河北省唐山遵化市2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

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河北省唐山遵化市2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 直线x+2y+3=0的斜率是（　　）‎ A. B. C. D. 2‎ 2. 若a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是( )‎ A. 相交 B. 异面 C. 平行 D. 异面或相交 3. 点（1，2）到直线3x-4y-3=0的距离为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 4. 如图（1）、（2）、（3）、（4）为四个几何体的三视图，根据三视图可判断这四个几何体依次为（　　） ‎ A. 三棱台、三棱柱、圆锥、圆柱 B. 三棱台、三棱锥、圆锥、圆台 C. 三棱柱、四棱锥、圆锥、圆台 D. 三棱柱、三棱台、圆锥、圆台 5. 已知线段AB的中垂线方程为x-y-1=0 且A（-1，1），则B点坐标为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 6. 关于直线m、n及平面α、β，下列命题中正确的是（　　）‎ A. 若,,则 B. 若,,则 C. 若,,则 D. 若,,则 7. 直线x+（1+m）y=2-m和直线mx+2y+8=0平行，则m的值为（　　）‎ A. 1 B. C. 1或 D. ‎ 8. 如图，长方体ABCD－A1B‎1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角余弦值是(     ) ‎ A. B. C. D. 0 ‎ 9. 若直线3x-4y+12=0与两坐标轴交点为A、B，则以AB为直径的圆的方程是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 10. 如图，在长方体ABCD-A1B‎1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 1. 若直线y=kx+4+2k与曲线有两个交点，则k的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 2. 如图，在正三棱柱ABC-A1B‎1C1中，AB=1，若二面角C-AB-C1的大小为60°，则点C到平面C1AB的距离为（　　）‎ A. B. C. D. 1 ‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 3. 长方体的一个顶点上三条棱长分别是3、4、5，则其体对角线长为______．‎ 4. 两直线2x-3y-12=0和x+y-1=0的交点为______，经过此交点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为______或______．‎ 5. 过点P（，1）且与圆x2+y2=4相切的直线方程______．‎ 6. 在正四面体ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，则下列命题正确的序号是______ ①异面直线AB与CD所成角为90°； ②直线AB与平面BCD所成角为60°； ③直线EF∥平面ACD ④平面AFD⊥平面BCD．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）‎ 7. 已知圆C：（x-1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A，B两点． （1）当l经过圆心C时，求直线l的方程； （2）当弦AB被点P平分时，求直线l的方程． ‎ 1. 如图，已知圆锥的底面半径为r=10，点Q为半圆弧的中点，点P为母线SA的中点，若直线PQ与SO所成的角为，求此圆锥的表面积和体积． ‎ ‎ ‎ 2. 已知圆C经过抛物线y=x2-4x+3与坐标轴的三个交点． （1）求圆C的方程； （2）设直线2x-y+2=0与圆C交于A，B两点，求|AB|． ‎ 3. 如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点． （1）求证：VB∥平面MOC； （2）求证：平面MOC⊥平面VAB （3）求三棱锥V-ABC的体积． ‎ ‎ ‎ 1. 已知圆C1：x2+y2-4x+2y=0与圆C2：x2+y2-2y-4=0． （1）求证两圆相交； （2）求两圆公共弦所在直线的方程； （3）求过两圆的交点且圆心在直线2x+4y=1上的圆的方程． ‎ 2. 如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，BC=EF=1，AE=，DE=3，∠BAD=60°，G为BC的中点，H为CD中点． （1）求证：平面FGH∥平面BED； （2）求证：BD⊥平面AED； （3）求直线EF与平面BED所成角的正弦值．