高中数学第6章（第8课时）不等式的证明（3）

高中数学第6章（第8课时）不等式的证明（3）

课 题：不等式的证明（3）‎ 教学目的：‎ ‎1． 掌握分析法证明不等式；‎ ‎2．理解分析法实质——执果索因；‎ ‎3．提高证明不等式证法灵活性 教学重点：分析法 教学难点：分析法实质的理解 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：‎ 一、复习引入：‎ ‎ 1．重要不等式：‎ 如果 ‎2．定理：如果a,b是正数，那么 ‎3公式的等价变形：ab≤，ab≤（）2‎ ‎4． ≥2（ab＞0），当且仅当a＝b时取“＝”号；‎ ‎5．定理：如果，那么（当且仅当时取“=”）‎ ‎6．推论：如果，那么 （当且仅当时取“=”）‎ ‎7．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论 比较法之二（作商法）步骤：作商——变形——判断与1的关系——结论 ‎8．综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法 用综合法证明不等式的逻辑关系是：‎ 综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法 二、讲解新课：‎ ‎1分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法 ‎2．用分析法证明不等式的逻辑关系是：‎ ‎3．分析法的思维特点是：执果索因 ‎4．分析法的书写格式：‎ ‎ 要证明命题B为真，‎ ‎ 只需要证明命题为真，从而有……‎ ‎ 这只需要证明命题为真，从而又有……‎ ‎ ……‎ 这只需要证明命题A为真 而已知A为真，故命题B必为真 三、讲解范例：‎ 例1 求证 证明：因为都是正数，所以为了证明 只需证明 展开得 ‎ 即 ‎ 因为成立，所以 成立 即证明了 说明：①分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法 ‎②分析法论证“若A则B”这个命题的模式是：为了证明命题B为真，‎ 这只需要证明命题B1为真，从而有……‎ 这只需要证明命题B2为真，从而又有……‎ 这只需要证明命题A为真 而已知A为真，故B必真 例2 证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大 分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管截面面积的大小，设截面的周长为L，则周长为L的圆的半径为，截面积为；周长为L的正方形边长为，截面积为所以本题只需证明 证明：设截面的周长为L，依题意，截面是圆的水管的截面面积为，截面是正方形的水管的截面面积为，所以本题只需证明 为了证明上式成立，只需证明 ‎ 两边同乘以正数，得 因此，只需证明 上式是成立的，所以 这就证明了，通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大 说明：对于较复杂的不等式，直接运用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的 四、课堂练习：‎ 已知a,b,c,d∈R,求证:ac+bd≤‎ 分析一:用分析法 证法一:(1)当ac+bd≤0时,显然成立 ‎(2)当ac+bd>0时,欲证原不等式成立,‎ 只需证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)‎ 即证a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2‎ 即证2abcd≤b2c2+a2d2‎ 即证0≤(bc-ad)2‎ 因为a,b,c,d∈R,所以上式恒成立,‎ 综合(1)、(2)可知:原不等式成立 分析二:用综合法 证法二:(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2abcd+a2d2)‎ ‎=(ac+bd)2+(bc-ad)2≥(ac+bd)2‎ ‎∴≥|ac+bd|≥ac+bd 故命题得证 分析三:用比较法 证法三:∵(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(bc-ad)2≥0,‎ ‎∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2‎ ‎∴≥|ac+bd|≥ac+bd,‎ 即ac+bd≤‎ 五、小结 ：通过本节学习，要求大家在理解分析法的逻辑关系的基础上掌握分析法证明不等式，并加深认识不等式证明方法的灵活性，能综合运用证明不等式的各种方法 六、课后作业：‎ ‎1选择题 ‎(1)若logab为整数,且loga>logalogba2,那么下列四个结论中正确的个数是（ ）①>>a2 ②logab+logba=0 ③02且|x2|>2 B|x1+x2|>4 C|x1+x2|<4 D|x1|=4且|x2|=1‎ 答案:B ‎(3)若x,y∈R+,且x≠y,则下列四个数中最小的一个是（ ）‎ A B C D 答案:D ‎(4)若x>0,y>0,且≤a成立,则a的最小值是（ ）‎ A B C2 D2‎ 答案:B ‎(5)已知a,b∈R+,则下列各式中成立的是（ ）‎ Acos2θ·lga+sin2θ·lgblg(a+b)‎ Cacos2θ·bsin2θ=a+b Dacos2θ·bsin2θ>a+b 答案:A ‎(6)设a,b∈R+,且ab-a-b≥1,则有（ ）‎ Aa+b≥2(+1) Ba+b≤+1 Ca+b≥(+1)2 Da+b≤2(+1)‎ 答案:A ‎2用分析法证明:‎ ‎3(1+a2+a4)≥(1+a+a2)2‎ 证明:要证3(1+a2+a4)≥(1+a+a2)2‎ 只需证3［(1+a2)2-a2］≥(1+a+a2)2‎ 即证3(1+a2+a)(1+a2-a)≥(1+a+a2)2‎ ‎∵1+a+a2=(a+)2+>0‎ 只需证3(1+a2-a)≥1+a+a2‎ 展开得2-4a+2a2≥0‎ 即2(1-a)2≥0成立 故3(1+a2+a4)≥(1+a+a2)2成立 ‎3用分析法证明:‎ ab+cd≤‎ 证明:①当ab+cd<0时,‎ ab+cd<成立 ‎②当ab+cd≥0时,‎ 欲证ab+cd≤‎ 只需证(ab+cd)2≤()2‎ 展开得a2b2+2abcd+c2d2≤(a2+c2)(b2+d2)‎ 即a2b2+2abcd+c2d2≤a2b2+a2d2+b2c2+c2d2‎ 即2abcd≤a2d2+b2c2‎ 只需证a2d2+b2c2-2abcd≥0‎ 即(ad-bc)2≥0‎ 因为(ad-bc)2≥0成立 所以当ab+cd≥0时,ab+cd≤成立 综合①②可知:ab+cd≤成立 ‎4用分析法证明下列不等式:‎ ‎(1)求证:‎ ‎(2)求证:(x≥4)‎ ‎(3)求证:a,b,c∈R+,求证:‎ 证明:(1)欲证 只需证 展开得12+2>16+2‎ 即2>4+2‎ 只需证(2)2>(4+2)2‎ 即4>这显然成立 故成立 ‎(2)欲证(x≥4)‎ 只需证(x≥4)‎ 即证(x≥4)‎ 展开得2x-5+2‎ 即 只需证［］2<［］2‎ 即证x2-5x+40,2c>a+b,求证:‎ ‎(1)c2>ab ‎（2）c-0,只要证a+b<2c(已知)‎ 故原不等式成立 ‎6已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0,有两个实数根α,β,证明:‎ ‎(1)如果|α|<2,|β|<2,那么2|α|<4+b且|b|<4‎ ‎(2)如果2|α|<4+b且|b|<4,那么|α|<2,|β|<2‎ 证明:依题设及一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)得:α+β=-a,αβ=b则有:‎ ‎(1)(2)等价于证明|α|<2,|β|<22|α+β|<4+αβ,且|αβ|<4‎ 七、板书设计（略）‎ 八、课后记：‎ ‎ ‎