河北省正定中学2019-2020学年高二下学期3月线上月考（第一次月考）数学试题

河北省正定中学2019-2020学年高二下学期3月线上月考（第一次月考）数学试题

河北正定中学2019－2020学年第二学期高二第一次月考试题 数学 一、选择题（共20小题，每小题5分）‎ ‎1.已知函数，则（ ）‎ A. 5 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简,因此,利用求导公式求出即可得解.‎ ‎【详解】,则,,‎ 所以,‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查导数的计算,考查瞬时变化率,属于基础题.‎ ‎.‎ ‎2.函数的图像如图所示，则关于函数的说法正确的是（ ）‎ A. 函数有3个极值点 B. 函数在区间上是增加的 C. 函数在区间上是增加的 D. 当时，函数取得极大值 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 导函数，则函单调递增，导函数，则函数单调递减，极值点的两则函数的单调性相反，所以由图象可知极值点.‎ ‎【详解】解：函数有两个极值点：和，但不是函数的极值点，所以A错误； 函数在和上单调递增，在上单调递减，所以B错误，C正确； 不是函数的极值点，所以D错误. 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查的是，函数的图象，由导函数的图象判断原函数的单调区间和极值，要注意的是导函数的零点和零点两侧正负性，属于基础题.‎ ‎3.函数的单调递减区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的定义域、导函数，令解得函数的单调递减区间.‎ ‎【详解】解：定义域为 令，即解得 即的单调递减区间为 故选：‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，属于基础题.‎ ‎4.已知的一个极值点为，且，则、‎ 的值分别为（ ）‎ A 、 B. 、 C. 、 D. 、‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意得出，可得出关于实数、的方程组，解出这两个量的值，然后再对函数在处是否取到极值进行检验，可得出结果.‎ ‎【详解】，，‎ 由题意得，解得或.‎ 当，，则，‎ 此时，函数在上单调递增，无极值；‎ 当，时，，‎ 若，，若，则，‎ 此时，函数在处取得极小值，合乎题意.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查利用极值点求参数，在求出参数值时，不要忽略了检验导数零点附近导数符号的变化，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎5.已知函数,则（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对原函数求导得,再将代入导函数即可得出结果.‎ ‎【详解】解: 已知函数,‎ 求导可得,‎ 则.‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查导数的运算,解答此题的关键是要理解原函数中是一个常数,此题是基础题.‎ ‎6.已知物体的运动方程为（t是时间，s是位移），则物体在时刻t=1时的速度大小为（　　）‎ A. 1 B. C. 2 D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，对s＝t2进行求导，然后令t＝1代入即可得到答案．‎ ‎【详解】∵S＝t2，‎ ‎∴s'＝2t 当t＝1时，v＝s'＝1‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的几何意义，本题的关键是正确求出导数，对于基础题一定要细心．‎ ‎7.曲线在点处的切线方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出曲线在处的导数值，进而即可列出切线方程 ‎【详解】因为，所以，‎ 则当时，，又因为时，，‎ 故曲线在处的切线方程为，‎ 整理得，‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查利用导数求曲线上某点的切线方程，属于基础题．‎ ‎8.函数的图象如图所示，是函数的导函数，下列数值排序正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，设、为函数的上的点，由导数的几何意义分析可得与的几何意义，又由，为直线的斜率，结合图象分析可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，设、为函数的上的点，‎ 则为函数在处切线的斜率，‎ 为函数在处切线的斜率，‎ ‎，为直线的斜率，‎ 结合图象分析可得；‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查导数的几何意义，涉及直线的斜率大小比较，属于基础题．‎ ‎9.函数在区间上的平均变化率为（ ）‎ A. 2 B. ‎4 ‎C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的平均变化率的公式，求解即可.