陕西省汉中市2020届高三上学期第五次质量检测数学（理）试题

陕西省汉中市2020届高三上学期第五次质量检测数学（理）试题

‎2020届高三第五次质量检测理科数学试题 第I卷 一、选择题 ‎1.已知集合，，则=（　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简集合，根据交集的定义写出．‎ ‎【详解】集合，，‎ 则．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．‎ ‎2.复数满足，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎.‎ ‎3.已知向量，且，则实数（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出向量 的坐标，由 得 ，代入坐标求出k的值．‎ ‎【详解】 ‎ 由 得，。 ‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量的数量积的坐标运算，向量垂直的坐标表示，是基础题．‎ ‎4.我们常用的数是十进制数，如，数要用10个数码（又叫数字）：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，在电子计算机中用的二进制，只要两个数码：0和1，如二进制中等于十进制的数6，等于十进制的数53．那么十二进制数66用二进制可表示为（ ）‎ A. 1001110 B. ‎1000010 ‎C. 101010 D. 111000‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将十二进制数66化为十进制数，再将十进制数化为二进制即可.‎ ‎【详解】十二进制数 等于十进制的数.‎ 十进制的数.‎ 故十进制的数等于二进制的数.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查进制化二进制，其方法是，先将进制化十进制，再将其化为二进制.属于基础题.‎ ‎5.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟，均为正整数）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，则它的极差不可能为（ ）‎ A. 8 B. ‎4 ‎C. 2 D. 1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平均数为10可得到，再讨论的取值，即可得出答案.‎ ‎【详解】由题意知：‎ 当时，极差为.‎ 当时，极差为.‎ 当时，极差为.‎ 当时，极差为.‎ 当时，极差为.‎ 当时，极差为.A可能 当时，极差为.‎ 当时，极差为. B可能 当时，极差为. C可能 当时，极差. D不可能 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查平均数与极差，本类题型只需根据题意找到的关系，再讨论取值即可，属于基础题.‎ ‎6.九章算术是我国古代著名数学经典其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深一寸，锯道长一尺问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示阴影部分为镶嵌在墙体内的部分已知弦尺，弓形高寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为( )(注：1丈尺寸，，)‎ A. 600立方寸 B. 610立方寸 C. 620立方寸 D. 633立方寸 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三角形，利用勾股定理可得半径，进而得，再利用，乘以高即可得体积.‎ ‎【详解】‎ 连接，设⊙的半径为，‎ 则，所以.‎ 由于，‎ 所以，即.‎ 所以 平方寸．‎ ‎∴该木材镶嵌在墙中的体积为立方寸，‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理及扇形的面积公式，柱体的体积公式，属于中档题 ‎7.已知函数（，）的最小正周期是，将函数 的图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点，则函数（ ）‎ A. 有一个对称中心 B. 有一条对称轴 C. 在区间上单调递减 D. 在区间上单调递增 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题，平移后得到的函数是，其图象过点,，因为，，,故选B.‎ 点睛：本题考查的是的图象及性质.解决本题的关键有两点:一是图象向左平移变换时要弄清是加还是减，是x加减，还是2x加减，另一方面是根据图象过点确定的值时，要结合五点及确定其取值，得到函数的解析式，再判断其对称性和单调性.‎ ‎8.若，，则下列不等式错误的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据幂函数和对数函数的图像和性质，结合不等式的基本性质，逐一分析四个答案的真假，即可得出答案.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以 为增函数，，故A正确.‎ 为减函数，所以，又，可得，故B正确.