2020年全国新高考数学Ⅰ卷试卷【word版;可编辑;含答案】

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2020年全国新高考数学Ⅰ卷试卷【word版;可编辑;含答案】

1 / 11 2020 年全国新高考Ⅰ卷数学试卷 一、选择题 1.设集合퐴 = {푥|1 ≤ 푥 ≤ 3},퐵 = {푥|2 < 푥 < 4},则퐴 ∪ 퐵 = () A.{푥|2 < 푥 ≤ 3} B.{푥|2 ≤ 푥 ≤ 3} C.{푥|1 ≤ 푥 < 4} D.{푥|1 < 푥 < 4} 2. 2−푖 1+2푖 =() A.1 B.−1 C.푖 D.−푖 3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去一个 场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3买名,则不同 的安排方法共有() A.120种 B.90种 C.60种 D.30种 4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷 针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为푂), 地球上一点퐴的纬度是指푂퐴与地球赤道所在平面所成角,点퐴处的水 平面是指过点퐴且与푂퐴垂直的平面,在点퐴处放置一个日晷,若晷面 与赤道所在平面平行,点퐴处的纬度为北纬40∘,则晷针与点퐴处的 水平面所成角为() A.20∘ B.40∘ C.50∘ D.90∘ 5.某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足 球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学 既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是() A.62% B.56% C.46% D.42% 6.基本再生数푅0与世代间隔푇是新冠肺炎的流行病学基本参 数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两 代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数 模型:퐼(푡) = 푒푟푡描述累计感染病例数퐼(푡)随时间푡(单位:天)的变 化规律,指数增长率푟与푅0,푇近似满足푅0 = 1 + 푟푇,有学者基于已 有数据估计出푅0 = 3.28,푇 = 6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段, 累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2 ≈ 0.69)() A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天 7.已知푃是边长为2的正六边形퐴퐵퐶퐷퐸퐹内的一点,则퐴푃 → ⋅ 퐴퐵 → 的 取值范围是() A.(−2,6) B.(−6,2) C.(−2,4) D.(−4,6) 8.若定义在R的奇函数푓(푥)在(−∞, 0)单调递减,且푓(2) = 0,则 满足푥푓(푥 − 1) ≥ 0的푥的取值范围是() A.[−1,1] ∪ [3, +∞) B.[−3, −1] ∪ [0,1] C.[−1,0] ∪ [1, +∞) D.[−1,0] ∪ [1,3] 二、多选题 9.已知曲线퐶:푚푥2 + 푛푦2 = 1.() 2 / 11 A.若푚 > 푛 > 0,则퐶是椭圆,其焦点在푦轴上 B.若푚 = 푛 > 0,则퐶是圆,其半径为√푛 C.若푚푛 < 0,则퐶是双曲线,其渐近线方程为푦 = ±√− 푚 푛 푥 D.若푚 = 0,  푛 > 0,则퐶是两条直线 10.如图是函数푦 = sin(휔푥 + 휑)的部分图像,则sin(휔푥 + 휑) =() A.sin (푥 + 휋 3) B.sin (휋 3 − 2푥) C.cos (2푥 + 휋 6) D.cos (5휋 6 − 2푥) 11.已知푎 > 0,푏 > 0,且푎 + 푏 = 1,则() A.