‎ ‎ ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】A ‎ ‎【解析】解：直线变形得：y=-x-， 则直线斜率为-． 故选A 将直线方程变形后，即可求出直线的斜率． 此题考查了直线的一般式方程，是一道基本题型． 2.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】 此题考查学生的空间想象能力，考查对异面直线的理解和掌握． ​若a，b是异面直线，直线c∥a，所以c与b可能异面，可能相交． 【解答】 解：由a、b是异面直线，直线c∥a知c与b的位置关系是异面或相交， 故选D． 3.【答案】B ‎ ‎【解析】解：点（1，2）到直线3x-4y-3=0的距离d==． 故选：B． 直接利用点到直线的距离公式d=代入即可求解． 本题主要考查了点到直线的距离的计算，解题的关键是熟记点到直线的距离公式d=，属于基础题． 4.【答案】C ‎ ‎【解析】解：如图（1）三视图复原的几何体是放倒的三棱柱； （2）三视图复原的几何体是四棱锥； （3）三视图复原的几何体是圆锥； （4）三视图复原的几何体是圆台． 所以（1）（2）（3）（4）的顺序为：三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台． 故选C． 三视图复原，判断4个几何体的形状特征，然后确定选项． 本题考查简单几何体的三视图，考查视图能力，是基础题． 5.【答案】A ‎ ‎【解析】解：设B的坐标为（a，b），由题意可知 ，解得a=2，b=-2， 所以B点坐标为是（2，-2）． 故选：A． 由题意可知，就是求点A关于直线x-y-1=0的对称点的坐标，设出对称点的坐标，利用斜率乘积为-1，对称的两个点的中点在对称轴上，列出方程组，求出对称点的坐标即可． 本题考查直线与点关于直线的对称点的求法，注意对称知识的应用，垂直与平分是解题的关键． 6.【答案】A ‎ ‎【解析】解：A．正确，若m∥β，则β内存在直线l使得l∥m，又m⊥α，故l⊥α，又l⊂β，故α⊥β； B．错误，若m∥α且n∥α，则m与n可能平行，可能相交也可能异面； C．错误，若m∥α，m⊥n时，则n∥α或n⊂α或n⊥α； D．错误，若m∥α，α∩β=n，则m∥n或异面； 故选：A． 由空间中直线与直线、直线与平面位置关系逐一核对四个命题得答案． 本题考查了线线，线面平行、垂直关系的判断，熟练掌握线面平行、垂直的判定与性质定理是解题的关键． 7.【答案】A ‎ ‎【解析】解：∵直线x+（1+m）y=2-m和直线mx+2y+8=0平行， ∴1×2-（1+m）m=0，解得m=1或-2， 当m=-2时，两直线重合． 故选：A． 由直线平行可得1×2-（1+m）m=0，解方程排除重合可得． 本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题． 8.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查求异面直线所成的角的大小，属于基础题. 利用直线平行得出即为所求. 【解答】 解：连接，，由于，所以即为所求， 由，，，满足勾股定理， 故,cos. 故选D. 9.【答案】A ‎ ‎【解析】解：由x=0得y=3，由y=0得x=-4， ∴A（-4，0），B（0，3）， ∴以AB为直径的圆的圆心是（-2，），半径r=， 以AB为直径的圆的方程是， 即x2+y2+4x-3y=0． 故选：A． 先求出A、B两点坐标，AB为直径的圆的圆心是AB的中点，半径是AB 的一半，由此可得到圆的方程． 本题考查圆的方程的求法，解题时要注意求圆心坐标和圆半径的长． 10.【答案】D ‎ ‎【解析】解：以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系（图略）， 则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，1） ∴=（-2，0，1），=（-2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量． ∴cos＜，＞═=． ∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为 故选：D． 由题意，由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线所以可以利用空间向量的方法求解直线与平面所成的夹角． 此题重点考查了利用空间向量，抓住直线与平面所成的角与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角之间的关系这一利用向量方法解决了抽象的立体几何问题． 11.