2020届普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学密卷五

2020届普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学密卷五

‎2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）密卷五 数学Ⅰ 参考公式：‎ 样本数据，，…，的方差，其中 柱体的体积，其中S是柱体的底面积，是柱体的高．‎ 锥体的体积，其中S是椎体的底面积，h是椎体的高．‎ 一．填空题：本题共14小题，请把答案填写在答题卡相应位置上 ‎1．设集合，，则________．‎ ‎2．复数的虚部________．‎ ‎3．以双曲线的顶点为焦点，离心率为的椭圆的标准方程为________．‎ ‎4．正实数a，b，c满足：，，，a，b，c的大小关系是________．‎ ‎5．函数的值域________．‎ ‎6．设是定义在R上的偶函数且对恒成立，当时，，则________．‎ ‎7．等差数列的前n项和是，若，是方程的两根，则________．‎ ‎8．在上随机地取一个实数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为________．‎ ‎9．如图，在中，，，，的面积为 ‎，则角平分线AD的长等于________．‎ ‎10．中，，，线段BN与CM交于点P．若，则________．‎ ‎11．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为，F为C的上焦点，A为C的右顶点，P是C上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF的面积的最大值为________．‎ ‎12．三棱锥的底面是边长为3的正三角形，，，，则三棱锥的体积为________．‎ ‎13．已知抛物线的焦点为F，直线过点F与抛物线交于A，B两点，若，则________．‎ ‎14．已知函数，关于x的方程有5个不同的实数解，则的取值范围是________．‎ 二．解答题：本大题共6小题，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．的内角A，B，C所对的边分别为，，，，，向量与向量平行．‎ ‎（Ⅰ）求A；‎ ‎（Ⅱ）若，，求的面积．‎ ‎16．如图，已知正方形ABCD的边长为2，E为边AB的中点，将正方形沿DE折成直二面角，连接AC，AB，得到四棱锥，F为的中点．‎ ‎ ‎ ‎（Ⅰ）求证：平面ABC；‎ ‎（Ⅱ）求四面体FBEC的体积．‎ ‎17．某公园有一块边长为6百米的正空地，拟将它分割成面积相等的三个区域，用来种植三种花卉．方案是：先建造一条直道DE将分成面积之比为2∶1的两部分（点D，E分别在边AB，AC上）；再取DE的中点M，建造直道AM（如图）．设，，（单位：百米）‎ ‎（Ⅰ）分别求，关于的函数关系式；‎ ‎（Ⅱ）试确定点D的位置，使两条直道的长度之和最小，并求最小值．‎ ‎18．如图，椭圆E：，经过E的左焦点F，斜率为的直线与E交于A，B两点．‎ ‎（Ⅰ）当时，求；‎ ‎（Ⅱ）给定，延长，分别与椭圆E交于点C，D，设直线CD的斜率为．‎ 证明：为定值，并求此定值．‎ ‎19．已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当时，求证：函数恰有两个零点．‎ ‎20．给定数列，，…，，对，2，…，，该数列前项，，…，的最小值记为，后项，，…，的最大值记为，令．‎ ‎（Ⅰ）设数列为2，1，6，3写出，，的值；‎ ‎（Ⅱ）设，，…，是等比数列，公比，且，证明：，，…，是等比数列；‎ ‎（Ⅲ）设，，…，是公差大于0的等差数列，且，证明：，，…，是等差数列．‎ 数学Ⅱ（附加题）‎ ‎21【选做题】：本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A．[选修4-2：矩阵与变换]‎ 已知二阶矩阵有特征值及其对应的一个特征向量，特征值及其对应的一个特征向量，求矩阵的逆矩阵．‎ B．[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ 在直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的方程为：，直线与曲线C交于O，A两点．‎ ‎（Ⅰ）求直线的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）点P为曲线C上一点，求满足的点P有多少个？‎ C．[选修4-5：不等式选讲]‎ 已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）当时，恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【必做题】第22题、第23题，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22．如图，在四棱锥中，平面，底面为平行四边形，，，．‎ ‎（Ⅰ）求直线PB与平面PAC所成角的正弦值；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值的大小．‎ ‎23．已知甲盒内有大小相同的2个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的3个红球和3个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．