푎2 + 푏2 ≥ 1 2 B.2푎−푏 > 1 2 C.log2푎 + log2푏 ≥ −2 D.√푎 + √푏 ≤ 2 12.信息熵是信息论中的一个重要概念,设随机变量푋所有可能 的取值为1,2,⋯,푛,且푃(푋 = 푖) = 푝푖 > 0(푖 = 1,2, ⋯ , 푛), ∑ 푝푖 푛 푖=1 = 1,定义푋的信息熵퐻(푋) = − ∑ 푝푖 푛 푖=1 log2푝푖,则() A.若푛 = 1,则퐻(푋) = 0 B.若푛 = 2,则퐻(푋)随着푝푖的增大而增大 C.若푝푖 = 1 푛 (푖 = 1,2, … , 푛),则퐻(푋)随着푛的增大而增大 D.若푛 = 2푚,随机变量푌所有可能的取值为1,2,⋯,푚,且 푃(푌 = 푗) = 푝푗 + 푝2푚+1−푗(푗 = 1,2, ⋯ , 푚),则퐻(푋) ≤ 퐻(푌) 三、填空题 13.斜率为√3的直线过抛物线퐶: 푦2 = 4푥的焦点,且与퐶交于퐴, 퐵两点,则|퐴퐵| =________. 14.将数列{2푛 − 1}与{3푛 − 2}的公共项从小到大排列得到数列 {푎푛},则{푎푛}的前푛项和为________. 15.某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图 所示.푂为圆孔及轮廓圆弧퐴퐵所在圆的圆心,퐴是圆弧퐴퐵与直线퐴퐺 的切点,퐵是圆弧퐴퐵与直线퐵퐶的切点,四边形퐷퐸퐹퐺为矩形,퐵퐶 ⊥ 퐷퐺,垂足为퐶,tan∠푂퐷퐶 = 3 5 ,퐵퐻//퐷퐺,퐸퐹 = 12푐푚,퐷퐸 = 2푐푚, 퐴到直线퐷퐸和퐸퐹的距离均为7푐푚,圆孔半径为1,则图中阴影部分 的面积为________푐푚2. 16.已知直四棱柱퐴퐵퐶퐷 − 퐴1퐵1퐶1퐷1的棱长均为2,∠퐵퐴퐷 = 60∘, 以퐷1为球心,√5为半径的球面与侧面퐵퐶퐶1퐵1的交线长为________. 3 / 11 四、解答题 17.在①푎푐 = √3,②푐sin퐴 = 3,③푐 = √3푏这三个条件中任选 一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求푐的值;若问 题中的三角形不存在,说明理由. 问题:是否存在△ 퐴퐵퐶,它的内角퐴,퐵,퐶的对边分别为푎,푏, 푐,且sin퐴 = √3sin퐵,퐶 = 휋 6 ,________? 18.已知公比大于1的等比数列{푎푛}满足푎2 + 푎4 = 20,푎3 = 8. (1)求{푎푛}的通项公式; (2)记푏푚为{푎푛}在区间(0, 푚](푚 ∈ N∗)中的项的个数,求数列 {푏푚}的前100项和푆100. 4 / 11 19.为加强环境保护,治理空气污染,环境监测部门对某市空气 质量进行调研,随机抽查了100天空气中的푃푀2.5和푆푂2浓度(单位: 휇푔/푚3),得下表: (1)估计事件“该市一天空气中푃푀2.5浓度不超过75,且푆푂2浓 度不超过150”的概率; (2)根据所给数据,完成下面的2 × 2列联表: (3)根据(2)中的列联表,判断是否有99%的把握认为该市一天 空气中푃푀2.5浓度与푆푂2浓度有关? 附:퐾2 = 푛(푎푑−푏푐)2 (푎+푏)(푐+푑)(푎+푐)(푏+푑) , 푃(퐾2 ≥ 푘) 0.050 0.010 0.001 푘 3.841 6.635 10.828 5 / 11 20.如图,四棱锥푃 − 퐴퐵퐶퐷的底面为正方形,푃퐷 ⊥底面 퐴퐵퐶퐷.设平面푃퐴퐷与平面푃퐵퐶的交线为푙. (1)证明:푙 ⊥平面푃퐷퐶; (2)已知푃퐷 = 퐴퐷 = 1,푄为푙上的点,求푃퐵与平面푄퐶퐷所成角的 正弦值的最大值. 21.已知函数푓(푥) = 푎푒푥−1 − ln푥 + ln푎. (1)当푎 = 푒时,求曲线푦 = 푓(푥)在点(1, 푓(1))处的切线与两坐标 轴围成的三角形的面积; (2)若푓(푥) ≥ 1,求푎的取值范围. 6 / 11 22.已知椭圆퐶: 푥2 푎2 + 푦2 푏2 = 1(푎 > 푏 > 0)的离心率为√2 2 ,且过点 퐴(2,1). (1)求퐶的方程; (2)点푀,푁在퐶上,且퐴푀 ⊥ 퐴푁,퐴퐷 ⊥ 푀푁,퐷为垂足.