【数学】云南省曲靖市2020届高三第二次教学质量监测试题（理）（解析版）

【数学】云南省曲靖市2020届高三第二次教学质量监测试题（理）（解析版）

云南省曲靖市2020届高三年级第二次教学质量监测 数学试题卷（理）‎ 一、选择题 ‎1.设集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】,‎ 所以,故选A.‎ ‎2.若复数满足：，则（ ）‎ A. 1 B. C. D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】复数满足，‎ 则，‎ 由复数除法运算化简可得 ‎，‎ 由复数模定义及运算可得，‎ 故选：B.‎ ‎3.已知，则=（ )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 所以，故选B.‎ ‎4.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）‎ A. 7 B. ‎9 ‎C. 10 D. 11‎ ‎【答案】B ‎【解析】运行该程序，输入，，则；‎ ‎，不满足判断框，则；‎ ‎，不满足判断框，则；‎ ‎，不满足判断框，则；‎ ‎，不满足判断框，则；‎ ‎，满足判断框，输出.‎ 故选：B.‎ ‎5.已知向量，，，若，则与夹角是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】，‎ ‎，‎ 即，解得.‎ 设与夹角为，则，‎ 又因为，所以.‎ ‎6.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖膳（biē nào）.如图，网格纸上小正方形的边长1，粗实线画出的是某鳖臑的三视图，则该鳖臑表面积为（ ）‎ A. 6 B. ‎21 ‎C. 27 D. 54‎ ‎【答案】C ‎【解析】结合三视图,还原直观图为 ‎ 已知,则该四面体 ‎,故选C.‎ ‎7.已知满足，的最大值为，则直线过定点（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由满足，作出可行域如图：‎ 由图可知，为目标函数取得最大值的最优解，‎ 联立，解得，‎ ‎，即，所以，‎ 代入，得，‎ 即，‎ 由，解得，‎ 直线过定点，‎ 故选：A ‎8.设随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（ ）‎ ‎（注：若，则，）‎ A. 7539 B. ‎7028 ‎C. 6587 D. 6038‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意知，正方形的边长为1，所以正方形的面积为 ‎ 又由随机变量服从正态分布，‎ 所以正态分布密度曲线关于对称，且，‎ 又由，即，‎ 所以阴影部分的面积为，‎ 由面积比几何概型可得概率为，‎ 所以落入阴影部分的点的个数的估计值是，故选C．‎ ‎9.设函数满足，若存在零点，则下列选项中一定错误的是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由，得 因为函数 在上均为增函数，‎ 所以在上为增函数，‎ 若，则必有或 ‎，‎ 若函数存在零点，则，或或 所以选项C不正确 故选：C.‎ ‎10.若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】不妨设双曲线的一条渐近线为，‎ 圆的圆心为，半径，‎ 则圆心到渐近线的距离为 所以弦长，‎ 化简得：，‎ 即，‎ 解得 所以.‎ 故选：D.‎ ‎11.已知的三个内角所对的边分别为，若，，且，则的面积为（ ）‎ A. 或 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】，‎ 即 或，‎ 若，则，‎ 故，与矛盾，‎ 由余弦定理得 故选：D.‎ ‎12.，对于，均有，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】，‎ 对于，，则，‎ 在坐标系中，画出函数与的图象，如图：‎ 对于，，均有，‎ 就是函数的图象都在图象的上方，‎ 则可得，设切点坐标，‎ 可得，可得，此时，解得，‎ 所以切线的斜率为：．‎ 可得．‎ 故选A．‎ 二、填空题 ‎13.若抛物线的准线经过直线与坐标轴的一个交点，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】抛物线的准线为 所以其经过直线与坐标轴的交点为 所以，即 故答案为：2.‎ ‎14.已知二项式展开式中只有第项的二项式系数最大，则展开式中常数项为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】展开式中只有第4项的二项式系数最大，‎ ‎．‎ 展开式的通项为，‎ 令，展开式的常数项为；‎ 令，展开式的项为 则展开式中常数项为．‎ 故答案为：16．‎ ‎15.关于函数，有下列命题：‎ ‎①由可得必是的整数倍；‎ ‎②在区间上单调递增；‎ ‎③的图象关于点对称；‎ ‎④的图象关于直线对称.‎ 其中正确的命题的序号是______.（把你认为正确的命题序号都填上）‎ ‎【答案】②③‎ ‎【解析】对于①，令，即，则，‎ 则，即必是的整数倍，即①错误；‎ 对于②，令，得，又，即在区间上单调递增，即②正确；‎ 对于③，令，解得，当时，，即的图象关于点对称，即③正确；‎ 对于④，令，解得，解，无整数解，即④错误，‎ 综上可得正确的命题的序号是②③，‎ 故答案为：②③.‎ ‎16.