四川省宜宾市叙州区一中2019-2020学年高二下学期月考数学（理）试题

四川省宜宾市叙州区一中2019-2020学年高二下学期月考数学（理）试题

‎2020年春四川省叙州区第一中学高二第二学月考试 理科数学试题 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ 第I卷 选择题（60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．复数的虚部为 ‎ A．2 B． C． D．‎ ‎2．以下不等式在时不成立的是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知，则 A． B． C． D．‎ ‎4．双曲线的渐近线方程是 A． B． C． D．‎ ‎5．“”是“直线与圆”相切的 A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6．若在所围区域内随机取一点，则该点落在所围区域内的概率是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎7．从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为 ‎ A．300 B．‎216 ‎C．180 D．162‎ ‎8．甲.乙两人约定在上午到之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人20分钟，过时即可离去．若他们在限时内的任何时刻到达约定地的概率都是相等的，则两人能会面的概率为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知椭圆的左、右焦点为,离心率为,过的直线交于两点，若的周长为,则的值为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则实数的取值范围是 ‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎11．已知圆：，圆：，，分别是圆，上的动员.若动点在直线：上，动点在直线：上，记线段的中点为，则的最小值为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数的导函数为，且满足，，若恒成立，则实数的取值范围为 ‎ A． B． C． D．‎ 第II卷 非选择题（90分）‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．定积分__________．‎ ‎14．在正方体中，点分别是，的中点，则异面直线与所成角的大小为___________.‎ ‎15．函数，若，则实数的取值范围是___‎ ‎16．已知点，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线左支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线的离心率的取值范围是（_____）．‎ 三、 解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）是衡量空气污染程度的一个指标，为了了解市空气质量情况，从年每天的值的数据中随机抽取天的数据，其频率分布直方图如图所示.将值划分成区间、、、，分别称为一级、二级、三级和四级，统计时用频率估计概率 .‎ ‎（I）根据年的数据估计该市在年中空气质量为一级的天数；‎ ‎（II）如果市对环境进行治理，经治理后，每天值近似满足正态分布，求经过治理后的值的均值下降率.‎ ‎18．（12分）已知函数，a为实数.‎ ‎（I）当时，讨论的单调性；‎ ‎（II）若在区间上是减函数，求a的取值范围.‎ ‎19．（12分）三棱柱中，侧棱与底面垂直，，，分别是的中点．‎ ‎（I）求证：平面；‎ ‎（II）求二面角的余弦值．‎ ‎20．（12分）设椭圆的离心率为，椭圆上一点到左右两个焦点的距离之和是4.‎ ‎（I）求椭圆的方程；‎ ‎（II）已知过的直线与椭圆交于两点，且两点与左右顶点不重合，若，求四边形面积的最大值．‎ ‎21．（12分）已知函数，其中.‎ ‎（I）讨论的单调性；‎ ‎（II）当时，证明:；‎ ‎（III）试比较与 ，并证明你的结论。‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为 ‎(I)写出曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎(II)若射线平分曲线，且与曲线交于点，曲线上的点满足，求.‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数．‎ ‎（I）解不等式；‎ ‎（II）若对于，，有，，求证：．‎ ‎2020年春四川省叙州区第一中学高二第二学月考试 理科数学试题参考答案 ‎1-5:DCBCB 6-10:BCCCC 11-12:DD ‎13． 14． 15． 16．‎ ‎17．（1）由样本空气质量的数据的频率分布直方图可知，其频率分布如下表：‎ 值 频率 由上表可知，如果市维持现状不变，那么该市下一年的某一天空气质量为一级的概率为，因此在天中空气质量为一级的天数约有（天）.‎ ‎（2）如果市维持不变，那么该市的值的均值约为 ‎ ‎ 由于该市的环境进行治理，治理后每天值近似满足，所以治理后的值的均值为，因此市治理后的值的均值下降率为 ‎18．（1），‎ 当即时，，在R上单调递增；‎ 当即时，由得或，由得.‎ 分别在与单调递增，在单调递减.‎ 综上所述，当时，在R上单调递增；‎ 当时，分别在与单调递增，在单调递减.‎ ‎（2）由已知得在区间上恒成立.‎ 在区间上恒成立.‎ 当时，.‎ 当时，.‎ 而在上单调递增，时，，则.‎ 综上.‎ ‎19．（1）如图，以B1为原点建立空间直角坐标系 则 ‎.‎ 设平面A1B‎1C1的法向量为 ‎.令，则 .‎ ‎，平面A1B‎1C ‎（2）平面MB‎1C的法向量为.‎ 令 ，‎ ‎，所求二面角M—B‎1C—A1的余弦值为 ‎20．（1）依题意，，‎ 因为，所以，所以椭圆方程为；‎ ‎（2）设 ，则由，可得，‎ 即，，，‎ 又因为，所以四边形是平行四边形，‎ 设平面四边形的面积为，则 设，则，所以，因为， 所以，所以，所以四边形面积的最大值为.‎ ‎21．（1）函数的定义域为：， ‎ ‎①当时，，所以在上单调递增 ‎ ‎②当时，令，解得 ．‎ 当时，，所以， 所以在上单调递减； ‎ 当时，，所以，所以在上单调递增． ‎ 综上，当时，函数在上单调递增；‎ 当时，函数在上单调递减，在上单调递增.‎ ‎（2）当 时，，要证明，‎ 即证，即证：. ‎ 设，则 ，令得，.‎ 当时，，当时，.‎ 所以为极大值点，且在处取得最大值。‎ 所以，即。故.‎ ‎（3）证明：（当且仅当时等号成立），即,‎ 则有+‎ ‎,‎ 故：+‎ ‎22．解：（1）曲线的直角坐标方程是，即 化成极坐标方程为：‎ 曲线的直角坐标方程是；‎ ‎（2）曲线是圆，射线过圆心，所以方程是 代入，得 又，将，代入，得 因此 ‎23．（1）由得，‎ 则或或 解得，或，或，即，‎ 所以不等式的解集为.‎ ‎（2）证明：由，，‎ 所以.‎