【答案】B ‎ ‎【解析】解：曲线 即x2+y2=4，（y≥0） 表示一个以（0，0）为圆心，以2为半径的位于x轴上方的半圆，如图所示： 直线y=kx+4+2k即y=k（x+2）+4 表示恒过点（-2，4）斜率为k的直线 结合图形可得 ， ∵解得 ∴要使直线与半圆有两个不同的交点，k的取值范围是 故选B 将曲线方程变形判断出曲线是上半圆；将直线方程变形据直线方程的点斜式判断出直线过定点；画出图形，数形结合求出满足题意的k的范围． 解决直线与二次曲线的交点问题，常先化简曲线的方程，一定要注意做到同解变形，数形结合解决参数的范围问题 12.【答案】A ‎ ‎【解析】解：点C到平面C1AB的距离为h． ∵S△ABC=，S△ABC1=， ∵VC-ABC=VC1-ABC， 即S△ABC•C‎1C=S△ABC1•h， ∴h=． 故选：A． 设点C到平面C1AB的距离为h，根据等体积法VC-ABC=VC1-ABC，建立等量关系，求出h即可． 本题主要考查了点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题． 13.【答案】5 ‎ ‎【解析】解：∵长方体的一个顶点上三条棱长分别是3、4、5， ∴长方体的体对角线的长为： =5‎ ‎． 故答案为：． 利用长方体对角线长公式求解． 本题考查长方体对角线长的求法，是基础题，解题时要认真审题． 14.【答案】（3，-2）   2x+3y=0   x+y-1=0 ‎ ‎【解析】解：联立，解得， ∴两直线2x-3y-12=0和x+y-1=0的交点为（3，-2）； 当直线l过原点时，直线方程为y=-，即2x+3y=0， 当直线l不过原点时，设直线方程为x+y=a，则3-2=a，即a=1． 直线方程为x+y-1=0． ∴经过此交点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为2x+3y=0或x+y-1=0． 故答案为：（3，-2）；2x+3y=0，x+y-1=0． 联立两直线方程即可求得交点坐标；分直线过原点与不过原点分类求解直线方程． 本题考查两直线的交点坐标，考查直线的斜截式方程，体现了分类讨论的数学思想方法，是基础题． 15.【答案】 ‎ ‎【解析】解：∵把点P（，1）代入圆x2+y2=4成立， ∴可知点P（，1）是圆x2+y2=4上的一点， 则过P（，1）的圆x2+y2=4的切线方程为． 故答案为． 点P（，1）是圆x2+y2=4上的一点，然后直接代入过圆x2+y2=r2上一点P（x0，y0）的切线方程为x0x+y0y=r2，得圆的切线方程． 本题考查圆的切线方程，过圆x2+y2=r2上一点P（x0，y0）的切线方程为x0x+y0y=r2，此题是基础题． 16.【答案】①③④ ‎ ‎【解析】解：正四面体ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点， 在①中，∵正四面体ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点， ∴CE⊥AB，DE⊥AB， 又CE∩DE=E，∴AB⊥平面CDE， ∵CD⊂平面CDE， ∴异面直线AB与CD所成角为90°，故①正确； 在②中，过A作AO⊥平面BCD，交DF=O，连结BO， 则∠ABO是直线AB与平面BCD所成角， 设正四面体ABCD的棱长为2， 则DF=，BO=， cos==． ∴直线AB与平面BCD所成角为arccos，故②错误； 在③中，∵点E，F分别是AB，BC的中点， ∴EF∥AC， ∵EF⊄平面ACD，AC⊂平面ACD， ∴直线EF∥平面ACD，故③正确； 在④中，由AF⊥BC，DF⊥BC ‎， 又AF∩DF=F，∴BC⊥平面ADF， ∵BC⊂平面BCD，∴平面AFD⊥平面BCD，故④正确． 故答案为：①③④． 在①中，由AB⊥平面CDE，知异面直线AB与CD所成角为90°；在②中，直线AB与平面BCD所成角为arccos；在③中由EF∥AC，知直线EF∥平面ACD；在④中，由BC⊥平面ADF，知平面AFD⊥平面BCD． 本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 17.【答案】解：（1）已知圆C：（x-1）2+y2=9的圆心为C（1，0），因为直线l过点P，C，所以直线l的斜率为2，所以直线l的方程为y=2（x-1），即2x-y-2=0． （2）当弦AB被点P平分时，l⊥PC，直线l的方程为，即x+2y-6=0． ‎ ‎【解析】（1）求出圆的圆心，代入直线方程，求出直线的斜率，即可求直线l的方程； （2）当弦AB被点P平分时，求出直线的斜率，即可写出直线l的方程； 本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，计算直线的斜率；直线与圆的特殊位置关系的应用是本题的关键． 18.【答案】解：取OA的中点M，连结PM，QM，则PM∥SO，且PM=， 故∠MPQ为PQ与SO所成的角， 在RtMPQ中，∠MPQ=，则PM=QM， 由点Q为半圆弧的中点知OQ⊥AB， 在RtMOQ中，OQ=10，OM=5，得MQ=， 故PM=，所以SO=10， Rt△SOA中，SA==10， ∴此圆锥的表面积：S=πr2+πrl=100， 此圆锥的体积：V===． ‎ ‎【解析】本题考查圆锥的表面积和体积的求法，考查空间中线线关系等基础知识，考查数形结合思想，是中档题． 