‎ 因为，两边同除，得到，故C不正确 为减函数，所以，故，故D正确 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查幂函数、对数函数的性质、不等式的性质，属于基础题,解决本类题只需根据题意给出具体的数值，代入选项，即可判断出答案.‎ ‎9.数列的前项和为，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 当n=1时,a1=‎2a1−4，解得,a1=4；‎ 当n⩾2时,Sn=2an−4,Sn−1=2an−1−4，‎ 故an=2an−2an−1，故an=2an−1，‎ 故数列{an}是以4为首项，2为公比的等比数列；故an=2n+1，‎ 本题选择A选项.‎ ‎10.过抛物线y2＝4x焦点F的直线交抛物线于A、B两点，交其准线于点C，且A、C位于x轴同侧，若|AC|＝2|AF|，则|BF|等于（　　）‎ A. 2 B. ‎3 ‎C. 4 D. 5‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知：|AC|＝2|AF|，则∠ACD，利用三角形相似关系可知丨AF丨＝丨AD丨，直线AB的切斜角，设直线l方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及抛物线弦长公式求得丨AB丨，即可求得|BF|．‎ ‎【详解】抛物线y2＝4x焦点F（1，0），准线方程l：x＝﹣1，准线l与x轴交于H点，‎ 过A和B做AD⊥l，BE⊥l，‎ 由抛物线的定义可知：丨AF丨＝丨AD丨，丨BF丨＝丨BE丨，‎ ‎|AC|＝2|AF|，即|AC|＝2|AD|，‎ 则∠ACD，由丨HF丨＝p＝2，‎ ‎∴，‎ 则丨AF丨＝丨AD丨，‎ 设直线AB的方程y（x﹣1），‎ ‎，整理得：3x2﹣10x+3＝0，‎ 则x1+x2，‎ 由抛物线的性质可知：丨AB丨＝x1+x2+p，‎ ‎∴丨AF丨+丨BF丨，解得：丨BF丨＝4，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查相似三角形的性质，考查计算能力，数形结合思想，属于中档题．‎ ‎11.已知椭圆，双曲线．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，设椭圆M的离心率为，双曲线N的离心率为，则为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意画出椭圆与双曲线的图像，根据正六边形的性质，即可找到椭圆中与双曲线中的关系式，即可求出其离心率.‎ ‎【详解】如图所示：‎ ‎ ‎ 因为.‎ 所以双曲线的渐近线为，即.‎ 因为 、、、.‎ 所以 .‎ 所以.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆与双曲线离心率,属于基础题.解决本题的关键在于正确画出其图像，找到图像中的关于等式.‎ ‎12.已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段的长度的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将的最小值，转化为到圆心的最小距离再减去半径来求得的最小值.设出函数上任意一点的坐标，求得圆心的坐标，利用两点间的距离公式求得 的表达式，利用导数求得这个表达式的最小值，再减去求得的最小值.‎ ‎【详解】依题意，圆心为，设点的坐标为，由两点间距离公式得，设，，令解得，由于，可知当时，递增，时，，递减，故当时取得极大值也是最大值为，故，故时，且，所以，函数单调递减.当时，，，当时，，即单调递增，且，即，单调递增，而，故当时，函数单调递增，故函数在处取得极小值也是最小值为，故的最小值为，此时.故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查圆的方程，考查导数在研究函数中的应用，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ 第Ⅱ卷 二、填空题 ‎13. ‎ ‎【答案】-4‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】解：因为利用二项式定理可知，展开式中含有x的一次幂的项的系数即为分步乘法，再分类相加得到.即 ‎14.若实数x，y满足约束条件，则的取值范围为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出可行域，结合目标函数的几何意义求解即可 ‎【详解】由题不等式表示的可行域如图阴影所示：‎ 由得，易得 ‎ 表示可行域的点与原点连线的斜率，故在A处取得最小值 ，在B处取得最大值2‎ 故填 ‎【点睛】本题考查线性规划问题，考查数形结合思想，准确计算是关键，是基础题 ‎15.已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且满足f（3-x）=f（x），f（-1）=3，数列{an}满足a1=1且an=n（an+1-an）（n∈N*），则f（a36）+f（a37）=（　　）‎ A. B. C. 2 D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件判断函数的周期是6，利用数列的递推关系求出数列的通项公式，结合数列的通项公式以及函数的周期性进行转化求解即可．