高考数学考点43 随机抽样

高考数学考点43 随机抽样

1 随机抽样 （1）理解随机抽样的必要性和重要性． （2）会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法． 一、简单随机抽样 1．定义： 设一个总体含有 N 个个体，从中逐个不放回抽取 n 个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个 个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样． 2．最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法． 3．应用范围：总体中的个体数较少． 注意：不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率是相同的． 二、系统抽样 1．定义： 当总体中的个体数目较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照事先定出的规则，从每一部分抽 取一个个体得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样． 2．系统抽样的操作步骤： 第一步编号：先将总体的 N 个个体编号； 第二步分段：确定分段间隔 k，对编号进行分段，当 (n 是样本容量)是整数时，取 k= ； 第三步确定首个个体：在第 1 段用简单随机抽样确定第一个个体编号 l(l≤k)； 第四步获取样本：按照一定的规则抽取样本，通常是将 l 加上间隔 k 得到第 2 个个体编号 ，再加 k 得到第 3 个个体编号 ，依次进行下去，直到获取整个样本． 3．应用范围：总体中的个体数较多． 注意：系统抽样是等距抽样，抽样个体的编号相差 的整数倍． 三、分层抽样 1．定义： 在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各 层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样． 2．应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样． N n N n l k 2l k N n 2 注意：分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘以抽样比． 四、三种抽样方法的比较 类别 共同点 各自特点 相互联系 适用范围 简单随 机抽样 从总体中逐个抽取 — 总体中的个 数较少 将总体均分成几部分，按 事先确定的规则，在各部 分抽取 在起始部分抽样时， 采用简单随机抽样 总体中的个 数比较多系统 抽样 分层抽样 是不放回 抽样，抽样 过程中，每 个个体被 抽到的机 会(概率)相 等 将总体分成几层，分层进 行抽取 各层抽样时，采用简 单随机抽样或者系统 抽样 总体由差异 明显的几部 分组成 考向一 简单随机抽样 应用简单随机抽样应注意的问题： (1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点： 一是抽签是否方便； 二是号签是否易搅匀． 一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法． (2)在使用随机数表时，如遇到三位数或四位数时，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个 或四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去． (3)简单随机抽样需满足： ①被抽取的样本总体的个体数有限； ②逐个抽取； ③是不放回抽取； 3 ④是等可能抽取． 典例 1 下面的抽样方法是简单随机抽样的是 A．在某年明信片销售活动中，规定每 100 万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为 2709 的为三等奖 B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔 30 分钟抽一包产品，称其重量是否合格 C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取 2 人、14 人、4 人了解学校机构改革的意见 D．用抽签法从 10 件产品中选取 3 件进行质量检验 【答案】D 【名师点睛】抽签法与随机数法的适用情况：抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法适用于总 体中个体数较多的情况． 1．总体由编号为 01，02，…，19，20 的 20 个个体组成．利用下面的随机数表选取 5 个个体，选取方法是 从下面的随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第 5 个个 体的编号为 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A．08 B．07 C．02 D．