河北省邯郸市大名一中2020届高三上学期第一次月考数学（文）试题

河北省邯郸市大名一中2020届高三上学期第一次月考数学（文）试题

‎2019-2020学年度第一学期高三9月份考试 文科数学试题 ‎（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）‎ 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.函数的定义域为，值域为，全集，则集合（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意，易得：，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 故选：C ‎2.在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数代数形式乘除运算化简求得的坐标得答案．‎ ‎【详解】 ，‎ 在复平面内，复数对应的点的坐标为，位于第四象限．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．‎ ‎3.已知等差数列的前n项和为，若，则＝ ( 　)‎ A. 28 B. ‎32 ‎C. 56 D. 24‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：，故选A.‎ 考点:等差数列前和公式.‎ ‎4.一个几何体三视图所示，侧视图上的数值是对应线段的长度，则该几何体的体积为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 几何体为半个圆柱（底面为半径为1的圆，高为4）与一个圆柱（底面为半径为1的圆，高为1）的组合体，体积为 ，选A ‎5.已知，过作的两条切线，其中为切点，则经过三点的圆的半径为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 经过三点的圆为以OP为直径的圆，所以半径为，选D ‎6.在中，角，，所对的边分别是，，，，，，则（ ）‎ A. 或 B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将已知代入正弦定理可得，根据，由三角形中大边对大角可得：，即可求得.‎ ‎【详解】解：，，‎ 由正弦定理得：‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理、三角形的边角大小关系，考查了推理能力与计算能力.‎ ‎7.已知函数是定义在R上的函数，，则“均为偶函数”是“为偶函数”的（ ）‎ A. 充要条件 B. 充分而不必要的条件 C. 必要而不充分的条件 D. 既不充分也不必要的条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数，均为偶函数，推得，证得的充分性成立，再举例说明必要性不成立，即可得到答案．‎ ‎【详解】由函数，均为偶函数，则，‎ 又由，即，‎ 所以为偶函数，‎ 例如：函数，此时为偶数，‎ 而函数都不是偶函数，‎ 所以，均为偶函数是为偶函数的充分而不必要的条件．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，以及函数的奇偶性的判定及应用，其中解答中熟记函数的奇偶性的定义和判定方法，以及合理利用举例说明是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．‎ ‎8.设分别为的三边的中点，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用基底表示出向量求和即可 ‎【详解】，，，故选B ‎【点睛】本题考查向量的加法的几何意义。‎ ‎9.已知等比数列{an}中，a2＝1，则其前3项的和S3的取值范围是(　　)‎ A. (－∞，－1]‎ B. (－∞，0)∪(1，＋∞)‎ C. [3，＋∞)‎ D. (－∞，－1]∪[3，＋∞)‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：根据题意，由于等比数列{an}中,a2＝1，‎ 其前3项的和S3=,‎ 利用基本不等式可知，‎ 该S3的范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)，故选D.‎ 考点：等比数列 点评：主要是考查了等比数列的前n项和的公式的运用，属于基础题.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎10.已知是定义域为的奇函数，满足,若，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，求得，且函数是以4为周期的周期函数，根据 ‎，求得一个周期内的函数值的和，进而求得的值，得到答案．‎ ‎【详解】由函数是定义域为的奇函数，所以，且，‎ 又由，即， ‎ 进而可得，所以函数是以4为周期的周期函数，‎ 又由，可得，，‎ 则，‎ 所以．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的应用，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和函数的周期性是解答本题的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．‎ ‎11.将函数y=2sin（ωx+）（ω>0）的图象向右移个单位后，所得图象关于y轴对称，则ω的最小值为 A. 2 B. 1‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 将函数y=2sin（ωx+）（ω>0）的图象向右移个单位后，可得y=2sin（ωx–ω+）的图象，再根据所得图象关于y轴对称，∴–ω+=kπ+，k∈Z，即ω=–，∴当k=–1时，ω取得最小值为1，故选B．‎ ‎12.