‎ ‎（2）利用绝对值不等式化简g（x）≥|a﹣1|，求出函数f（x）的最小值，‎ 问题化为|a﹣1|，求出不等式的解集即可．‎ ‎【详解】(1) ‎ 由得，，所求解集. ‎ ‎(2) ‎ ‎∴‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查了绝对值不等式，绝对值三角不等式和函数最值问题，是中档题．‎ ‎ ‎