01 考向二 系统抽样 用系统抽样法抽取样本，当 不为整数时，取 ，即先从总体中用简单随机抽样的方法剔除(N－nk) 个个体，且剔除多余的个体不影响抽样的公平性． N n [ ]Nk n 4 典例 2 为了检查某超市货架上的饮料是否含有塑化剂，要从编号依次为 1 到 50 的塑料瓶装饮料中抽取 5 瓶进行检验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的 5 瓶饮料的编号可能是 A．5，10，15，20，25 B．2，4，6，8，10 C．1，2，3，4，5 D．7，17，27，37，47 【答案】D 【解析】利用系统抽样，把编号分为 5 段，每段 10 个，每段抽取 1 个，号码间隔为 10． 2．滴滴公司为了调查消费者对滴滴打车出行的真实评价，采用系统抽样方法从 2000 人中抽取 100 人做问 卷调查，为此将他们随机编号 1,2， ，2000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号 码为 9，抽到的 100 人中，编号落入区间 的人做问卷 ，编号落入区间 的人做问卷 ， 其余的人做问卷 ，则抽到的人中，做问卷 的人数为 A． B． C． D． 考向三 分层抽样 与分层抽样有关问题的常见类型及解题策略： (1)求某一层的样本数或总体个数．可依据题意求出抽样比，再由某层总体个数(或样本数)确定该层的样本(或 总体)数． (2)求各层的样本数．可依据题意，求出各层的抽样比，再求出各层样本数． 进行分层抽样时应注意以下几点： (1)分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是层内样本的差异要小，两层之间的样本 差异要大，且互不重叠． (2)为了保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性相同． 典例 3 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为 120 件，80 件，60 件．为了解它们的 产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为 n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品 中抽取了 3 件，则 n 等于 A．9 B．10 C．12 D．13 【答案】D 5 【名师点睛】分层抽样分层的原则：分层抽样中分多少层，如何分层要视具体情况而定，总的原则是：层 内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠． @网 3．某小学共有学生 2000 人，其中一至六年级的学生人数分别为 400,400,400,300，300,200.为做好小学放学 后“快乐 30 分”活动，现采用分层抽样的方法从中抽取容量为 200 的样本进行调查，那么应抽取一年级学 生的人数为 A．120 B．40 C．30 D．20 考向四 三种抽样方法的综合 (1)简单随机抽样的特点： 总体中的个体性质相似，无明显层次；总体容量较小，尤其是样本容量较小；用简单随机抽样法抽取的个 体带有随机性；个体间无固定间距． (2)系统抽样的特点： 适用于元素个数很多且均衡的总体；各个个体被抽到的机会均等；总体分组后，在起始部分抽样时，采用 简单随机抽样． (3)分层抽样的特点： 适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；分层后，在每一层抽样时可采用简单随机抽样或系统抽样． 典例 4 某校 150 名教职工中，有老年人 20 名，中年人 50 名，青年人 80 名，从中抽取 30 名作为样本． ①采用随机抽样法：抽签取出 30 个样本； ②采用系统抽样法：将教职工编号为 000，001，…，149，然后平均分组抽取 30 个样本； ③采用分层抽样法：从老年人、中年人、青年人中抽取 30 个样本． 下列说法中正确的是 A．无论采用哪种方法，这 150 名教职工中每个人被抽到的概率都相等 B．①②两种抽样方法，这 150 名教职工中每个人被抽到的概率都相等；③并非如此 C．①③两种抽样方法，这 150 名教职工中每个人被抽到的概率都相等；②并非如此 D．采用不同的抽样方法，这 150 名教职工中每个人被抽到的概率是各不相同的 6 【答案】A 【解析】三种抽样方法中，每个人被抽到的概率都等于 30 150＝1 5，故选 A． 4．某企业在甲、乙、丙、丁四个城市分别有 150 个，120 个，190 个，140 个销售点．为了调查产品的质量， 需从这 600 个销售点中抽取一个容量为 100 的样本，记这项调查为①；在丙城市有 20 个特大型销售点， 要从中抽取 8 个进行调查，记这项调查为②，则完成①，②这两项调查宜采用的抽样方法依次为 A．分层抽样法、系统抽样法 B．分层抽样法、简单随机抽样法 C．系统抽样法、分层抽样法 D．简单随机抽样法、分层抽样法 1．简单随机抽样的结果 A．完全由抽样方式所决定 B．完全由随机性所决定 C．完全由人为因素所决定 D．完全由计算方法所决定 2．下面抽样方法是简单随机抽样的是 A．从平面直角坐标系中抽取 5 个点作为样本 B．可口可乐公司从仓库中的 1000 箱可乐中一次性抽取 20 箱进行质量检查 C．某连队从 200 名战士中，挑选出 50 名最优秀的战士去参加抢险救灾活动 D．从 10 个手机中逐个不放回地随机抽取 2 个进行质量检验(假设 10 个手机已编好) 3．