高中数学人教a版选修4-1知能达标演练：2-3圆的切线的性质及判定定理 含解析

高中数学人教a版选修4-1知能达标演练：2-3圆的切线的性质及判定定理 含解析

一、选择题 ‎1．已知圆的半径为‎6.5 cm，圆心到直线l的距离为‎4.5 cm，那么这条直线和这个圆的公共点的个数是 ‎(　　)．‎ A．0　　　　B．‎1　‎　　　C．2　　　　D．不能确定 解析　圆心到l的距离是‎4.5 cm小于圆的半径‎6.5 cm，故圆与l相交．‎ 答案　C ‎2．下列说法中正确的个数是 ‎(　　)．‎ ‎①垂直于半径的直线是圆的切线；‎ ‎②过圆心且垂直于切线的直线必过切点；‎ ‎③过切点且垂直于切线的直线必过圆心；‎ ‎④过半径的一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；‎ ‎⑤同心圆内大圆的弦AB是小圆的切线，则切点是AB的中点．‎ A．2 B．‎3 ‎‎ C．4 D．5‎ 解析　①不正确，因为垂直于半径的直线不一定是圆的切线；②正确；③正确；④不正确，必须是过半径的外端点且垂直于这条半径的直线才是圆的切线；⑤正确．‎ 答案　B ‎3．如图所示，已知⊙O的直径与弦AC的夹角为30°，过C点的切线PC与AB的延长线交于P，PC＝5，则⊙O的半径为 ‎(　　)．‎ A. B. C．10 D．5‎ 解析　连接OC，则有∠COP＝60°，‎ OC⊥PC，可求OC＝.‎ 答案　A ‎4．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以BC上一点O为圆心作⊙O与AB相切于E，与AC相切于C，又⊙O与BC的另一个交点为D，则线段BD的长为 ‎(　　)．‎ A．1 B. C. D. 解析　⊙O与AC相切于C，则∠ACB＝90°，又AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，连接OE，且设⊙O的半径为R，则由△OEB∽△ACB，‎ ‎∴OB＝＝R，‎ ‎∴BC＝OC＋OB＝R＋R＝R＝3，‎ ‎∴R＝，∴BD＝BC－2R＝3－＝.‎ 答案　C 二、填空题 ‎5．若直线l与半径为r的⊙O相交，且圆心O到直线l的距离为5，则r的取值范围是__________．‎ 解析　由直线与圆相交的等价条件易得．‎ 答案　(5，＋∞)‎ ‎6．如图所示，CD是⊙O的直径，AE切⊙O于B，DC的延长线交AB于A，∠A＝20°，则∠DBE＝________.‎ 解析　连接OB，则OB⊥AB，‎ ‎∴∠AOB＝90°－∠A＝70°，‎ ‎∴∠BOD＝180°－∠AOB＝110°，‎ 又OB＝OD，‎ ‎∴∠OBD＝(180°－∠BOD)＝35°，‎ ‎∴∠DBE＝90°－∠OBD＝55°.‎ 答案　55°‎ ‎7．如图所示，直线AB与⊙O相切于点P，CD是⊙O的直径，C、D与AB的距离分别为‎4 cm、‎2 cm，则⊙O的半径为________．‎ 解析　利用圆的切线及梯形中位线的知识可知⊙O的半径为‎3 cm.‎ 答案　‎‎3 cm ‎8．如图所示，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为‎4 cm，则过AB、BC中点的弦EF的长是________ cm.‎ 解析　利用圆内半径与弦的关系，并结合圆内接四边形的知识连接OB交EF于H，连接OE，则OH＝‎2 cm，则HE＝＝‎2cm，∴EF＝‎4 cm.‎ 答案　4 三、解答题 ‎9．如图所示，AB为⊙O的直径，AE平分∠BAC交⊙O于E点，过E作⊙O的切线交AC于点D，试判断△AED的形状，并说明理由．‎ 解　△AED为直角三角形，理由如下：‎ 连接OE，∵ED为⊙O切线，‎ ‎∴OE⊥ED.‎ ‎∵OA＝OE，‎ ‎∴∠1＝∠OEA.‎ 又∵∠1＝∠2，‎ ‎∴∠2＝∠OEA，‎ ‎∴OE∥AC，∴AC⊥DE，‎ ‎∴△AED为直角三角形．‎ ‎10．如图所示，在直角梯形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD∥BC，E为AB上的点，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，以AB为直径的圆与CD有怎样的位置关系？‎ 解　过E作EF⊥CD于F，‎ ‎∵DE平分∠ADC，‎ CE平分∠BCD，‎ ‎∠A＝∠B＝90°，‎ ‎∴AE＝EF＝BE＝AB.‎ ‎∴以AB为直径的圆的圆心为E，‎ ‎∴EF是圆心E到CD的距离，且EF＝AB，‎ ‎∴以AB为直径的圆与边CD是相切关系．‎ ‎11．(拓展深化)如图，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB＝，∠D＝30°.‎ ‎(1)求证：AD是⊙O的切线．‎ ‎(2)若AC＝6，求AD的长．‎ ‎(1)证明　如图，连接OA，‎ ‎∵sinB＝，∴∠B＝30°，∵∠AOC ‎＝2∠B，∴∠AOC＝60°，‎ ‎∵∠D＝30°，‎ ‎∴∠OAD＝180°－∠D－∠AOD＝90°，‎ ‎∴AD是⊙O的切线．‎ ‎(2)解　∵OA＝OC，∠AOC＝60°，‎ ‎∴△AOC是等边三角形，∴OA＝AC＝6，‎ ‎∵∠OAD＝90°，∠D＝30°，‎ ‎∴AD＝AO＝6.‎