2019-2020学年重庆市北碚区高一上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年重庆市北碚区高一上学期期末数学试题（解析版）

‎2019-2020学年重庆市北碚区高一上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．下列五个写法：①；②；③；④；⑤，其中错误写法的个数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据元素与集合关系的表示，空集的定义和性质，集合相等，交集运算的定义，逐一判断五个结论的正误，可得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎“∈”表示元素与集合的关系，故①错误；‎ 空集是任何集合的子集，故②正确；‎ 由{0，1，2}＝{1，2，0}可得{0，1，2}⊆{1，2，0}成立，故③正确；‎ 空集不含任何元素，故④错误 ‎“∩”是连接两个集合的运算符号，0不是集合，故⑤错误 所以错误写法的个数为3个 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了元素与集合关系的判断，集合的包含关系判断及应用，以及列举法表示集合，特别注意对空集的理解，属于基础题．‎ ‎2．设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，可化为：，根据对数函数的性质，可得，即可求出结果．‎ ‎【详解】‎ ‎∵函数，‎ 则不等式可化为，‎ 可得，解得，‎ 即使得成立的的取值范围是．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数不等式以及对数函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题．解对数不等式一定要考虑不等式中对数的真数大于0，尽量考虑的是原不等式中的真数而不仅仅是变形后的不等式中的真数．‎ ‎3．等比数列的各项均为正数，且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由等比数列的性质可得：，所以.‎ ‎.‎ 则，‎ 故选B.‎ ‎4．设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是 A．f(x)的一个周期为−2π B．y=f(x)的图像关于直线x=对称 C．f(x+π)的一个零点为x= D．f(x)在(,π)单调递减 ‎【答案】D ‎【解析】f(x)的最小正周期为2π，易知A正确；‎ f＝cos＝cos3π＝－1，为f(x)的最小值，故B正确；‎ ‎∵f(x＋π)＝cos＝－cos，∴f＝－cos＝－cos ‎＝0，故C正确；‎ 由于f＝cos＝cosπ＝－1，为f(x)的最小值，故f(x)在上不单调，故D错误．‎ 故选D.‎ ‎5．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，c=，则C=‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】【详解】试题分析：根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可 详解：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，‎ ‎∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，‎ ‎∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0，‎ ‎∴cosAsinC+sinAsinC=0，‎ ‎∵sinC≠0，‎ ‎∴cosA=﹣sinA，‎ ‎∴tanA=﹣1，‎ ‎∵＜A＜π，‎ ‎∴A= ，‎ 由正弦定理可得，‎ ‎∵a=2，c=，‎ ‎∴sinC== ，‎ ‎∵a＞c，‎ ‎∴C=，‎ 故选B．‎ 点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 ‎ 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.‎ ‎6．已知sin（）=，则（）的值等于( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】解：因为sin（）=，则（）= sin（）=，选B ‎7．已知向量，，设函数，则下列关于函数的性质的描述正确的是　　‎ A．关于直线对称 B．关于点对称 C．周期为 D．在上是增函数 ‎【答案】D ‎【解析】【详解】‎ 当时,,∴f(x)不关于直线对称；‎ 当时, ,∴f(x)关于点对称；‎ f(x)得周期，‎ 当时, ,∴f(x)在上是增函数．‎ 本题选择D选项.‎ ‎8．函数在区间上至少取得个最大值，则正整数的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】化函数f（x）为正弦型函数，求出函数的最小正周期T，根据题意a-（-1）T ‎，得出a的取值范围，从而求出a的最小值．‎ ‎【详解】‎ 解：函数 ‎（1﹣cosx）‎ ‎＝sin（），‎ ‎∴函数的最小正周期为T6；‎ 又f（x）在区间[﹣1，a]上至少取得2个最大值，‎ ‎∴a﹣（﹣1） T7.5，‎ 解得a6.5，‎ ‎∴正整数a的最小值是7．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的图象和性质的应用问题，属于基础题．‎ ‎9．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：易得.设，则消去得：，所以点P在以AB为直径的圆上，，所以，令，则 ‎.因为，所以.所以，.选B.‎ 法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以，点P的轨迹是以AB为直径的圆.以下同法一.‎ ‎【考点定位】1、直线与圆；2、三角代换.‎ ‎10．设为的外心，若，则是的（ ）‎ A．重心（三条中线交点） B．内心（三条角平分线交点）‎ C．垂心（三条高线交点） D．外心（三边中垂线交点）‎ ‎【答案】C ‎【解析】设的中点为，根据题意可得，由题中向量的等式化简得，即在边的高线上．同理可证出在边的高线上，故可得是三角形的垂心．