某产品生产线上，一天内每隔 60 分钟抽取一件产品，则该抽样方法为①；某中学从 30 名机器人爱好者 中抽取 3 人了解学习负担情况，则该抽取方法为②，那么 A．①是系统抽样，②是简单随机抽样 B．①是分层抽样，②是简单随机抽样 C．①是系统抽样，②是分层抽样 D．①是分层抽样，②是系统抽样 4．为了了解参加某次知识竞赛的 1252 名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为 50 的样本， 那么从总体中应随机剔除的个体数目为 A．2 B．3 C．4 D．5 5．为了解城市居民的环保意识，某调查机构从一社区的 120 名年轻人、80 名中年人、60 名老年人中，用 分层抽样方法抽取了一个容量为 n 的样本进行调查，其中老年人抽取了 3 名，则 n＝ 7 A．13 B．12 C．10 D．9 6．总体由编号为 的 个个体组成，利用下面的随机数表选取 个个体，选取方法是从随 机数表第 行的第 列和第 列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第 个个体的编号为 附：第 行至第 行的随机数表： 2635 7900 3370 9160 1620 3882 7757 4950 3211 4919 7306 4916 7677 8733 9974 6732 2748 6198 7164 4148 7086 2888 8519 1620 7477 0111 1630 2404 2979 7991 9683 5125 A． B． C． D． 7．为了解某高校高中学生的数学运算能力，从编号为 0001，0002，…，2000 的 2000 名学生中采用系统抽 样的方法抽取一个容量为 50 的样本，并把样本编号从小到大排列，已知抽取的第一个样本编号为 0003， 则第三个样本编号是 A．0083 B．0043 C．0123 D．0163 8．某校高中三个年级共有学生 1050 人，其中高一年级 300 人，高二年级 350 人，高三年级 400 人.现要从 全体高中学生中通过分层抽样抽取一个容量为 42 的样本，那么应从高三年级学生中抽取的人数为 A．12 B．14 C．16 D．18 9．某学校老师中， 型血有 36 人、 型血有 24 人、 型血有 12 人，现需要从这些老师中抽取一个容量为 的样本.如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取，都不用剔除个体；如果样本容量减少一个，则在采用系 统抽样时，需要在总体中剔除 2 个个体，则样本容量 可能为 A． B． C． D． 10．某单位有 840 名职工，现采用系统抽样方法抽取一部分人做问卷调查，将 840 人按 1,2，…，840 随机 编号，若在编号为[481,720]中抽取 8 人，则样本容量为 A．56 B．28 C．44 D．14 11．某中学有高中生 人，初中生 人，男、女生所占的比例如下图所示.为了解学生的学习情况，用 8 分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为 的样本，已知从高中生中抽取女生 人，则从初中生中 抽取的男生人数是 A． B． C． D． 12．某市教育主管部门为了全面了解 2018 届高三学生的学习情况，决定对该市参加 2018 年高三第一次全 国大联考统考（后称统考）的 32 所学校进行抽样调查；将参加统考的 32 所学校进行编号，依次为 1 到 32，现用系统抽样法，抽取 8 所学校进行调查，若抽到的最大编号为 31，则最小编号是 A．3 B．1 C．4 D．2 13．某学校在校艺术节活动中，有 24 名学生参加了学校组织的唱歌比赛，他们比赛的成绩的茎叶图如图所 示，将他们的比赛成绩从低到高编号为 1~24，再用系统抽样方法抽出 6 名同学周末到某音乐学院参观 学习，则样本中比赛成绩不超过 85 分的学生人数为 6 9 7 0 1 2 2 5 8 1 3 6 6 7 8 8 9 9 9 9 0 0 1 2 2 3 4 7 A．1 B．2 C．3 D．不确定 14．分层抽样是将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，组 成一个样本的抽样方法.在《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三 百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱．欲以钱多少衰出之，问各几何？”其译文为：今 有甲持 560 钱，乙持 350 钱，丙持 180 钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税共 100 钱，要按照各人带 钱多少的比例进行交税，问三人各应付多少税？则下列说法错误的是 A．甲应付 钱 B．乙应付 钱4151109 2432109 9 C．丙应付 钱 D．三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少 15．将全班同学按学号编号，制作相应的卡片号签，放入同一个箱子里均匀搅拌，从中抽出 15 个号签，就 相应的 15 名学生对看足球比赛的喜爱程度(很喜爱、喜爱、一般、不喜爱、很不喜爱)进行调查，使用 的是_________法. 16．