‎ ‎（Ⅰ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；‎ ‎（Ⅱ）设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望．‎ 参考答案：‎ ‎2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）密卷五 数学Ⅰ答案 一．填空题 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎1‎ ‎336‎ ‎18‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ 二．解答题 ‎15．解：（Ⅰ）设等差数列的公差d，等比数列的公比为．‎ 由．‎ ‎∴．‎ ‎，．‎ ‎∴，．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，则 ‎①‎ ‎②‎ ‎①－②得：‎ ‎．‎ ‎∴．‎ 又∵∴．‎ ‎16．解：（Ⅰ）‎ 证明：取线段AC的中点M，连接MF，MB．‎ ‎∵F为AD的中点，∴，且．‎ 又∵，且．‎ ‎∴，．四边形MFEB为平行四边形．‎ 又∵平面ABC，平面ABC．‎ 故平面ABC．‎ ‎（Ⅱ）在平面ADE中，过点F作于点N．‎ ‎∵平面平面BEDC．‎ ‎∴平面BEDC．‎ 在中，，．∴．‎ 又∵F为AD的中点．∴．‎ ‎∴．‎ ‎17．解：（Ⅰ）由题意知，，即．‎ ‎∴．‎ 又∵，得．‎ 在中，由余弦定理，得：．‎ ‎∴，．‎ 在和中，由余弦定理，得：‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ 联立（1）（2），．‎ ‎∴．‎ ‎∴，‎ ‎（Ⅱ）‎ 当且仅当时，取等号．‎ 故当时，两条直道长度之和的最小值百米．‎ ‎18．解：（Ⅰ）设，，AB直线方程：‎ AB直线方程与椭圆方程联立，得：‎ 由韦达定理，‎ ‎．‎ ‎（Ⅱ）‎ 设，，AC直线方程：‎ AC直线方程与椭圆方程联立，‎ 得：‎ 由韦达定理，‎ ‎∴，‎ 将代入AC直线方程，得．‎ 同理，得：；‎ ‎∴；‎ ‎∴．‎ ‎19．解：（Ⅰ）由题意，，．‎ ‎，故．‎ ‎∴所求切线方程为：‎ 即：．‎ ‎（Ⅱ），．‎ 由题意，，只需证明恰有两个零点即可．‎ ‎．‎ 当时，；当时，．‎ ‎∴在单调递增，在单调递减．‎ ‎∴的最大值为．‎ 令，则 ‎∴在单调递增．‎ 当时，，即，则．‎ ‎∵．‎ 由，，且在单调递增，可得：‎ 在存在唯一的零点，使得．‎ 又∵在单调递减，，．‎ 故恰有两个零点 所以，当时，函数恰有两个零点．‎ ‎20．解：（Ⅰ）由题意，得，，．‎ ‎（Ⅱ）因为，公比，所以，，…，是递减数列．‎ 因此，对，2，…，，，．‎ 于是对，2，…，，‎ ‎．‎ 因此且，‎ 即，，…，是等比数列 ‎（Ⅲ）设为，，…，的公差，则 对，因为，‎ ‎∴，即 又∵，所以．‎ 从而，，…，是递减数列．因此．‎ 又∵，所以．‎ 因此．‎ ‎∴．‎ 因此对，2，…，都有，‎ 即，，…，是等差数列．‎ ‎21．【选做题】‎ A．[选修4-2：矩阵与变换]‎ 解：设二阶矩阵，由题意，得：‎ ‎，．‎ ‎，．得：，，，．‎ ‎∴．‎ 又∵，．‎ ‎∴．‎ 即矩阵的逆矩阵．‎ B．【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ 解：（Ⅰ）由，消参，得到直线的普通方程．‎ ‎（Ⅱ）由曲线C的极坐标方程：可得，‎ 曲线C的直角坐标方程．‎ 圆心C到直线的距离，‎ ‎∴‎ 由（表示点P到OA的距离）‎ ‎∵圆心C到直线的距离，‎ ‎∴在直线的上方的圆上存在一个点P到OA的距离；‎ 在直线的下方的圆上的点到OA的距离最大值为，‎ ‎∴在直线的下方的圆上存在两个点P到OA的距离．‎ 综上所述，满足题意的点P共3个．‎ C．[选修4-5：不等式选讲]‎ 解：（Ⅰ）由题意知，解不等式 ‎（1）当时，不等式化为，‎ 此时不等式的解；‎ ‎（2）当时，不等式化为，‎ 此时不等式的解；‎ ‎（3）当时，不等式化为，‎ 此时不等式的解；‎ 综上所述，原不等式的解集．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，的解集是；‎ ‎∴实数a的取值范围．‎ ‎【必做题】‎ ‎22．解：（Ⅰ）取C为坐标原点，过点C的PD平行线为z轴，‎ 依题意建立如图所示的空间直角坐标系．‎ 由题意得，，，，‎ 故，‎ 设平面PAC的法向量，则：‎ ‎，得．‎ 令，得．‎ ‎∴‎ 设直线PB与平面PAC所成角为．‎ ‎．‎ 故直线PB与平面PAC所成角的正弦值．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．‎ 设平面PBC的法向量为，‎ 则即 令，则，．‎ ‎∴．‎ ‎∵ABCD为平行四边形，且，‎ ‎∴．∵面ABCD，‎ ‎∴．‎ 又∵，∴面PDC．‎ ‎∴平面PDC的法向量为．‎ ‎∴，．‎ 经判断二面角的平面角为钝角，‎ ‎∴二面角余弦值的大小为．‎ ‎23．解：（Ⅰ）设事件为“甲盒中取出个红球”，事件为“甲盒中取出个红球”；事件C为“4个球恰有1个红球”‎ ‎∴．‎ ‎（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3，4．‎ 的分布列：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎．‎