‎ ‎【详解】‎ 在中，为外心，可得，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 设的中点为，则，，‎ ‎∴，可得在边的高线上．‎ 同理可证，在边的高线上，‎ 故是三角形两高线的交点，可得是三角形的垂心，‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题给出三角形中的向量等式，判断点是三角形的哪一个心．着重考查了向量加法法则、三角形的外接圆性质和三角形“五心”的判断等知识点，属于中档题．‎ ‎11．给出下列命题：‎ ‎①第二象限角大于第一象限角；‎ ‎②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；‎ ‎③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关；‎ ‎④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同；‎ ‎⑤若cosθ<0，则θ是第二或第三象限的角.‎ 其中正确命题的个数是(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】A ‎【解析】由于第一象限角370°不小于第二象限角100°,故①错;当三角形的内角为90°时,其既不是第一象限角,也不是第二象限角,故②错;③正确;由于sin=sin,但与的终边不相同,故④错;当θ=π,cosθ=-1<0时既不是第二象限角,又不是第三象限角,故⑤错.综上可知只有③正确.‎ ‎12．已知，将的图象向右平移了个单位，再向上平移1个单位，得到的图象，若对任意实数，都有成立，则（ ）‎ A． B．1 C． D．0‎ ‎【答案】B ‎【解析】化简，将的图象向右平移了个单位，再向上平移1个单位，得到，所以，又对任意实数，都有成立，则关于对称，所以为平衡位置处，所以1.‎ 二、填空题 ‎13．已知函数是定义在上的奇函数，当时，,则__________.‎ ‎【答案】12‎ ‎【解析】由函数的奇偶性可知，代入函数解析式即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 函数是定义在上的奇函数，，则，‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的奇偶性，属于基础题型.‎ ‎14．已知向量，，，，若，则的最小值______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，可得：，再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，‎ ‎∴，即，‎ ‎∵，，‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎​当且仅当时取等号，‎ ‎∴的最小值是．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎15．在同一个平面内，向量的模分别为与的夹角为 ‎，且与的夹角为，若，则_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】【详解】‎ 以为轴，建立直角坐标系，则，由的模为与与的夹角为，且知， ，可得，，由可得，，故答案为.‎ ‎【 方法点睛】本题主要考查向量的坐标运算及两角和的余弦公式、同角三角函数之间的关系，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答，这种方法在求范围与最值问题时用起来更方便．‎ ‎16．将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，则函数具有性质__________．（填入所有正确性质的序号）‎ ‎①最大值为，图象关于直线对称；‎ ‎②图象关于轴对称；‎ ‎③最小正周期为；‎ ‎④图象关于点对称；‎ ‎⑤在上单调递减 ‎【答案】②③④‎ ‎【解析】将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象向上平移个单位长度，得到函数的图象，对于函数：它的最大值为，由于当时，，不是最值，故图象不关于直线对称，故排除①；由于该函数为偶函数，故它的图象关于轴对称，故②正确；它的最小周期为，故③正确；当时，，故函数的图象关于点对称，故正④确；在上，不是单调函数，故排除⑤，故答案为②③④. ‎ ‎【方法点晴】本题主要考查三角函数的单调性、三角函数的周期性及奇偶性，属于难题．三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，经常考查定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调性、最值等，其中公式运用及其变形能力、运算能力、方程思想等可以在这些问题中进行体现，在复习时要注意基础知识的理解与落实．三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解．‎ 三、解答题 ‎17．已知函数．‎ ‎（1）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明其结论；‎ ‎（2）求函数在区间上的最大值与最小值．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）最大值为；小值为 ‎【解析】【详解】试题分析：（1）利用单调性的定义，任取，且，比较和0即可得单调性；‎ ‎（2）由函数的单调性即可得函数最值.‎ 试题解析：‎ ‎（1）解：在区间上是增函数.‎ 证明如下：‎ 任取，且，‎ ‎.‎ ‎∵，‎ ‎∴，即.‎ ‎∴函数在区间上是增函数.‎ ‎（2）由（1）知函数在区间上是增函数，‎ 故函数在区间上的最大值为，‎ 最小值为.‎ 点睛： 本题考查利用函数的奇偶性求函数解析式,判断并证明函数的单调性,属于中档题目.证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取，并且（或）；（2）作差： ，并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子符号为止）；（3）定号：和0比较；‎ ‎（4）下结论.‎ ‎18．命题：函数有意义；命题：实数满足.