取OA的中点M，连结PM，QM，则PM∥SQ，且PM=，∠MPQ为PQ与SO所成的角，由此能求出此圆锥的表面积和体积． 19.【答案】解：（1）抛物线y=x2-4x+3与坐标轴的交点分别是（1，0），（3，0），（0，3）…（3分） 所求圆的圆心是直线y=x与x=2的交点（2，2），圆的半径是， 于是圆C的方程为（x-2）2+（y-2）2=5．…（6分） （2）圆心C到直线2x-y+2=0的距离d=…（9分） |AB|=2=…（12分） ‎ ‎【解析】（1）求出抛物线y=x2-4x+3与坐标轴的交点坐标，确定圆心与半径，即可求圆C的方程； （2）利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再由圆的半径，利用垂径定理及勾股定理即可求出|AB|的长． 此题考查了圆C的方程，考查直线与圆相交的性质，涉及的知识有：点到直线的距离公式，圆的标准方程，垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键． 20.【答案】（1）证明：∵O，M分别为AB，VA的中点， ∴OM∥VB， ∵VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC， ‎ ‎∴VB∥平面MOC； （2）∵AC=BC，O为AB的中点， ∴OC⊥AB， ∵平面VAB⊥平面ABC，OC⊂平面ABC， ∴OC⊥平面VAB， ∵OC⊂平面MOC， ∴平面MOC⊥平面VAB （3）在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=，∴AB=2，OC=1， ∴S△VAB=， ∵OC⊥平面VAB， ∴VC-VAB=•S△VAB=， ∴VV-ABC=VC-VAB=． ‎ ‎【解析】本题考查线面平行的判定，考查平面与平面垂直的判定，考查体积的计算，正确运用线面平行、平面与平面垂直的判定定理是关键． （1）利用三角形的中位线得出OM∥VB，利用线面平行的判定定理证明VB∥平面MOC； （2）证明：OC⊥平面VAB，即可证明平面MOC⊥平面VAB （3）利用等体积法求三棱锥V-ABC的体积． 21.【答案】（1）证明：圆C1：x2+y2-4x+2y=0与圆C2：x2+y2-2y-4=0化为标准方程分别为圆C1：（x-2）2+（y+1）2=5与圆C2：x2+（y-1）2=5 ∴C1（2，-1）与圆C2（0，1），半径都为 ∴圆心距为0＜=＜2 ∴两圆相交； （2）解：将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，即 （x2+y2-4x+2y）-（x2+y2-2y-4）=0 即x-y-1=0 （3）解：由（2）得y=x-1代入圆C1：x2+y2-4x+2y=0，化简可得2x2-4x-1=0 ∴ 当时，；当时， 设所求圆的圆心坐标为（a，b），则 ∴ ∴ ∴过两圆的交点且圆心在直线2x+4y=1上的圆的方程为 ‎ ‎【解析】（1）将圆的方程化为标准方程，求出圆心距及半径，即可得两圆相交； （2）对两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程； （3）先求两圆的交点，进而可求圆的圆心与半径，从而可求圆的方程． 本题重点考查两圆的位置关系，考查两圆的公共弦，考查圆的方程，解题的关键是确定圆的圆心与半径，综合性强． 22.【答案】证明：（1）因为G、H为BC、CD的中点，所以GH∥BD且GH=BD， 因为GH⊄平面BED，BD⊂平面BED，所以GH∥平面BED， 又因为EF∥HD且EF=HD，所以FH∥ED， 因为GH⋂FH=H，所以平面FGH∥平面EBD． （2）因为AB=2，BC=AD=1，∠BAD=60°由余弦定理可得BD=，所以BD⊥AD， 因为平面AED⊥平面ABD，平面AED⋂平面ABD=AD， 所以BD⊥平面AED． （3）因为EF∥AB，所以AB与平面BED所成角，即为EF与平面BED 所成角， 由（2）知BD⊥平面AED，所以平面BED⊥平面AED， 且平面BED⋂平面AED=ED， 所以过A作AM⊥平面BED，垂足M落在DE上，连BM， 则∠ABM即为所求线面角， 由AD=1，AE=，DE=3，得cos∠ADE=， 即sin，所以AM=ADsin， 因为AB=2，所以sin． ‎ ‎【解析】（1）由面面平行的判定定理证明即可； （2）由余弦定理可得BD=，得BD⊥AD，因为平面AED⊥平面ABD，平面AED⋂平面ABD=AD，所以BD⊥平面AED． （3）先得到∠ABM即为所求线面角，由AD=1，AE=，DE=3，得cos∠ADE=，即sin，所以AM=ADsin，代入求出即可． 考查了线线、线面、面面平行的性质和判定，余弦定理求角，线面所成的角等，中档题． ‎