‎ ‎【详解】∵函数f（x）是奇函数，且满足f（3-x）=f（x），f（-1）=3，‎ ‎∴f（x）=f（3-x）=-f（x-3），‎ 即f（x+3）=-f（x），则f（x+6）=-f（x+3）=f（x），‎ 即函数f（x）是周期为6的周期函数，‎ 由数列{an}满足a1=1且an=n（an+1-an） （n∈N*），‎ 则an=nan+1-nan，即（1+n）an=nan+1，则 ，‎ 等式两边同时相乘得，‎ 即=n，即an=na1=n，即数列{an}的通项公式为an=n，‎ 则f（a36）+f（a37）=f（36）+f（37）=f（0）+f（1），‎ ‎∵f（x）是奇函数，∴f（0）=0，‎ ‎∵f（-1）=3，∴-f（1）=3，即f（1）=-3，‎ 则f（a36）+f（a37）=f（36）+f（37）=f（0）+f（1）=0-3=-3，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数与数列的综合，求出函数的周期以及数列的通项公式，结合函数的周期性进行转化是解决本题的关键．‎ ‎16.点S、A、B、C在半径为的同一球面上，点S到平面ABC的距离为，，则点S与中心的距离为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设的外接圆的圆心为.连接 过作于点.由题意可求出，从而得到，即可得到，在中即可求出点S与中心的距离 .‎ ‎【详解】如图所示：‎ 设的外接圆的圆心为.连接 过作于点.‎ 因为.‎ 所以的外接圆半径.‎ 所以.‎ 因为点S到平面ABC的距离为,平面,‎ 所以 .即 ‎ 在中： .‎ 所以 .‎ 故填：.‎ ‎【点睛】本题考查球上的点到三角形中心的距离的求法,属于中档题,解题时要认真审题，注意球的性质和空间思维能力的培养.‎ 三、解答题 ‎17.已知函数．‎ ‎（I）当时，求的值域；‎ ‎（II）已知的内角的对边分别为，，，求的面积．‎ ‎【答案】（I） （II） ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（I）利用三角恒等变换化简函数的解析式，结合，即可求得的值域；（II）由求得的值，利用余弦定理求得的值，可得的面积．‎ 试题解析：（I）由题意知，由．‎ ‎∵，∴，∴，∴．‎ ‎（II）∵，∴，∵，∴，‎ ‎∵，∴由余弦定理可得，∴，‎ ‎∴．‎ ‎18. 清华大学自主招生考试题中要求考生从A，B，C三道题中任选一题作答，考试结束后，统计数据显示共有600名学生参加测试，选择A，B，C三题答卷数如下表：‎ 题 ‎ A ‎ B ‎ C ‎ 答卷数 ‎ ‎180 ‎ ‎300 ‎ ‎120 ‎ ‎ ‎ ‎（Ⅰ）负责招生的教授为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从600份答案中抽出若干份答卷，其中从选择A题作答的答卷中抽出了3份，则应分别从选择B，C题作答的答卷中各抽出多少份？‎ ‎（Ⅱ）测试后的统计数据显示，A题的答卷得优的有60份，若以频率作为概率，在（Ⅰ）问中被抽出的选择A题作答的答卷中，记其中得优的份数为，求的分布列及其数学期望．‎ ‎【答案】(Ⅰ)5份，2份；（Ⅱ）详见解析．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(Ⅰ)根据分层比是，所以每一层都是按此分层比抽取，题抽取，题抽取的是；（Ⅱ）由题可知得优的概率是，所以 题抽取的3人中，答案满足优的份数,根据二项分布的公式列出分布列，和期望．‎ 试题解析：解：（Ⅰ）由题意可得：‎ 题 ‎ A ‎ B ‎ C ‎ 答卷数 ‎ ‎180 ‎ ‎300 ‎ ‎120 ‎ 抽出的答卷数 ‎ ‎3 ‎ ‎5 ‎ ‎2 ‎ ‎ ‎ 应分别从题的答卷中抽出份，份．‎ ‎（Ⅱ）由题意可知，A题答案得优的概率为，显然被抽出的A题的答案中得优的份数的可能取值为0,1,2,3，且．；；‎ ‎；‎ 随机变量的分布列为：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以．‎ 考点：1．分层抽样；2．二项分布．‎ ‎19.如图1，是等腰直角三角形，，D，E分别是AC，AB上的点，,将沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥，使得．‎ ‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ ‎（1）证明：平面平面BCD；‎ ‎（2）求与平面所成角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）证明见解析 ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取BC中点O，连接OD，OE，因为，O为BC中点,根据题意即可求出，，由即可得到，即可说明平面BCD,则可证明平面平面BCD.‎ ‎（2）以O点为原点，建立空间直角坐标系O-xyz. 则可写出，，，的坐标，即可求出平面的法向量,利用公式，即可求出答案.‎ ‎【详解】（1）如图所示：‎ 取BC中点O，连接OD，OE，因为，O为BC中点,‎ 所以 则,．‎ 在中，，．‎ 在中，，所以．‎ ‎∵，∴平面BCD．‎ 又平面，所以平面平面BCD．‎ ‎（2）如图所示：‎ 以O点为原点，建立空间直角坐标系O-xyz，‎ 则，，，，‎ 所以，，‎ 设为平面的法向量，则 ‎，即，令，得．