证明: 存在定点푄,使得|퐷푄|为定值. 7 / 11 参考答案与试题解析 2020 年全国新高考Ⅰ卷数学试卷 一、选择题 1.C 2.D 3.C 4.B 5.C 6.B 7.A 8.D 二、多选题 9.A,C,D 10.B,C 11.A,B,D 12.A,C 三、填空题 13.16 3 14.3푛2 − 2푛 15.5휋 2 + 4 16.√2휋 2 四、解答题 17.解:选①:∵sin퐴 = √3sin퐵,퐶 = 휋 6 ,푎푐 = √3, ∴sin (5 6 휋 − 퐵) = √3sin퐵, ∴1 2 cos퐵 + √3 2 sin퐵 = √3sin퐵, ∴sin (휋 6 − 퐵) = 0,∴퐵 = 휋 6 . 又∵퐶 = 휋 6 ,∴푏 = 푐. 由正弦定理可得:푎 = √3푏, 又푎푏 = √3 解得푎 = √3,  푏 = 1, ∴푐 = 1, 故满足条件存在△ 퐴퐵퐶; 选②:sin퐴 = √3sin퐵,퐶 = 휋 6 ,푐sin퐴 = 3. ∵푐sin퐴 = 3,∴푎sin퐶 = 3, ∴푎 = 6. 由正弦定理可得:푎 = √3푏, ∴푏 = 2√3, ∴푐2 = 푎2 + 푏2 − 2푎푏cos퐶 = 36 + 12 − 24√3 × √3 2 = 12, ∴푐 = 2√3, 8 / 11 ∴퐵 = 휋 6 ,퐴 = 2 3 휋, 故满足条件存在△ 퐴퐵퐶; 选③:푐 = √3푏,sin퐴 = √3sin퐵,퐶 = 휋 6 , 由①可知,퐵 = 휋 6 , 故△ 퐴퐵퐶为等腰三角形푐 = 푏,又푐 = √3푏,矛盾. 故不存在△ 퐴퐵퐶满足条件. 18.解:(1)由题意可知{푎푛}为等比数列, 푎2 + 푎4 = 20,푎3 = 8, 可得푎3 푞 + 푎3푞 = 20, 得2푞2 − 5푞 + 2 = 0, (2푞 − 1)(푞 − 2) = 0. ∵ 푞 > 1, ∴ 푞 = 2, ∵ 푎1 × 푞2 = 푎3, 可得푎1 = 2, ∴ {푎푛}的通项公式为: 푎푛 = 2 × 2푛−1 = 2푛. (2) ∵ 푏푚为{푎푛}在(0, 푚](푚 ∈ N∗)中的项的个数, 当푚 = 2푘时,푏푚 = 푘, 当푚 ∈ [2푘−1, 2푘)时,푏푚 = 푘 − 1,其中푘 ∈ N+. 可知푆100 = 푏1 + (푏2 + 푏3) +(푏4 + 푏5 + 푏6 + 푏7) +(푏8 + 푏9 + ⋯ + 푏15) +(푏16 + 푏17 + ⋯ + 푏31) +(푏32 + 푏33 + ⋯ + 푏63) +(푏64 + 푏65 + ⋯ + 푏100) = 0 + 1 × 2 + 2 × 4 + 3 × 8 +4 × 16 + 5 × 32 + 6 × 37 = 480. 19.解:(1)根据抽查数据, 该市100天的空气中푃푀2.5浓度不超过75,且푆푂2浓度不超过 150的天数为: 32 + 18 + 6 + 8 = 64, 因此,该市一天空气中푃푀2.5浓度不超过75, 且푆푂2浓度不超过150的概率的估计值为 64 100 = 0.64. (2)根据抽查数据,可得2 × 2列联表: (3)根据(2)的列联表得 9 / 11 퐾2 = 100×(64×10−16×10)2 80×20×74×26 ≈ 7.484, 由于7.484 > 6.635,故有99%的把握认为该市一天空气中 푃푀2.5浓度与푆푂2浓度有关. 20.(1)证明:因为四边形퐴퐵퐶퐷为正方形, 故퐵퐶 ⊥ 퐶퐷. 又因为푃퐷 ⊥底面퐴퐵퐶퐷,故푃퐷 ⊥ 퐵퐶, 又由于푃퐷 ∩ 퐷퐶 = 퐷,因此퐵퐶 ⊥平面푃퐷퐶. 因为在正方形퐴퐵퐶퐷中퐵퐶//퐴퐷, 且퐴퐷 ⊂平面푃퐴퐷,퐵퐶 ⊄平面푃퐴퐷, 故퐵퐶//平面푃퐴퐷. 又因为퐵퐶 ⊂平面푃퐵퐶, 且平面푃퐴퐷与平面푃퐵퐶的交线为푙, 故퐵퐶//푙. 因此푙 ⊥平面푃퐷퐶. (2)解:由已知条件,푃 − 퐴퐵퐶퐷底面为正方形, 푃퐷 ⊥底面퐴퐵퐶퐷, 以퐷为原点,퐷퐴为푥轴,퐷퐶为푦轴,퐷푃为푧轴, 建立퐷 − 푥푦푧空间直角坐标系,如图所示: 因为푃퐷 = 퐴퐷 = 1,푄在直线푙上, 设푄(푎, 0,1),其中푎 ∈ R, 由题意得,퐷(0,0,0),퐶(0,1,0),퐵(1,1,0),푃(0,0,1), 则푃퐵 → = (1,1, −1),퐷퐶 → = (0,1,0),퐷푄 → = (푎, 0,1), 设平面푄퐶퐷法向量为푛→ = (푥, 푦, 푧), 则{푛→ ⋅ 퐷퐶 → = 0, 푛→ ⋅ 퐷푄 = 0, 得{푦 = 0, 푎푥 + 푧 = 0, 令푧 = −푎, 则平面푄퐶퐷的一个法向量为:푛→ = (1,0, −푎), 设푃퐵与平面푄퐶퐷成角为휃, 则sin휃 = |cos < 푛→, 푃퐵 → > | = |1 + 푎| √3 × √1 + 푎2 = 1 √3 × √(1 + 푎)2 1 + 푎2 = √3 3 × √1 + 2푎 1+푎2, 10 / 11 ①若푎 = 0,则sin휃 = √3 3 , ②若푎 ≠ 0,则sin휃 = √3 3 × √1 + 2 1 푎+푎 , 푎 > 0时, ∵ 1 푎 + 푎 ≥ 2 × √1 푎 ⋅ 푎 = 2, 当且仅当1 푎 = 푎,即푎 = 1时,$``="$成立, ∴ sin휃 ≤ √3 3 × √1 + 2 2 = √6 3 . 当푎 < 0时,sin휃 < √3 3 , ∴当푎 = 1时,sin휃 = √6 3 取到最大值. 综上所述,푃퐵与平面푄퐶퐷成角的正弦值的最大值为√6 3 . 21.解:(1)当푎 = 푒时,푓(푥) = 푒푥 − ln푥 + 1, 푓′(푥) = 푒푥 − 1 푥 , ∴푘 = 푓′(1) = 푒 − 1,푓(1) = 푒 + 1, ∴푦 − (푒 + 1) = (푒 − 1)(푥 − 1), 即푦 = (푒 − 1)푥 + 2, ∴在푦轴上的截距为2,在푥轴的截距为 2 1−푒 , ∴푆 = 1 2 × 2 × | 2 1−푒 | = 2 푒−1 . (2)①当0 < 푎 < 1时,푓(1) = 푎 + ln푎 < 1; ②当푎 = 1时,푓(푥) = 푒푥−1 − ln푥, 푓′(푥) = 푒푥−1 − 1 푥 , 当푥 ∈ (0,1)时,푓′(푥) < 0, 当푥 ∈ (1, +∞)时,푓′(푥) > 0, 所以当푥 = 1时,푓(푥)取得最小值, 最小值为푓(1) = 1,从而푓(푥) ≥ 1; ③当푎 > 1时, 푓(푥) = 푎푒푥−1 − ln푥 + ln푎 ≥ 푒푥−1 − ln푥 ≥ 1. 综上,푎的取值范围是[1, +∞). 22.(1)解:由题设得 4 푎2 + 1 푏2 = 1, 푎2−푏2 푎2 = 1 2 , 解得푎2 = 6,푏2 = 3. ∴ 퐶的方程为푥2 6 + 푦2 3 = 1. (2)证明:设푀(푥1, 푦1),푁(푥2, 푦2). 11 / 11 若直线푀푁与푥轴不垂直,设直线푀푁的方程为 푦 = 푘푥 + 푚,代入푥2 6 + 푦2 3 = 1得 (1 + 2푘2)푥2 + 4푘푚푥 + 2푚2 − 6 = 0. 于是푥1 + 푥2 = − 4푘푚 1+2푘2,푥1푥2 = 2푚2−6 1+2푘2 .① 由퐴푀 ⊥ 퐴푁知퐴푀 → ⋅ 퐴푁 → = 0, 故(푥1 − 2)(푥2 − 2) + (푦1 − 1)(푦2 − 1) = 0,可得 (푘2 + 1)푥1푥2 + (푘푚 − 푘 − 2)(푥1 + 푥2) + (푚 − 1)2 + 4 = 0, 将①代入上式可得 (푘2 + 1) 2푚2−6 1+2푘2 − (푘푚 − 푘 − 2) 4푘푚 1+2푘2 + (푚 − 1)2 + 4 = 0, 整理得(2푘 + 3푚 + 1)(2푘 + 푚 − 1) = 0, 因为퐴(2,1)不在直线푀푁上, 所以2푘 + 푚 − 1 ≠ 0, 故2푘 + 3푚 + 1 = 0,푘 ≠ 1, 于是푀푁的方程为푦 = 푘(푥 − 2 3) − 1 3 (푘 ≠ 1), 所以直线푀푁过点푃(2 3 , − 1 3). 若直线푀푁与푥轴垂直,可得푁(푥1, −푦1). 由퐴푀 → ⋅ 퐴푁 → = 0得 (푥1 − 2)(푥1 − 2) + (푦1 − 1)(−푦1 − 1) = 0. 又푥12 6 + 푦12 3 = 1, 可得3푥1 2 − 8푥1 + 4 = 0, 解得푥1 = 2(舍去),푥1 = 2 3 , 此时直线푀푁过点푃(2 3 , − 1 3). 令푄为퐴푃的中点,即푄(4 3 , 1 3). 若퐷与푃不重合,则由题设知 퐴푃是푅푡 △ 퐴퐷푃的斜边,故|퐷푄| = 1 2 |퐴푃| = 2√2 3 . 若퐷与푃重合,则|퐷푄| = 1 2 |퐴푃|. 综上,存在点푄(4 3 , 1 3),使得|퐷푄|为定值.
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