辽宁省抚顺市第十中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学（理）试题

辽宁省抚顺市第十中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学（理）试题

抚顺十中2018-2019年学度高（二）（下）期中数学考试 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知复数为纯虚数，则 A. B. C. 或 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为复数为纯虚数，，且 ，所以，故选B.‎ ‎2.下列求导运算正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数求导公式对选项进行一一验证.‎ ‎【详解】因为，故A错；因为，故B正确；‎ 因为，故C错；因为，故D错．‎ ‎【点睛】本题考查导数公式的简单运用,考查计算能力，属于基础题.‎ ‎3.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）。‎ A. 假设三内角都不大于60度；‎ B. 假设三内角至多有两个大于60度；‎ C. 假设三内角至多有一个大于60度；‎ D. 假设三内角都大于60度。‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据反证法的定义，假设是对原命题结论的否定，即可求得，得到答案.‎ ‎【详解】根据反证法的步骤可知，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定为“一个也没有”即“三角形三个内角都大于60度”，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了反证法的概念，以及命题的否定的应用，着重考查了逻辑推理能力，属于基础题.‎ ‎4.有一段演绎推理是这样的:“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线:已知直线平面,直线平面,直线平面,则直线直线”的结论显然是错误的,这是因为(   )‎ A. 大前提错误 B. 小前提错误 C. 推理形式错误 D. 非以上错误 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分析该演绎推理的三段论，即可得到错误的原因，得到答案．‎ ‎【详解】该演绎推理的大前提是：若直线平行与平面，则该直线平行平面内所有直线，‎ 小前提是：已知直线平面，直线平面，‎ 结论是：直线平面；‎ 该结论是错误的，因为大前提是错误的，‎ 正确叙述是“若直线平行于平面，过该直线作平面与已知平面相交，则交线与该直线平行”，、故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查了演绎推理的三段论退，同时考查了空间中直线与平面平行的判定与性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎5.设函数的导函数为，且，则＝( )‎ A. 0 B. －4 C. －2 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意首先求得的值，然后利用导函数的解析式可得的值.‎ ‎【详解】由函数的解析式可得：，‎ 令可得：，解得：，‎ 即，故.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的运算法则及其应用，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎6.我校在模块考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩ξ～N(90，a2)(a>0,试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为( )‎ A. 600 B. 400 C. 300 D. 200‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 因为成绩，所以其正态曲线关于直线对称，又因为成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，由对称性知：成绩在110分以上的人数约为总人数的，所以此次数学考试成绩不低于110分的学生约有：,‎ 故选D.‎ 考点：正态分布 本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.‎ ‎7.教育部选派3名中文教师到外国任教中文，有4个国家可供选择，每名教师随机选择一个国家，则恰有2名教师选择同一个国家的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出3名教师去4个国家的总的可能性，再求2名教师选择同一国家的可能性，代入公式，即可求解。‎ ‎【详解】3名教师每人有4种选择，共有种可能。