【数学】2021届一轮复习人教A版正弦定理二课时作业

【数学】2021届一轮复习人教A版正弦定理二课时作业

第2课时 正弦定理（二）‎ ‎【基础练习】‎ ‎1．(2019年辽宁大连双基训练)在△ABC中，sin A＝sin C，则△ABC是(　　)‎ A．直角三角形　　 B．等腰三角形 C．锐角三角形　　 D．钝角三角形 ‎【答案】B　‎ ‎【解析】由正弦定理知sin A＝sin C⇒a＝c，故△ABC为等腰三角形．‎ ‎2．已知△ABC的面积为4且a＝4，b＝，则sin C＝(　　)‎ A． B． C． D． ‎【答案】A　‎ ‎【解析】由已知，得4＝×4××sin C，∴sin C＝.‎ ‎3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝3，b＝2，cos C＝，则△ABC的面积为(　　)‎ A．3　　 B．2　‎ C．4　 D． ‎【答案】C　‎ ‎【解析】∵cos C＝，∴sin C＝＝.又∵a＝3，b＝2，∴S△ABC＝absin C＝×3×2×＝4.故选C．‎ ‎4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，∠B＝45°，△ABC的面积S＝2，则c＝______.‎ ‎【答案】4　‎ ‎【解析】∵a＝1，∠B＝45°，根据三角形的面积公式可得S＝acsin B＝×1×c＝2，∴c＝4.‎ ‎5．在△ABC中，B＝60°，最大边与最小边之比为(＋1)∶2，则最大的角度数为________．‎ ‎【答案】75°　‎ ‎【解析】设C为最大角，则A为最小角，A＋C＝120°，∴＝＝＝＝·＋＝＋.∴＝1.∴tan A＝1.∴A＝45°，C＝75°.‎ ‎6．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且asin C＝ccos A．‎ ‎(1)求角A；‎ ‎(2)若b＝2，△ABC的面积为，求a.‎ ‎【解析】(1)由asin C＝ccos A及正弦定理得sin Asin C＝sin Ccos A．‎ ‎∵sin C>0，∴上式可化为tan A＝，∴A＝.‎ ‎(2)由S△ABC＝得bcsin A＝，‎ 将b＝2，A＝代入，解得c＝2.‎ ‎∴△ABC为正三角形，∴a＝2.‎ ‎7．在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断三角形的形状．‎ ‎【解析】∵A，B，C是三角形的内角，∴A＝π－(B＋C)．‎ ‎∴sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C．‎ ‎∴sin Bcos C－cos Bsin C＝0，∴sin(B－C)＝0.‎ 又0＜B＜π，0＜C＜π，∴－π＜B－C＜π，∴B＝C．‎ 又sin2A＝sin2B＋sin2C，‎ ‎∴a2＝b2＋c2，∴A是直角．‎ ‎∴△ABC是等腰直角三角形．‎ ‎8．△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，acos B＝1，bsin A＝，A－B＝.‎ ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)求tan A的值．‎ ‎【解析】(1)由正弦定理知，bsin A＝asin B＝，‎ 又acos B＝1，‎ ‎∴(asin B)2＋(acos B)2＝3.‎ ‎∵sin2B＋cos2B＝1，∴a＝(舍去负值)．‎ ‎(2)＝，即tan B＝，‎ ‎∵A－B＝，∴A＝B＋.‎ ‎∴tan A＝tan＝＝＝－3－2.‎ ‎【能力提升】‎ ‎9．在△ABC中，sin A＝，a＝10，则边长c的取值范围是(　　)‎ A．　　 B．(10，＋∞)‎ C．　 D．(0,10)‎ ‎【答案】C　‎ ‎【解析】∵在△ABC中，sin A＝，a＝10，∴由正弦定理＝，得c＝＝＝sin C，∵0＜sin C≤1，∴c的取值范围是.故选C．‎ ‎10．在△ABC中，若b＝1，c＝，∠C＝，则a＝________.‎ ‎【答案】1　‎ ‎【解析】在△ABC中，由正弦定理，得＝，解得sin B＝，因为b＜c，故角B为锐角，所以B＝，则A＝，即a＝b＝1.‎ ‎11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos 2A＋＝2cos A．‎ ‎(1)求角A的大小；‎ ‎(2)若a＝1，求△ABC的周长l的取值范围．‎ ‎【解析】(1)2cos2A＋＝2cos A，‎ 即4cos2A－4cos A＋1＝0，‎ ‎∴(2cos A－1)2＝0，cos A＝.‎ ‎∵0＜A＜π，∴A＝.‎ ‎(2)∵a＝1，‎ ‎∴根据正弦定理＝＝，得b＝sin B，c＝sin C．‎ ‎∴l＝1＋b＋c＝1＋(sin B＋sin C)．‎ ‎∵A＝，∴B＋C＝.‎ ‎∴l＝1＋＝1＋2sin.∵0＜B＜，∴l∈(2,3]．‎