‎ ‎【详解】‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查函数的平均变化率，属于容易题.‎ ‎10.函数的图象可能是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分析四个图像，从而判断函数的性质，利用排除法求解．‎ ‎【详解】由于函数的定义域为，且在上为连续函数，可排除A答案；‎ 由于，， ，所以，可排除C答案；‎ 当时，，故排除D答案；‎ 故答案选B.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的性质的判断与数形结合的思想方向的应用，属于中档题 ‎11.直线与曲线相切于点,则的值为（ ）.‎ A. B. C. 15 D. 45‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将点代入曲线中,解得,得出曲线方程,对曲线方程求导,代入切点的横坐标得斜率,又因为切点在切线上,最后将切点和斜率代入直线方程,即可求得的值.‎ ‎【详解】解:因为曲线过点,所以,‎ 所以,所以,‎ 所以,‎ 所以曲线在点处的切线斜率.‎ 因此,曲线在点处的切线方程为,‎ 即,‎ 所以.‎ 故选:B ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程,直线的斜率等有关基础知识,属于基础题.‎ ‎12.，，且，则下列结论正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，利用其导函数判断出单调区间，根据奇偶性和对称性可得正确选项.‎ ‎【详解】构造形式，则，时导函数，单调递增；时导函数，单调递减．又 为偶函数，根据单调性和对称性可知选D.故本小题选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查构造函数法，考查利用导数研究函数的单调性以及求解不等式，属于中档题.‎ ‎13.已知函数在上单调递增，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，在上恒成立，，分离常数得 在上恒成立，只需，利用三角函数值域，即可求解.‎ ‎【详解】因为在上单调递增，‎ 所以恒成立，‎ 即.令，‎ 又，‎ 即，所以.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题以函数的单调性为背景，考查不等式恒成立求参数的范围，分离常数是解题的关键，转化为求三角函数的最值，属于中档题.‎ ‎14.已知函数在其定义域内的子区间上不单调,则实数的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对求导得到，然后利用导数得到的单调区间，根据在上不单调，从而得到关于的不等式，得到答案.‎ ‎【详解】因为 所以 令，即，‎ 解得或（舍）‎ 所以时，，单调递减，‎ 时，，单调递增，‎ 而在区间上不单调，‎ 所以 解得，‎ 因为是函数定义域内的子区间，‎ 所以，即，‎ 所以的范围为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，根据函数的单调性求参数的范围，属于中档题.‎ ‎15.已知函数（为自然对数的底数）在上有两个零点，则的范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用参数分离法进行转化，，设（且），‎ 构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性和极值，利用数形结合进行求解即可．‎ ‎【详解】解：由得，‎ 当时，方程不成立，即，‎ 则，‎ 设（且），‎ 则，‎ ‎∵且，∴由得，‎ 当时，，函数为增函数，‎ 当且时，，函数为减函数，‎ 则当时函数取得极小值，极小值为，‎ 当时，，且单调递减，作出函数的图象如图：‎ 要使有两个不同的根，‎ 则即可，‎ 即实数的取值范围是.‎ 方法2：由得，‎ 设，，‎ ‎，当时，，则为增函数，‎ 设与，相切时的切点为，切线斜率，‎ 则切线方程为，‎ 当切线过时，，‎ 即，即，得或（舍），则切线斜率，‎ 要使与在上有两个不同的交点，则，‎ 即实数的取值范围是.‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数极值的应用，利用数形结合以及参数分离法进行转化，求函数的导数研究函数的单调性极值，利用数形结合是解决本题的关键．‎ ‎16.若过点可以作三条直线与曲线相切，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求指数函数的导数，利用导数的几何意义列出方程．‎ ‎【详解】设切点为，对曲线曲线求导，得，即切线的斜率 所以过点的切线方程为，‎ 代入点坐标化简，‎ 即这个方程有三个不等根即可，令，‎ 求导得到，‎ 则函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，‎ 若要有三个不等根即，所以的取值范围是 故选：D ‎【点睛】本题考查的是导数的几何意义的应用，将函数的切线条数转化为切点个数问题，最终转化为零点个数问题是解决此题的关键，属于中档题．