高中数学选修2-1公开课课件2_4_2抛物线的几何性质(一)

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高中数学选修2-1公开课课件2_4_2抛物线的几何性质(一)

2.4.2 抛物线 的简单几何性质 (1) 一、温故知新 ( 一 ) 圆锥曲线的统一定义 平面内,到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离比为常数 e 的点的轨迹 , 当 e > 1 时,是 双曲线 . 当 0 0) (2) 开口向左 y 2 = -2px (p > 0) (3) 开口向上 x 2 = 2py (p > 0) (4) 开口向下 x 2 = -2py (p > 0) 范围 1 、 由抛物线 y 2 =2 px ( p >0 ) 有 所以抛物线的范围为 二、探索新知 如何研究抛物线 y 2 =2 px ( p >0 )的几何性质 ? 对称性 2 、 关于 x 轴 对称 即点 (x,-y) 也在抛物线上 , 故 抛物线 y 2 = 2 px(p >0) 关于 x 轴 对称 . 则 (-y ) 2 = 2 px 若点 (x,y ) 在抛物线上 , 即满足 y 2 = 2 px , 顶点 3 、 定义:抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的 顶点 。 y 2 = 2 px ( p >0) 中, 令 y=0, 则 x=0. 即:抛物线 y 2 = 2 px ( p >0) 的 顶点( 0 , 0 ) . 离心率 4 、 P(x,y) 抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比,叫做 抛物线的 离心率 。 由定义知, 抛物线 y 2 = 2 px ( p >0) 的离心率为 e=1 . x y O F A B y 2 =2 px 2 p 过焦点而垂直于对称轴的弦 AB ,称为抛物线的 通径, 利用抛物线的 顶点 、通径的两个 端点 可较准确画出反映抛物线基本特征的草图 . |AB|=2 p 通径 5 、 2 p 越大,抛物线张口越大 . 连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的 焦半径 。 |PF|=x 0 +p/2 焦半径公式: 焦半径 6 、 x y O F P 方程 图形 准线 焦点 对称轴 x 轴 x 轴 y 轴 y 轴 x F O y l x F O y l x F O y l x F O y l 归纳 : (1) 、抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它也可以无限延伸,但没有渐近线; (2) 、抛物线只有一条对称轴 , 没有对称中心 ; (3) 、抛物线只有一个顶点,一个焦点,一条准线; (4) 、抛物线的离心率 e 是确定的为1 , ⑸ 、抛物线的通径为 2P, 2p 越大,抛物线的张口越大 .     因为抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点 M (2,  ), 解 : 所以设方程为: 又因为点 M 在抛物线上 : 所以: 因此所求抛物线标准方程为:   例 1 :已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点 M (2,  ),求它的标准方程 . 三、典例精析 探照灯、汽车前灯的反光曲面,手电筒的反光镜面、太阳灶的镜面都是 抛物镜面。 抛物镜面:抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。 灯泡放在抛物线的焦点位置上,通过镜面反射就变 成了平行光束,这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的 设计原理。 平行光线射到抛物镜面上,经镜面反射后,反射光线都 经过抛物线的焦点,这就是太阳灶能把光能转化为热能 的理论依据。 例 2 :探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分,光源 位于抛物线的焦点处。已知灯口圆的直径为 60 cm ,灯深 40 cm ,求抛物线的标准方程和焦点位置。 x y O (40,30) 解 : 所在平面内建立直 角坐标系 , 使反射镜 的顶点与原点重合 , x 轴垂直于灯口直径 . 在探照灯的轴截面 设抛物线的标准方程为 : y 2 =2 px 由条件可得 A (40,30), 代入方程得 : 30 2 =2 p· 40 解之 : p= 故所求抛物线的标准方程为 : y 2 = x, 焦点为 ( ,0) 2 4 l 例 3: 图中是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米 . 水下降 1 米后,水面宽多少? x o A y 若在水面上有一宽为 2 米 , 高 为 1.6 米 的船只,能否安全通过拱桥? 思考题 2 B A ( 2, - 2 ) x 2 = - 2y B ( 1 , y ) y= - 0.5 B 到水面的距离为 1.5 米 不能安全通过 y= - 3 代入得 例题 3 ( 1 )已知点 A ( -2 , 3 )与抛物线 的焦点的距离是 5 ,则 P = 。 ( 2 )抛物线 的弦 AB 垂直 x 轴,若 |AB|= , 则焦点到 AB 的距离为 。 4 2 ( 3 )已知直线 x - y =2 与抛物线 交于 A 、 B 两 点,那么线段 AB 的中点坐标是 。 四、课堂练习 5. 点 A 的坐标为 (3 , 1) ,若 P 是抛物线 上的一动点, F 是抛物线的焦点,则 | PA |+| P F| 的最小值为 ( ) ( A ) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 4 、求满足下列条件的抛物线的标准方程: (1) 焦点在直线 x-2y-4=0 上 . (2) 焦点在轴 x 上且截直线 2x-y+1=0 所得的弦长为 6 、已知 Q(4,0) , P 为抛物线 上任一点,则 |PQ| 的最小值为 ( ) A. B. C. D. B C 五、归纳总结 抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它也可以无限延伸,但没有渐近线; 抛物线只有一条对称轴 , 没有对称中心 ; 抛物线的离心率是确定的,等于1; 抛物线只有一个顶点,一个焦点,一条准线; 抛物线的通径为 2P, 2p 越大,抛物线的张口越大 . 1 、范围: 2 、对称性: 3 、顶点: 4 、离心率: 5 、通径: 6 、光学性质: 从焦点出发的光线,通过抛物线反射就变成了平行光束 . 再见!
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