已知函数，若 ‎，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由对于，转化为在上的最小值不小于在上的最大值，先求出得最大值，而后结合得到关于的不等式恒成立，再引入新函数，利用导数求得函数的最值，即可求解．‎ ‎【详解】由题意，对于，‎ 可得在上的最小值不小于在上的最大值，‎ 由，则，‎ 可得当时，，单调递减，当时，，单调递减，‎ 又由，即在区间上的最大值为4，‎ 所以在上恒成立，‎ 即在上恒成立，‎ 令，则，‎ 令，则，‎ 当时，，函数单调递减，即在单调递减，‎ 又由，所以在为正，在上为负，‎ 所以在为单调递增，在上单调递减，‎ 所以在上的最大值为，所以．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.若命题“∃x∈R，x2﹣2x+m≤‎0”‎是假命题，则m的取值范围是__．‎ ‎【答案】m＞1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合命题的否定与原命题真假对立，将原命题转化为命题的否定，结合二次函数的性质，即可计算m的范围。‎ ‎【详解】若命题“∃x∈R，x2﹣2x+m≤‎0”‎是假命题，‎ 则命题“∀x∈R，x2﹣2x+m＞‎0”‎是真命题，‎ 即判别式△=4﹣‎4m＜0，‎ 解得m＞1，‎ 故答案为：m＞1‎ ‎【点睛】本道题考查了命题否命题与原命题的关系，可以通过否命题，找出解题切入点，即可。‎ ‎14.曲线在点（1，2）处的切线方程为______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 设，则，所以，‎ 所以曲线在点处的切线方程为，即．‎ 点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以为切点的切线方程是．若曲线在点处的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．‎ ‎15.《九章算术》中研究盈不足问题时，有一道题是“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”题意即为“有厚墙五尺，两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，问几天后两鼠相遇？” 荆州古城墙某处厚33尺，两硕鼠按上述方式打洞，相遇时是第____天．（用整数作答）‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ 由题意得 ‎ ‎16.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B‎1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 点P到直线CC1的距离等于点P在平面ABCD上的射影到点C的距离，设点P在平面ABCD上的射影为P′，显然点P到直线CC1的距离的最小值为P′C的长度的最小值，当P′C⊥DE时，P′C的长度最小，此时P′C＝＝.‎ 此处有视频，请去附件查看】‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.‎ 已知=12sin(x+)cosx-3,x∈[o,].‎ ‎(1)求的最大值、最小值;‎ ‎(Ⅱ)CD为△ABC的内角平分线,已知AC=max,BC=,CD=2,求∠C.‎ ‎【答案】( Ⅰ) max =6 , min =3.‎ ‎( Ⅱ ) C=.‎ ‎【解析】‎ 分析：第一问先对函数解析式进行化简，首先应用正弦的和角公式拆，之后应用正余弦的倍角公式降次升角，之后应用辅助角公式化简，之后将整体角的取值范围求出，再判断其最值，第二问先将第一问求的结果代入，之后借助于正余弦定理找出对应的量，求得结果.‎ 详解：( Ⅰ ) =6sin ( 2 x + ) ‎ ‎∵ ( 0 ,)上单调递增,( )上单调递减 ‎∴ max =6 , min =3‎ ‎( Ⅱ )在 ΔADC 中,=,在 ΔBDC中,= ‎ ‎∵sin∠ADC=sin∠ BDC , AC=6 , BC =3‎ ‎∴ AD=2BD 在ΔBCD中, BD2 =17-12cos,‎ 在ΔACD中, AD2=44-24cos=68-48cos ‎ ‎∴cos=,即 C=( Ⅰ) max =6 , min =3.‎ ‎( Ⅱ ) C=.‎ 点睛：该题考查的是有关三角函数及解三角形的问题，在求解的过程中，一定要把握住解题的步骤与考虑问题的方向，思路必须明确，将有关公式和定理的内容都熟记于心是解题的关键.‎ ‎18.设数列的前项和为，已知.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，可得， 两式相减、化简得，得出数列是以首项为，公比为 的等比数列，利用等比数列的通项公式，即可求解．‎ 所以数列的通项公式． ‎ ‎（2）由（1）可得，求得，把不等式恒成立，转化为恒成立，令，求得数列的单调性和最大值，即可求解．‎ ‎【详解】（1）由题意，令，解得，‎ 由，可得， ‎ 两式相减得，化简得，即，‎ 所以数列是以首项为，公比为的等比数列，‎ 所以数列的通项公式． ‎ ‎（2）由（1）可得，数列的前n项和为，‎ 又由不等式恒成立，整理得恒成立，‎ 令，则， ‎ 当时，，所以， ‎ 当时，，所以，‎ 又因为， ∴的最大值是，即，‎ 所以实数的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题主要考查了等比数列的定义、通项公式和前n项和公式，以及数列的单调性的应用，其中解答中不等式的恒成立，转化为新数列的最值问题，利用数列的单调性求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．‎ ‎19.如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，为的中点.‎ ‎（1）在侧棱上找一点，使∥平面，并证明你的结论；‎ ‎（2）在（1）的条件下求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】(1) 见解析 (2) ‎ ‎【解析】‎ 试题分析:（1）为的中点，取的中点为，由三角形中位线性质得线线平行，再由线线平行证得面面平行，即得线面平行（2）因为为正四棱锥，所以可求V到底面距离，即得F到底面距离，再根据等体积法得，最后代入锥体体积公式即可 试题解析：（1）为的中点 .