在几何体中，是正三角形，平面平面，且，，则的外接球的表面积等于__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，取的中点，连接，且，则点为正三角形的中点，，易证平面，取中点，连接，‎ 作∥，∥，连接，则为外接球的半径，又，，则，‎ 所以外接球的表面积为，从而问题可得解.‎ 三、解答题 ‎17.某数学教师在甲、乙两个平行班采用“传统教学”和“高效课堂”两种不同的教学模式进行教学实验.为了解教改实效，期中考试后，分别从两个班中各随机抽取名学生的数学成绩进行统计，得到如下的茎叶图：‎ ‎（Ⅰ）求甲、乙两班抽取的分数的中位数，并估计甲、乙两班数学的平均水平和分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；‎ ‎（Ⅱ）若规定分数在的为良好，现已从甲、乙两班成绩为良好的同学中，用分层抽样法抽出位同学进行问卷调查，求这位同学中恰含甲、乙两班所有分以上的同学的概率.‎ 解：（Ⅰ）根据茎叶图得：‎ 甲班抽出同学分数的中位数：，‎ 乙班抽出同学分数的中位数：.‎ 乙班学生数学考试分数的平均水平高于甲班学生数学考试分数的平均水平；‎ 甲班学生数学考试分数的分散程度高于乙班学生数学考试分数的分散程度.‎ ‎（Ⅱ）根据茎叶图可知：‎ 甲、乙两班数学成绩为优秀人数分别为、，其中分以上的有2人，3人，‎ 若用分层抽样法抽出人，则应从甲、乙两班各抽出人、人.‎ 设“抽出的人中恰含有甲、乙两班的所有分以上的同学”为事件，‎ 则.‎ 故，抽出的人中恰含有甲、乙两班的所有分以上的同学的概率为.‎ ‎18.已知正项数列的前项和满足.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）记，设数列的前项和为.求证：.‎ 解：（Ⅰ）已知，，①‎ 所以，，②‎ ‎②－①得，，即；‎ 因为，所以，.‎ 由得，，故为等差数列，公差.‎ 因此，.‎ ‎（Ⅱ）因为，‎ 所以，‎ ‎.‎ ‎19.如图所示，平面平面，四边形是边长为4的正方形，，，分别是，的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若直线与平面所成角等于，求二面角的余弦值.‎ ‎（1）证明：取线段中点，连结，，因为，分别是、的中点，所以且，‎ 正方形中，是的中点.所以且，‎ 所以且，‎ 故四边形为平行四边形，‎ 从而，‎ 又因为平面，平面，所以平面.‎ ‎（2）解：过作于，‎ 因为平面平面，平面平面，平面，‎ 所以平面，‎ 又平面，从而为直线在平面内的射影，‎ 故为直线与平面所成角，所以.‎ 如图，以为坐标原点，分别以过点且平行于的直线、，所在的直线 为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，‎ ‎，，.‎ 设，分别为平面和的法向量，‎ 则，即，‎ 令得，‎ ‎，即，令得，‎ ‎ ，‎ 所以二面角的余弦值为.‎ ‎20.已知的两个顶点坐标是，，的周长为，是坐标原点，点满足.‎ ‎（Ⅰ）求点的轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）设不过原点的直线与曲线交于两点，若直线的斜率依次成等比数列，求面积的最大值.‎ 解：（Ⅰ）已知，所以，点的轨迹是以为焦点的椭圆（不含左右顶点）.‎ 因为，，，所以，，.‎ 所以，点的轨迹方程为.‎ 设，.由得，，又.‎ 故，点的轨迹的方程为，即.‎ ‎（Ⅱ）由题意可知，直线的斜率存在且不为，‎ 故可设直线的方程为，，，‎ 由，消去得，‎ 则，‎ 即，且，，‎ 故.‎ ‎∵直线的斜率依次成等比数列，‎ ‎∴，‎ 即，又，所以，即.‎ 由，及直线的斜率存在，得，‎ ‎∵，点到直线的距离 ‎.‎ ‎，当时取等号，‎ 此时直线的方程为，的最大值为.‎ ‎21.已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）求函数在上的最值；‎ ‎（Ⅱ）若对，总有成立，求实数的取值范围.‎ 解：（Ⅰ）因为；令得，.‎ 当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增.‎ ‎①当时，满足条件的不存在；‎ ‎②当即时，；‎ ‎③当即时，.‎ ‎（Ⅱ）因为，‎ 等价于，令，‎ 因为，总有成立，所以，在上单调递增.问题化为对恒成立.‎ 即对恒成立.‎ 令，则.由得，.‎ 当时，，递增，当时，，递减，‎ ‎，故的取值范围是：.‎ ‎22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点、以轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为，若直线与曲线交于、两点.‎ ‎（1）求线段的中点的直角坐标；‎ ‎（2）设点是曲线上任意一点，求面积的最大值.‎ 解：（1）将曲线的极坐标方程可化为，化为直角坐标方程得，‎ 将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程得：，化简得，‎ 设、的参数分别为、，由韦达定理得：，于是.‎ 设，则，‎ 故点的直角坐标为；‎ ‎（2）由（1）知：，，‎ 所以，，‎ 又直线的普通方程为，圆心到直线的距离为，圆的半径.‎ 所以，点到直线的距离的最大值为.‎ 因此，面积的最大值为：.‎ ‎23.已知不等式对于任意的恒成立.‎ ‎（1）求实数的取值范围；‎ ‎（2）若最大值为，且正实数、、满足，求证：.‎ 解：（1）由绝对值三角不等式可得，‎ 所以，，解得，‎ 因此，实数的取值范围是；‎ ‎（2）因为，，所以，，，‎ 所以，.‎ 即.‎