高考数学复习课时提能演练(四十六) 7_5

高考数学复习课时提能演练(四十六) 7_5

‎ ‎ 课时提能演练(四十六)‎ ‎(45分钟 100分)‎ 一、选择题(每小题6分，共36分)‎ ‎1.(2012·沈阳模拟)已知直线l、m，平面α、β，且l⊥α,m⊂β,则“α∥β”是“l⊥m”的( )‎ ‎(A)充要条件 (B)充分不必要条件 ‎(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 ‎2.对于直线m、n和平面α、β,能得出α⊥β的一个条件是( )‎ ‎(A)m⊥n，m∥α，n∥β ‎(B)m⊥n，α∩β=m，n⊂α ‎(C)m∥n，n⊥β，m⊂α ‎(D)m∥n，m⊥α，n⊥β ‎3.(2012·泉州模拟)如图，PA⊥正方形ABCD，下列结论中不正确的是( )‎ ‎(A)PB⊥BC (B)PD⊥CD ‎(C)PD⊥BD (D)PA⊥BD ‎4.a,b,c是三条直线，α,β是两个平面，b⊂α，cα则下列命题不成立的是 ‎( )‎ ‎(A)若α∥β，c⊥α，则c⊥β ‎(B)“若b⊥β，则α⊥β”的逆命题 ‎(C)若a是c在α内的射影，a⊥b，则b⊥c ‎(D)“若b∥c，则c∥α”的逆否命题 ‎5.设α、β、γ为平面，l、m、n为直线，则m⊥β的一个充分条件为( )‎ ‎(A)α⊥β，α∩β=l，m⊥l ‎(B)n⊥α，n⊥β，m⊥α ‎(C)α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ ‎(D)α⊥γ，β⊥γ，m⊥α ‎6.(2012·重庆模拟)在一个45°的二面角的一个面内有一条直线与二面角的棱成45°，则此直线与二面角的另一个面所成的角为( )‎ ‎(A)30° (B)45° (C)60° (D)90°‎ 二、填空题(每小题6分，共18分)‎ ‎7.设l,m,n为三条不同的直线，α为一个平面，给出下列命题 ‎①若l⊥α，则l与α相交 ‎②若m⊂α,n⊂α,l⊥m,l⊥n,则l⊥α ‎③若l∥m,m∥n,l⊥α,则n⊥α ‎④若l∥m,m⊥α,n⊥α,则l∥n 其中正确命题的序号为__________.‎ ‎8.（易错题）如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足______________时，平面MBD⊥‎ 平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)‎ ‎9.(2012·淮南模拟)已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，点E、F分别是棱PC、PD的中点，则 ‎①棱AB与PD所在的直线垂直；‎ ‎②平面PBC与平面ABCD垂直；‎ ‎③△PCD的面积大于△PAB的面积；‎ ‎④直线AE与直线BF是异面直线.‎ 以上结论正确的是__________.(写出所有正确结论的编号)‎ 三、解答题(每小题15分，共30分)‎ ‎10.(2012·漳州模拟)如图所示，AD⊥平面ABC，‎ CE⊥平面ABC，AC=AD=AB=1，BC= ，凸多面体 ABCED的体积为，F为BC的中点.‎ ‎(1)求证：AF∥平面BDE；‎ ‎(2)求证：平面BDE⊥平面BCE.‎ ‎11.（预测题）如图，已知直角梯形ABCD的上底BC=，BC∥AD，BC=AD，CD⊥AD，平面PDC⊥平面ABCD，△PCD是边长为2的等边三角形.‎ ‎(1)证明：AB⊥PB；‎ ‎(2)求二面角P-AB-D的大小.‎ ‎(3)求三棱锥A-PBD的体积.‎ ‎【探究创新】‎ ‎(16分)已知四棱锥P－ABCD的三视图如图所示，E是侧棱PC上的动点.‎ ‎(1)求四棱锥P－ABCD的体积；‎ ‎(2)是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论；‎ ‎(3)若点E为PC的中点，求二面角D－AE－B的大小.‎ 答案解析 ‎1.【解析】选B.当α∥β,l⊥α时，有l⊥β,‎ 又m⊂β,故l⊥m.‎ 反之，当l⊥m,m⊂β时，不一定有l⊥β, ‎ 故α∥β不一定成立.