恰有2人选择同一国家共有种可能，则所求概率，故选C ‎【点睛】本题考查计数原理及组合问题，考查学生分析推理，计算化简的能力，属基础题。‎ ‎8.若随机变量，且，则的值是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：根据随机变量符合二项分布，根据期望值求出n的值，写出对应的自变量的概率的计算公式，代入自变量等于1时的值．‎ 解：∵E（X）=3，‎ ‎∴0.6n=3，‎ ‎∴n=5‎ ‎∴P（X=1）=C51（0.6）1（0.4）4=3×0.44‎ 故选C．‎ 考点：二项分布与n次独立重复试验的模型．‎ ‎9. 将5名大学生分配到3个乡镇去任职，每个乡镇至少一名，不同的分配方案种数为（ ）‎ A. 150 B. 240 C. 60 D. 120‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：分两种情况：一是按照2,2,1分配，有种结果；二是按照3,1,1分配，有种结果，根据分类加法得到共种结果，故选A．‎ 考点：计数原理．‎ ‎10.给出下面类比推理命题（其中为有理数集，为实数集，为复数集）：‎ ‎①“若，则”类比推出“若，则”；‎ ‎②“若，则复数”类比推出“若，则”；‎ ‎③“若，则”类比推出“若，则”. 其中类比结论正确的个数是（　　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 因为复数不能比较大小，所以命题③是不正确的；命题①，②都是正确的，应选答案C。‎ ‎11.，则（ ）‎ A. 0 B. -1 C. 1 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由赋值法令，解得，‎ 令，解得 再由平方差公式计算可得解.‎ ‎【详解】解：令，解得，‎ 令，解得，‎ 又 ‎=（）（）‎ ‎==，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了二项式定理及赋值法求展开式系数的和差，属基础题.‎ ‎12.已知函数的定义域为，且满足，其导函数，当时，，且，则不等式的解集为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 构造函数,,当时,,所以当时,,则在上递增. 由于所以函数关于点中心对称.所以函数关于原点中心对称,为奇函数.令,则是上的偶函数,且在上递增,在上递减.,故原不等式等价于,等价于,解得或.故选.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数单调性与奇偶性,考查函数图像的对称性的表示形式,‎ 考查构造函数法判断函数的单调性与奇偶性.首先构造函数,利用上题目所给含有导数的不等式可以得到函数的单调性.对于题目所给条件由于,所以函数图象是关于中心对称的.‎ 二、填空题：本题共4小题，每题5分，满分20分.‎ ‎13.已知，则展开式中的系数为______.‎ ‎【答案】32‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 由定积分求出实数的值，再利用二项式展开式的通项公式求解即可.‎ ‎【详解】解：因为= =2,‎ 由展开式的通项为= ,‎ 即展开式中的系数为+ =32，‎ 故答案为32.‎ ‎【点睛】本题考查了二项式展开式的通项公式，属基础题.‎ ‎14.已知凸边形有条对角线，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合数学归纳法的应用即可得解.‎ ‎【详解】解：第个点与不相邻的个点有条对角线，再加上与第个点相邻的两点有1条对角线，所以共增加了条对角线， ‎ ‎ 故答案为.‎ 点睛】本题考查了合情推理，属基础题.‎ ‎15.如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象，给出下列命题：‎ ‎①﹣3是函数y＝f（x）的极值点；‎ ‎②﹣1是函数y＝f（x）的最小值点；‎ ‎③y＝f（x）在x＝0处切线的斜率小于零；‎ ‎④y＝f（x）在区间（﹣3，1）上单调递增．‎ 则正确命题的序号是　 　．‎ ‎【答案】①④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．‎ ‎【详解】根据导函数图象可知当x∈（﹣∞，﹣3）时，f'（x）＜0，在x∈（﹣3，1）时，f'（x）≤0‎ ‎∴函数y＝f（x）在（﹣∞，﹣3）上单调递减，在（﹣3，1）上单调递增，故④正确 则﹣3是函数y＝f（x）的极小值点，故①正确 ‎∵在（﹣3，1）上单调递增∴﹣1不是函数y＝f（x）的最小值点，故②不正确；‎ ‎∵函数y＝f（x）在x＝0处的导数大于0∴切线的斜率大于零，故③不正确 故答案为：①④‎ ‎【点睛】本题主要考查了导函数图象与函数的性质的关系，以及函数的单调性、极值、和切线的斜率等有关知识，属于中档题．‎ ‎16.已知函数在处的切线平行于轴，则的极大值与极小值的差为______.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由导数的几何意义可得：，解得，‎ 由导数的应用可得：，，得解.