‎ 又，‎ 所以．‎ 即与平面所成角的正弦值为．‎ 所以与平面所成角的余弦值为 ‎【点睛】本题考查面面垂直，线面所成角的余弦值.属于基础题,要证明面面垂直，只需在其中一个平面内找到一条直线垂直于另一个平面;‎ 线面角的一般求法，建立直角坐标系，求出平面的法向量，再利用公式即可.‎ ‎20.在直角坐标系xOy中，动点P与定点的距离和它到定直线的距离之比是，设动点P的轨迹为E．‎ ‎（1）求动点P的轨迹E的方程；‎ ‎（2）设过F的直线交轨迹E的弦为AB，过原点的直线交轨迹E的弦为CD，若，求证：为定值．‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设点，根据动点P与定点距离和它到定直线的距离之比是，列出等式，再化简即可得出答案.‎ ‎（2）设出直线AB与直线CD，联立直线与椭圆，即可得出、的值，即可求出.‎ ‎【详解】解：（1）设点，由题意得，将两边平方，并简化得，‎ 故轨迹的方程是．‎ ‎（2）证明：①当直线AB的斜率不存在时，易求，，‎ 则．‎ ‎②当直线AB的斜率存在时，‎ 设直线AB的斜率为k，依题意，‎ 则直线AB的方程为，直线CD的方程为．‎ 设，，，，‎ 由得 ‎．‎ 则，，‎ 由整理得，则．‎ ‎．‎ ‎∴．‎ 综合①②知：为定值．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程,椭圆中的定值问题,‎ 一般关于直线与双曲线相交的定值或定点问题，都需设出直线，联立直线与双曲线，利用韦达定理，利用参数将将所求值表示出来,化简得即可得出答案.本类问题一般计算量较大.需要注意的是：在设直线时需考虑直线斜率不存在的情况.属于中档题.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）讨论的极值点的个数；‎ ‎（2）若方程在上有且只有一个实根，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) 时，有一个极值点；当时，有两个极值点.‎ ‎(2) 或或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对求导，讨论的解是否在，在时判断解左右的导数符号，确定极值点的个数.‎ ‎（2）利用（1）所求，对a讨论，研究函数的单调性及极值，应用零点存在定理判断何时方程在上有且只有一个实根.‎ ‎【详解】（1）的定义域为，.‎ 由得或.‎ 当时，由得，由得，‎ ‎∴在上单调递增，‎ 在上单调递减，在处取得极小值，无极大值；‎ 当，即时，由得，或，‎ 由得，‎ ‎∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，‎ 在处取得极小值，在处取得极大值.‎ 综上，当时，有一个极值点；当时，有两个极值点.‎ ‎（2）当时，设，‎ 则在上有且只有一个零点.‎ 显然函数与的单调性是一致的.‎ ‎①当时，由（1）知函数在区间上递减，上递增，‎ 所以在上的最小值为，‎ 由于，要使在上有且只有一个零点，‎ 需满足或，解得或.‎ ‎②当时，因为函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.‎ ‎∵，∴当时，总有.‎ ‎∵，‎ ‎∴，又 ‎∴在上必有零点.‎ ‎∵在上单调递增，‎ ‎∴当时，在上有且只有一个零点.‎ 综上，当或或时，方程在 上有且只有一个实根.‎ ‎【点睛】本题考查导数的综合运用，利用导数求函数的极值、单调性，恰当取值满足零点存在定理是关键，考查分类讨论思想、转化问题的能力及计算能力，属于难题.‎ ‎22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（Ⅱ）设直线与曲线交于两点，若点的直角坐标为，试求当时，的值.‎ ‎【答案】（1）曲线的直角坐标方程为它表示以为圆心、为半径的圆．（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用参普互化公式将曲线C的方程化为一般方程，进而得到圆心半径；（2）联立直线和园的方程，得到关于t的二次，，由韦达定理得到结果.‎ 详解：‎ ‎（Ⅰ）曲线：，可以化为 ，‎ 因此，曲线的直角坐标方程为 它表示以为圆心、为半径的圆．‎ ‎（Ⅱ）当时，直线的参数方程为(为参数)‎ 点 在直线上，且在圆内，把 代入中得 设两个实数根为，则两点所对应的参数为，‎ 则，，‎ 点睛：这个题目考查了参数方程化为普通方程的方法，考查了直线参数中t的几何意义，一般t的绝对值表示方程中的定点到动点的距离，故，，均可用t来表示，从而转化为韦达定理来解决.‎ ‎23.已知函数，且的解集为.‎ ‎（1）解不等式：；‎ ‎（2）若均为正实数，且满足，求证：.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎（Ⅰ）由等价于，又由解集为，又的解集为，故，则不等式可化为，分类讨论即可得到不等式的解集.‎ ‎（Ⅱ）因，利用基本不等式即可作出证明.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）因为，等价于，‎ 由有解，得，且其解集为．‎ 又的解集为，故．‎ 所以可化： ，．‎ ‎①当时，，，又，；‎ ‎②当时，，，，又，；‎ ‎③当时，，，又，．‎ ‎　综上①、②、③得不等式的解集为：‎ ‎（Ⅱ）证明：均为正实数，且满足，‎ 因为 ‎ （当且仅当时，取“＝”），所以，即.‎