某校为了解 1000 名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取 40 名同学进行检 查，将学生从 1～1000 进行编号，现已知第 18 组抽取的号码为 443，则第一组用简单随机抽样抽取的 号码为_________. 17．某工厂生产的 三种不同型号的产品数量之比依次为 ，为研究这三种产品的质量，现用分 层抽样的方法从该工厂生产的 三种产品中抽出样本容量为 的样本，若样本中 型产品有 16 件， 则 的值为__________． 18．我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：“今有北乡八千一百人，西乡久千人，南乡 五千四百人，凡三乡，发役五百人.”意思是用分层抽样从这三个乡中抽出了 500 人服役，则南乡应该抽 出__________人． 19．某班级共有 52 名学生，现将学生随机编号，用系统抽样法，抽取一个容量为 4 的样本，已知抽取的号 中最小的与最大的和为 51，那么在样本中的被抽到的编号依次是________． 20．某校对全校共 1800 名学生进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为 200 的样本，已知女生比男 生少抽了 20 人，则该校的女生人数应是__________. 1．（2014 湖南理科）对一个容量为 的总体抽取容量为 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层 抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为 ，则 A． B． C． D． 2．（2014 广东理科）已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 1 和如图 2 所示，为了了解该地区中小 学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取 的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人 数分别为 5616109 N n 321 ,, ppp 321 ppp  132 ppp  231 ppp  321 ppp  2% 10 A． ， B． ， C． ， D． ， 3．（2013 湖南理科）某学校有男、女学生各 500 名.为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在 显著差异，拟从全体学生中抽取 100 名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是 A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样法 D．分层抽样法 4．（2013 陕西理科）某单位有 840 名职工，现采用系统抽样方法抽取 42 人做问卷调查，将 840 人按 1， 2，…，840 随机编号，则抽取的 42 人中，编号落入区间[481，720]的人数为 A．11 B．12 C．13 D．14 5．（2013 新课标全国Ⅰ理科）为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学 生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男、女生 视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样 D．系统抽样 6．（2017 江苏）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为 200，400，300，100 件．为检 验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60 件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽 取 件． 7．（2016 北京理科节选）A，B，C 三个班共有 100 名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获 得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）： A 班 6 6.5 7 7.5 8 200 20 100 20 200 10 100 10 11 B 班 6 7 8 9 10 11 12 C 班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5 （1）试估计 C 班的学生人数. 8．（2015 广东理科）某工厂 36 名工人的年龄数据如下表. 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 1 40 10 36 19 27 28 34 2 44 11 31 20 43 29 39 3 40 12 38 21 41 30 43 4 41 13 39 22 37 31 38 5 33 14 43 23 34 32 42 6 40 15 45 24 42 33 53 7 45 16 39 25 37 34 37 8 42 17 38 26 44 35 49 9 43 18 36 27 42 36 39 （1）用系统抽样法从 36 名工人中抽取容量为 9 的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据 为 44，列出样本的年龄数据. 