‎ ‎（1）当且为真，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若是的充分条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）若，分别求出，成立的等价条件，利用且为真，求实数的取值范围；‎ ‎（2）利用是的充分不必要条件，即是的充分不必要条件，求实数的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由得，又，所以.‎ 则：，；‎ 若，则：，‎ 由，解得，‎ 即：.‎ 若为真，则，同时为真，即，解得，‎ ‎∴实数的取值范围.‎ ‎（2）若是的充分条件，即是的充分条件，‎ ‎∴是的子集.‎ 所以，解得.‎ 实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用逆否命题的等价性将是的充分不必要条件，转化为是的充分不必要条件是解决本题的关键．‎ ‎19．已知函数的 部分图象如图所示：‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）求的单调区间和对称中心坐标；‎ ‎（3）将的图象向左平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移1个单位，得到函数的图象，求函数在上的最大值和最小值．‎ ‎【答案】（1）；（2）的单调递增区间为，，单调递减区间为，；对称中心的坐标为，；（3）最大值，最小值-2.‎ ‎【解析】（1）由图象可求，的值，求得周期，利用周期公式可求，由可求，即可得解的解析式；‎ ‎（2）令，，得，，可求的单调递增区间，令，，得，，可求的对称中心的坐标；‎ ‎（3）由已知的图象变换过程可得：，由，利用正弦函数的性质可求在上的最大值和最小值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由图象可知，‎ 解得，‎ 又由于，‎ 所以，‎ 由，‎ ‎，‎ 又，‎ 所以，‎ 所以；‎ ‎（2）由（1）知，，‎ 令，，‎ 得，，‎ 所以的单调递增区间为，，‎ 令，，‎ 得，，‎ 所以的单调递减区间为，，‎ 令，，得，，‎ 所以的对称中心的坐标为，；‎ ‎（3）由已知的图象变换过程可得：，‎ 因为，‎ 所以，‎ 所以当，得时，取得最小值，‎ 当时，即时，取得最大值．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了由的部分图象确定其解析式，函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了数形结合思想，属于中档题．‎ ‎20．已知椭圆的左右焦点分别为，左顶点为， ，椭圆的离心率.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若是椭圆上任意一点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意可得到： ， ，从而写出椭圆的标准方程； （2）设，利用向量的数量积即可得，结合，利用二次函数求最值即可.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由已知可得 所以 因为 所以 所以椭圆的标准方程为： ‎ ‎（2）设，又 ‎ 所以，‎ 因为点在椭圆上，‎ 所以，即，且，所以，‎ 函数在单调递增，‎ 当时， 取最小值为0；‎ 当时， 取最大值为12.‎ 所以的取值范围是.‎ ‎21．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（‎ 为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点在上，点在上，求的最小值以及此时的直角坐标.‎ ‎【答案】（1）：，：；（2），此时.‎ ‎【解析】试题分析：（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；（2）由题意，可设点的直角坐标为到的距离 当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.‎ 试题解析： （1）的普通方程为，的直角坐标方程为.‎ ‎（2）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，.‎ 当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.‎ ‎【考点】坐标系与参数方程.‎ ‎【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等．把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围．‎ ‎22．已知函数，（其中，，）的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最高点为．‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）先把函数的图象向左平移个单位长度，然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，试写出函数的解析式．‎ ‎（3）在（2）的条件下，若存在，使得不等式成立，求实数的最小值．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】（1）依题意知，由此可求得；又函数图象上一个最高点为，可知，，结合可求得，从而可得的解析式；‎ ‎（2）利用函数的图象变换可求得函数的解析式；‎ ‎（3），则，，依题意知，，从而可求得实数的最小值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵，‎ ‎∴，解得；‎ 又函数图象上一个最高点为，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，又，‎ ‎∴，‎ ‎∴；‎ ‎（2）把函数的图象向左平移个单位长度，‎ 得到的图象，‎ 然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），‎ 得到函数的图象，‎ 即；‎ ‎（3）∵，‎ ‎∴，，‎ 依题意知，，‎ ‎∴，即实数的最小值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查由的部分图象确定其解析式，考查函数的图象变换，属于中档题．‎