‎ 因此“α∥β”是“l⊥m”的充分不必要条件.‎ ‎2.【解析】选C.如图，构造一个正方体ABCD-A1B‎1C1D1，‎ 把AD看作直线m,BB1看作直线n,把平面BB‎1C1C看作平 面α,平面AA‎1C1C看作平面β,A虽满足m⊥n,m∥α,‎ n∥β,但α、β不垂直，故不正确.类似地可否定 B和D，故选C.‎ ‎3.【解析】选C.由CB⊥BA，CB⊥PA，PA∩BA=A，知CB⊥平面PAB，故CB⊥PB，即A正确；同理B正确；由条件易知D正确.‎ ‎4.【解析】选B.一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则垂直于另一个，故A正确；若c∥α，∵a是c在α内的射影，∴c∥a，∵b⊥a，∴b⊥c；若c与α相交，则c与a相交，由线面垂直的性质与判定定理知，若b⊥a，则b⊥c，故C正确；∵b⊂α，cα，b∥c，∴c∥α，因此原命题“若b∥c，则c∥α”为真，从而其逆否命题也为真，故D正确.当α⊥β时，平面α 内的直线不一定垂直于平面β，故B不成立.‎ ‎【误区警示】平面几何中的一些结论引用到立体几何中造成错误.对空间中位置关系的考虑不周，也是造成判断错误的因素.‎ ‎5.【解析】选B.如图①知A错；如图②知C错；如图③在正方体中，两侧面α与β相交于l，都与底面γ垂直，γ内的直线m⊥α，但m与β不垂直，故D错.由n⊥α,n⊥β知α∥β，又m⊥α，故m⊥β，因此B正确.‎ ‎6.【解题指南】先根据已知条件作出正确图形，确定出所求的线面角是解题的关键，然后将所求的线面角转化为求三角形内的角.‎ ‎【解析】选A.如图，二面角α-l-β为45°，AB⊂β，‎ 且与棱l成45°角，过A作AO⊥α于O，作AH⊥l于H.‎ 连接OH、OB，则∠AHO为二面角α-l-β的平面角，‎ ‎∠ABO为AB与平面α所成角.不妨设AH=，在 Rt△AOH中，易得AO=1；在Rt△ABH中，易得AB=2.‎ 故在Rt△ABO中，，∴∠ABO=30°，为所求线面角.‎ ‎【变式备选】正方体ABCD－A1B‎1C1D1中BB1与平面ACD1所成角的余弦值为 ‎( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【解析】选D.设BD与AC交于点O，连接D1O，∵BB1∥DD1，∴DD1与平面ACD1所成的角就是BB1与平面ACD1成的角.∵AC⊥BD，‎ AC⊥DD1，DD1∩BD=D，∴AC⊥平面DD1B，‎ 平面DD1B∩平面ACD1=OD1，‎ ‎∴DD1在平面ACD1内的射影落在OD1上，‎ 故∠DD1O为直线DD1与平面ACD1所成的角，设正方体的棱长为1，则DD1=1，DO=，D1O=，‎ ‎∴，∴BB1与平面ACD1所成角的余弦值为.‎ ‎7.【解析】由于垂直是直线与平面相交的特殊情况，故①正确；由于m、n不一定相交，故②不正确；根据平行线的传递性，故l∥n,又l⊥α，故n⊥α，从而③正确；由m⊥α,n⊥α知m∥n,故l∥n,故④正确.‎ 答案：①③④‎ ‎8.【解析】DM⊥PC(或BM⊥PC等).‎ ‎∵ABCD为菱形，∴AC⊥BD，‎ 又∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥BD，‎ 又AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC，‎ BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，‎ 即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，‎ ‎∴平面MBD⊥平面PCD.‎ 答案：DM⊥PC(答案不唯一)‎ ‎9.【解析】由条件可得AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD，故①正确；∵PA⊥‎ 平面ABCD，∴平面PAB、平面PAD都与平面ABCD垂直，故平面PBC不可能与平面ABCD垂直，②错；S△PCD=CD·PD，S△PAB=AB·PA，由AB=CD，PD>PA知③正确；由E、F分别是棱PC、PD的中点可得EF∥CD，又AB∥CD，所以EF∥AB，故AE与BF共面，故④错.