‎ ‎【详解】解：因为，‎ 所以，‎ 由函数在处的切线平行于轴，‎ 所以，解得，‎ 即，‎ 当时，，时，，‎ 即函数在为增函数，在为减函数， ‎ ‎ 所以，，‎ 故的极大值与极小值的差为，‎ 故答案为4.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数求函数的极值，属中档题.‎ 三、解答题：本题共6题，满分70分.‎ ‎17.已知.‎ ‎（1）如果，求的值；‎ ‎（2）如果，求实数的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）本问考查共轭复数，复数的乘方，由，，于是可以经过计算求出；（2）本问考查复数除法运算及两个复数相等的充要条件， （），‎ ‎（），则的充要条件是且，列方程组可以求解.‎ 试题解析：（1）∵，‎ ‎∴ .‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴ .‎ ‎∴，解得.‎ ‎18.已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求的最小值；‎ ‎（Ⅱ）若对所有都有，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）最小值；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由导数的应用，研究函数的单调性，再求其最值，‎ ‎（Ⅱ）构造函数，由导数的应用求函数的最值即可得解.‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）的定义域为，的导数. 令，‎ 解得；令，解得.从而在单调递减，在单调递增. ‎ 所以，当时，取得最小值. ‎ ‎（Ⅱ）依题意，得在上恒成立，即不等式对于恒成立.‎ 令， 则. 当时，因为，‎ 故是上的增函数，所以的最小值是，‎ 从而的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值及利用导数研究不等式，属中档题.‎ ‎19.“大众创业，万众创新”是李克强总理在本届政府工作报告中向全国人民发出的口号.某生产企业积极响应号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据，如表所示：‎ 试销单价（元）‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ 产品销量（件）‎ q ‎84‎ ‎83‎ ‎80‎ ‎75‎ ‎68‎ 已知，.‎ ‎（Ⅰ）求出的值；‎ ‎（Ⅱ）已知变量，具有线性相关关系，求产品销量（件）关于试销单价（元）的线性回归方程；‎ ‎（Ⅲ）用表示用（Ⅱ）中所求的线性回归方程得到的与对应的产品销量的估计值.当销售数据对应的残差的绝对值时，则将销售数据称为一个“好数据”.现从6个销售数据中任取2个，求“好数据”至少有一个的概率.‎ ‎（参考公式：线性回归方程中，的最小二乘估计分别为，）‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用平均数求出即可；‎ ‎（Ⅱ）参考公式求解线性回归方程即可得解；‎ ‎（Ⅲ）结合（Ⅱ），满足的共有3个“好数据”，又从6个销售数据中任取2个，共有种不同的取法，利用概率公式运算即可.‎ ‎【详解】（Ⅰ），可求得.‎ ‎（Ⅱ），，‎ 所以所求的线性回归方程为.‎ ‎（Ⅲ）利用（Ⅱ）中所求的线性回归方程可得，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，.‎ 与销售数据对比可知满足的共有3个“好数据”：、、.‎ 又从6个销售数据中任取2个，共有=15种不同的取法，‎ 设所求事件用表示 ，则.‎ ‎【点睛】本题考查了回归直线及概率公式，属中档题.‎ ‎20.为了解七班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：‎ 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合 男生 ‎5‎ 女生 ‎10‎ 合计 ‎50‎ 已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为．‎ ‎（1）请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程)；‎ ‎（2）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；‎ ‎（3）现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为，求的分布列与期望.