‎ 取的中点为，连 为正方形，为的中点 平行且等于，‎ 又 平面 ‎ 平行平面 .‎ ‎（2）为的中点， ‎ 为正四棱锥 在平面的射影为的中点 ‎ .‎ ‎20.已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，．‎ ‎（1）求圆的圆心坐标；‎ ‎（2）求线段的中点的轨迹的方程；‎ ‎（3）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）存在，或．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）通过将圆的一般式方程化为标准方程即得结论；（2）设当直线的方程为y=kx，通过联立直线与圆的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；（3）通过联立直线与圆的方程，利用根的判别式△=0及轨迹的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论 试题解析：（1）由得，‎ ‎∴ 圆的圆心坐标为；‎ ‎（2）设，则 ‎∵ 点为弦中点即，‎ ‎∴即，‎ ‎∴ 线段的中点的轨迹的方程为；‎ ‎（3）由（2）知点的轨迹是以为圆心为半径的部分圆弧（如下图所示，不包括两端点），且，，又直线：过定点，‎ 当直线与圆相切时，由得，又，结合上图可知当时，直线：与曲线只有一个交点．‎ 考点：1.轨迹方程；2.直线与圆相交的位置关系；3.圆的方程 ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎21.已知函数 ‎（1）当时，试求的单调区间；‎ ‎（2）若在内有极值，试求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) 单调增区间为，单调减区间为 (2)‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）由题意，求得函数的导数，分别求得和的解集，即可得到函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若在内有极值，则在内有解，令，得到，‎ 在令，求得函数的值域，进而可求解实数的取值范围.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ） ，‎ ‎ 　 ． ‎ 当时，对于，恒成立，‎ 所以 Þ； Þ 0.‎ 所以 单调增区间为，单调减区间为 ． ‎ ‎（Ⅱ）若在内有极值，则在内有解．‎ 令 Þ Þ .‎ 设 ,‎ 所以 , 当时，恒成立，‎ 所以单调递减.‎ 又因为，又当时，,‎ 即在上的值域为,‎ 所以 当时， 有解.‎ 设，则 ，‎ 所以在单调递减.‎ 因为，,‎ 所以在有唯一解. ‎ 所以有：‎ ‎0‎ ‎0‎ 极小值 所以 当时，在内有极值且唯一.‎ 当时，当时，恒成立，单调递增，不成立．‎ 综上，的取值范围为． ‎ 点睛：本题主要考查导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而导致错解.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等，从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系. (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数. (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题. (4)考查数形结合思想的应用.‎ ‎.‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．‎ ‎22.[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ 在直角坐标系中，曲线的参数方程为 （‎ 为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 ‎ ‎（1）求的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知，与的交点为，，求的值.‎ ‎【答案】(1) (2)20‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用极坐标和直角坐标的相互转化公式求解；‎ ‎（2）利用参数的几何意义可知，然后联立方程，利用韦达定理可求..‎ ‎【详解】解：（1）因为，所以，‎ 因为，所以，即；‎ ‎（2）联立方程组有.‎ ‎∵.‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题主要考查极坐标方程化为直角坐标方程及利用参数的几何意义求解长度问题.侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.‎ ‎23.已知函数．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若时不等式成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）或；（2）空集.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过零点法，分类讨论，去掉绝对值符号，然后求解不等式的解集．‎ ‎（2）当时，，化简，由得，即，推出结果即可．‎ ‎【详解】解：（1）不等式，即.‎ 可得，或或，‎ 解得或，所以不等式的解集为.‎ ‎（2）当时，，所以，‎ 由得，即，‎ 则，该不等式无解，‎ 所以实数的取值范围是空集（或者）.‎ ‎【点睛】本题考查不等式的解法，恒成立条件的转化，考查计算能力．‎ ‎ ‎