‎ ‎17.已知函数，且，则的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先构造函数，研究函数奇偶性，再利用导数研究其单调性，最后根据奇偶性与单调性化简不等式，解得结果.‎ ‎【详解】∵，‎ 所以函数关于点对称，‎ ‎，‎ ‎∴函数单调递增.‎ 设，则为奇函数且单调递增，‎ 由，得，‎ ‎∴，‎ ‎∴，，‎ 解得或.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查函数奇偶性以及利用导数研究函数单调性，考查综合分析求解能力，属中档题.‎ ‎18.已知函数，若不等式仅有两个整数解，则实数a的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得导函数，并令求得极值点.根据导函数，讨论与两种情况，分别判断函数的单调区间，并根据不等式仅有两个整数解，即可确定a的取值范围.‎ ‎【详解】由，则由.可得，，‎ 当时，，，单调递减，时，，单调递增，且，‎ 则有两个整数解为1，2，所以，且，解得，‎ 当时，，，单调递减，且，则整数解有无数个，不满足题意.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数分析函数的单调性，分类讨论思想的综合应用，导数在不等式中的应用，属于中档题.‎ ‎19.设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据得到的单调性，再变形不等式根据单调性求解集.‎ ‎【详解】设，则，所以在上单调递增，又，所以，则有，即.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】常见的可根据导函数不等式推导抽象函数的情况：‎ ‎（1）已知，则可设；‎ ‎（2）已知，则可设；‎ ‎（3）已知，则可设；‎ ‎（4）已知，则可设.‎ ‎20.已知函数，若有两个极值点，，且，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得，根据极值点可知有两根，等价于与交于两点，利用导数可求得的最大值，同时根据的大小关系构造方程可求得临界状态时的取值，结合单调性可确定的取值范围.‎ ‎【详解】，，令可得：.‎ 有两个极值点，有两根 令，则，‎ 当时，；当时，，‎ 上单调递增，在上单调递减，，‎ 令，则，解得：，此时.‎ 有两根等价于与交于两点，，‎ 即的取值范围为.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查根据函数极值点个数及大小关系求解参数范围的问题，关键是明确极值点和函数导数之间的关系，将问题转化为直线与曲线交点问题的求解.‎ 二、解答题（共2小题，每小题10分）‎ ‎21.已知函数（）．‎ ‎（1）求单调区间和极值；‎ ‎（2）求在上的最小值．‎ ‎【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为，，无极大值；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎(1)求导后令,再根据导函数的正负确定的单调区间和极值即可. (2)根据(1)中的极小值,分析,,三种情况讨论在上的最小值即可.‎ ‎【详解】（1）‎ 由，得；‎ 当时，；当时，；‎ ‎∴的单调递增区间为，单调递减区间为 ‎ ，无极大值．‎ ‎（2）当，即时，在上递增，∴；‎ 当，即时，在上递减，∴；‎ 当，即时，在上递减，在上递增，‎ ‎∴‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导函数求原函数的单调性与极值的问题,同时也考查了含参数的最值讨论问题,属于中等题型.‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（1）讨论函数在上的单调性； ‎ ‎（2）比较与的大小，并加以证明.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由题意，可采用导数法进行探究讨论，由函数求出其导数，根据导数解析式中参数及未知数的范围，进行分类讨论，从而对导数符号进行判断，从而问题可得解；‎ ‎（2）根据题意，可构造函数，利用导数法，通过研究函数的单调性及单调区间，求出其最小值，并证明，从而问题可得解.‎ 试题解析：（1），‎ 当，即时，，‎ ‎∴在上单调递减；‎ 当，即时，令，得；‎ 令，得.‎ 故在上单调递增，在单调递减.‎ ‎（2）.‎ 证明如下：‎ 设，‎ ‎∵为增函数 ‎∴可设，∵，，‎ ‎∴‎ 当时，；当时，.‎ ‎∴‎ 又，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，∴.‎ 点睛：此题主要考查导数在研究函数的单调性、最值、以及不等式的证明中的应用，属于中高档题型，也是常考题.利用导数研究函数单调性的一般步骤，第一确定函数的定义域；第二求函数的导数；第三若求单调区间（或证明单调性），只需在函数的定义域内解（或证明）不等式或；若已知函数的单调性求参数，只需转化为不等式或在单调区间内恒成立的问题求解，在求解过程中要注意分类讨论.‎