‎ 下面的临界值表供参考：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05[‎ ‎0.025‎ ‎0.01‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.70‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.82‎ ‎ (参考公式：，其中)‎ ‎【答案】（1）见解析（2）能（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解：(1) 列联表补充如下：- ‎ 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计 男生 ‎20‎ ‎5‎ ‎25‎ 女生 ‎10‎ ‎15‎ ‎25‎ 合计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎（2）∵ ‎ ‎∴在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为喜爱打篮球与性别有关.‎ ‎（3）喜爱打篮球的女生人数的可能取值为.‎ 其概率分别为,,‎ 故的分布列为:‎ 的期望值为:‎ ‎【详解】本题是一个统计综合题，包含独立性检验、离散型随机变量的期望与方差和概率，本题通过创设情境激发学生学习数学的情感，帮助培养其严谨治学的态度．‎ ‎（1）根据在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率，做出喜爱打篮球的人数，进而做出男生的人数，填好表格．‎ ‎（2）根据所给的公式，代入数据求出临界值，把求得的结果同临界值表进行比较，看出有多大的把握说明打篮球和性别有关系．‎ ‎（3）喜爱打篮球的女生人数ξ的可能取值为0，1，2，通过列举得到事件数，分别计算出它们的概率，最后利用列出分布列，求出期望即可．‎ 解：(1) 列联表补充如下：----------------------------------------3分 ‎ ‎ 喜爱打篮球 ‎ 不喜爱打篮球 ‎ 合计 ‎ 男生 ‎ ‎20 ‎ ‎5 ‎ ‎25 ‎ 女生 ‎ ‎10 ‎ ‎15 ‎ ‎25 ‎ 合计 ‎ ‎30 ‎ ‎20 ‎ ‎50 ‎ ‎（2）∵------------------------6分 ‎∴在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为喜爱打篮球与性别有关.---------------------7分 ‎（3）喜爱打篮球的女生人数的可能取值为.-------------------------9分 其概率分别为,,‎ ‎ --------------------------12分 故的分布列为:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎--------------------------13分 的期望值为:---------------------14分 ‎21.已知数列的前项和为，且，.‎ ‎（1）试求S1，S2，S3，S4，并猜想Sn表达式；‎ ‎（2）证明你的猜想.‎ ‎【答案】（1），，，，猜想；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由不完全归纳法可得：；‎ ‎（2）利用数学归纳法，先假设当时，猜测正确，再证明当时，命题成立即可.‎ ‎【详解】（1）∵，. ‎ ‎∴，，，∴；‎ ‎，，∴；‎ ‎，，∴；‎ ‎∴，，，‎ 猜测：. ‎ ‎（2）用数学归纳法证明如下：‎ ‎①当时，猜测显然正确. ‎ ‎②假设当时，猜测正确，即 ‎ 则当时，‎ 由 ‎∴.‎ 这就是说，当时，猜测也是正确的.‎ 由①、②知，对一切都有.‎ ‎【点睛】本题考查了不完全归纳法及数学归纳法，属中档题.‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）当函数有两个零点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)答案见解析；(2)‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）先求导，再对a分类讨论，求函数的单调区间. (2)对a分类讨论，作出函数的图像，分析出函数f(x)有两个零点所满足的条件，从而求出a的取值范围.‎ 详解:（1）由题意得 ‎①当时，令，则；‎ 令，则，‎ ‎∴在上单调递减，在上单调递增；‎ ‎②当时，令，则或，‎ ‎（ⅰ）当时，令，则或；‎ 令，则，‎ ‎∴在和上单调递增，在上单调递减；‎ ‎（ⅱ）当时，，‎ ‎∴在上单调递增；‎ ‎（ⅲ）当时，令，则或；‎ 令，则，‎ ‎∴在和上单调递增，在上单调递减；‎ ‎（2）由（1）得当时，在和上单调递增，在上单调递减，‎ ‎∴在处取得极大值，‎ ‎∵，‎ ‎∴此时不符合题意；‎ 当时，在上单调递增，‎ ‎∴此时不符合题意；‎ 当时，在和上单调递增，在上单调递减；‎ ‎∴的处取得极大值，‎ ‎∵，‎ ‎∴此时不符合题意；‎ 当时，在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∵，，‎ ‎∴在上有一个零点，‎ ‎（ⅰ）当时，令，当时，‎ ‎∵，‎ ‎∴在上有一个零点，‎ ‎∴此时符合题意；‎ ‎（ⅱ）当时，当时，，‎ ‎∴在上没有零点，此时不符合题意；‎ 综上所述，实数取值范围为.‎ 点睛：对于含参的问题，注意分类讨论思想的运用. 本题的导数，由于无法直接写出函数的单调区间，所以必须要分类讨论.分类讨论时，要注意分类的起因、分类的标准、分类的过程和分类的结论.‎ ‎ ‎