‎ 答案：①③‎ ‎10.【证明】(1)∵AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，‎ ‎∴四边形ACED为梯形，且平面ABC⊥平面ACED，‎ ‎∵BC2=AC2+AB2，‎ ‎∴AB⊥AC，‎ ‎∵平面ABC∩平面ACED=AC，‎ ‎∴AB⊥平面ACED，‎ 即AB为四棱锥B-ACED的高，‎ ‎∵VB-ACED= ·SACED·AB= ××(1+CE)×1×1= ，∴CE=2，‎ 取BE的中点G，连接GF，GD，‎ ‎∴GF为三角形BCE的中位线，‎ ‎∴GF∥EC∥DA，‎ GF= CE=DA，‎ ‎∴四边形GFAD为平行四边形，‎ ‎∴AF∥GD，‎ 又GD⊂平面BDE，AF平面BDE,‎ ‎∴AF∥平面BDE.‎ ‎(2)∵AB=AC，F为BC的中点，‎ ‎∴AF⊥BC，‎ 又GF⊥AF，BC∩GF=F，‎ ‎∴AF⊥平面BCE，‎ ‎∵AF∥GD，∴GD⊥平面BCE，‎ 又GD⊂平面BDE，‎ ‎∴平面BDE⊥平面BCE.‎ ‎【误区警示】解题时往往忽视“凸多面体ABCED的体积为”这一条件的应用.‎ ‎11.【解析】(1)在直角梯形ABCD中，‎ 因为AD=2，BC=，CD=2,‎ 所以.‎ 因为BC⊥CD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，‎ 所以BC⊥平面PDC，因此在Rt△BCP中，.‎ 因为BC∥AD，所以AD⊥平面PDC，‎ 所以在Rt△PAD中，‎ ‎.‎ 所以在△PAB中，PA2=AB2+PB2，‎ 所以AB⊥PB.‎ ‎(2)设线段DC的中点为E，连接PE，EB 因为△PCD是等边三角形，‎ 所以PE⊥DC，‎ 因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，‎ 所以PE⊥平面ABCD，‎ 因此AB⊥PE，‎ 由(1)知AB⊥PB，‎ 所以AB⊥平面PEB，‎ 所以AB⊥BE，‎ 因此∠PBE就是二面角P-AB-D的平面角，‎ 在Rt△PBE中，‎ ‎，‎ 所以∠PBE= .‎ ‎(3)VA-PBD=VP-ABD= S△ABD·PE ‎【探究创新】‎ ‎【解题指南】(1)利用三视图与直观图之间的转化确定相应线段长度.‎ ‎(2)作辅助线，利用线面垂直证明线线垂直.‎ ‎(3)找到二面角的平面角，在三角形中利用余弦定理求解.‎ ‎【解析】(1)由三视图可知，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，‎ 侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2.‎ ‎∴VP－ABCD=S正方形ABCD·PC=×12×2=，‎ 即四棱锥P－ABCD的体积为.‎ ‎(2)不论点E在何位置，都有BD⊥AE.‎ 证明如下：连接AC，∵ABCD是正方形，‎ ‎∴BD⊥AC.‎ ‎∵PC⊥底面ABCD，且BD⊂平面ABCD，‎ ‎∴BD⊥PC.‎ 又∵AC∩PC=C，∴BD⊥平面PAC.‎ ‎∵不论点E在何位置，都有AE⊂平面PAC.‎ ‎∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE.‎ ‎(3)在平面DAE内过点D作DF⊥AE于F，连接BF.‎ ‎∵AD=AB=1，DE=BE=，AE=AE=，‎ ‎∴Rt△ADE≌Rt△ABE，‎ 从而△ADF≌△ABF，∴BF⊥AE.‎ ‎∴∠DFB为二面角D－AE－B的平面角.‎ 在Rt△ADE中，，‎ ‎∴BF= .‎ 又BD= ，在△DFB中，由余弦定理得 ‎，∴∠DFB=，‎ 即二面角D－AE－B的大小为.‎ ‎【方法技巧】求线面角的步骤 ‎(1)作：根据直线与平面所成角的定义作出线面角；‎ ‎(2)证：通过推理说明所作出的角即为所求角；‎ ‎(3)求：在直角三角形中求出该角；‎ ‎(4)作出结论.‎