12 1．【答案】D 【解析】按照要求读数，大于 20 或者重复的数跳过，则选出来的 5 个个体的编号分别是 08，02，14， 07，01，即第 5 个个体的编号为 01.故选 D． 2．【答案】B 3．【答案】B 【解析】假设抽取一年级学生的人数为 . ∵小学共有学生 2000 人，一年级学生有 400 人，抽取一个容量为 200 的样本，∴ ，解得 ， 即应抽取一年级学生的人数为 40，故选 B． 4．【答案】B 【解析】①四个城市销售点数量不同，个体存在差异比较明显，选用分层抽样；②丙城市特大销售点的 数量不多，使用简单随机抽样即可．故选 B. 1．【答案】B 【解析】根据简单随机抽样的定义，总体中每个个体被抽到的机会相等，因此简单随机抽样的结果只与 随机性有关.选 B. 2．【答案】D 【解析】A 中平面直角坐标系中有无数个点，这与要求总体中的个体数有限不相符，故错误；B 中一次 性抽取不符合简单随机抽样逐个抽取的特点，故错误；C 中 50 名战士是最优秀的，不符合简单随机抽样 的等可能性，故错误．故选 D. 3．【答案】A 13 4．【答案】A 【解析】学生总数不能被容量整除，根据系统抽样的方法，应从总体中随机剔除个体，保证整除． ∵1252=50×25+2，∴应从总体中随机剔除个体的数目是 2，故选 A. @网 5．【答案】A 【解析】因为 60 名老年人中抽取了 3 名，所以抽样比为 ，所以总的抽样人数为 ，故选 A． 6．【答案】C 【解析】从随机数表第 行的第 列和第 列数字开始由左到右依次选取两个数字，选出来编号在 的前 个个体的编号为 ，所以选出来的第 个个体的编号为 ，故选 C． 7．【答案】A 8．【答案】C 【解析】根据题意得，抽样比为 ， 则在高三年级学生中抽取的人数是 ，故选 C． 9．【答案】C 【解析】因为采用系统抽样和分层抽样方法抽取，都不用剔除个体，所以样本容量 为 的约数，因为 ，所以样本容量 为 的倍数，因此排除 B,D; 因为如果样本容量减少一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中剔除 2 个个体，所以样本容量 为 的约数加 1，因此选 C． 10．【答案】B 14 【解析】因为在编号[481,720]中共有 720-480=240 人，又在[481,720]中抽取 8 人,所以抽样比应为 ， 因为单位职工共有 840 人,所以应抽取的样本容量为 .故选 B． 11．【答案】A 【解析】因为分层抽样的抽样为 ，所以初中生中抽取的男生人数是 . 故选 A. 【名师点睛】进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解： (1) ； (2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比． 12．【答案】A 【解析】根据系统抽样法，总体分成 8 组，组距为 ，若抽到的最大编号为 31，则最小的编号是 3．所以 A 选项是正确的． 学！ 15．【答案】抽签 【解析】抽签法分为编号、制签、取样三步,这里用了学生的学号作为编号,后面的抽取过程符合抽签法 的实施步骤,所以采用的是抽签法. 16．【答案】18 【解析】因为抽样方法为系统抽样，因此，若第一组抽取的号码为 x ，则第 18 组抽取的号码为 ，解得 . 17．【答案】80 21 1 3000 0.7 100 2000 0.6 12100   n N 样本容量 该层抽取的个体数 总体个数 该层的个体数 32 48  15 【解析】由题意结合分层抽样的定义有： ，解得 . 故答案为 ． 18．【答案】120 【解析】由题意得抽样比为 ， 南乡应该抽出 人.故答案为 120. 1．【答案】D 【解析】根据抽样调查的原理可得简单随机抽样、分层抽样、系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概 率相等，即 ，故选 D. 2．【答案】A 【解析】由题意知，该地区中小学生共有 10000 名，故样本容量为 10000×2%＝200.由分层抽样知应抽取 高中学生的人数为 200× 2000 10000＝40，其中近视人数为 40×50%＝20. 3．【答案】D 【解析】因为抽样的目的与男、女性别有关，所以采用分层抽样法能够反映男、女人数的比例，选 D. 4．【答案】B 【解析】方法一： ，把 1，2，…，840 分成 42 段，不妨设第 1 段抽取的号码为 l，则第 k 段抽 取的号码为 l＋(k－1)·20，1≤l≤20，1≤k≤42.令 481≤l＋(k－1)·20≤720，得 25＋ ≤k≤37－ .由 1≤l≤20， 则 25≤k≤36，所以满足条件的 k 共有 12 个． 方法二：由 ，可知每段 20 人，又 ，所以编号落在区间 的人数为 1 2 3p p p  840 =2042 1 20 l 20 l 840 =2042 720 481 1 240   [481,720] 16 ，选 B. 5．【答案】C 【解析】因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样． 240 1220 