甘肃省平凉市静宁县第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

甘肃省平凉市静宁县第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

静宁一中2019-2020学年度第一学期高二级第二次考试题数学（理科）‎ 一、选择题 ‎1.命题“若α=，则tanα=‎1”‎的逆否命题是 A. 若α≠，则tanα≠1 B. 若α=，则tanα≠1‎ C. 若tanα≠1，则α≠ D. 若tanα≠1，则α=‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 因为“若，则”的逆否命题为“若，则”，所以 “若α=，则tanα=‎1”‎的逆否命题是 “若tanα≠1，则α≠”.‎ ‎【点评】本题考查了“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，考查分析问题的能力.‎ ‎2.如图是容量为150的样本的频率分布直方图，则样本数据落在内的频数为（ ）‎ A. 12 B. ‎48 ‎C. 60 D. 80‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据频率分布直方图，可得样本数据落在[6，10）内的频率，从而可得频数．‎ ‎【详解】解：根据频率分布直方图，样本数据落在[6，10）内的频数为0.08×4×150＝48‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查频率分布直方图，考查学生的读图能力，属于基础题．‎ ‎3.下列说法中正确的是（ ）‎ A. “”是“”成立的充分不必要条件 B. 命题，则 C. 为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见，用系统抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本，则分组的组距为40‎ D. 已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为，则回归直线方程为.‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 对于A，取，时，不能推出，故错误；对于B，命题的否定为，故错误；对于C，为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见，用系统抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本，则分组的组距为，故错误；对于D，因为回归直线的斜率的估计值为1.23，所以回归直线方程可写成，根据回归直线方程过样本点的中心，则，所以回归直线方程为，故正确.‎ 故选D.‎ ‎4.从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A=｛抽到一等品｝，事件B =｛抽到二等品｝，事件C =｛抽到三等品｝，且已知 P（A）=0.65 ,P(B)=0.2，,P(C)=0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为（ ）‎ A. 0.35‎ B. 0.65‎ C. 0.7‎ D. 0.3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接根据对立事件的概率公式求解即可.‎ ‎【详解】因为事件“抽到的不是一等品”是事件A=｛抽到一等品｝的对立事件，‎ 而P（A）=0.65 ,所以，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查对立事件的概率公式，属于基础题.‎ ‎5.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（ ）‎ A. 2 B. ‎3 ‎C. 4 D. 5‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先可以根据程序框图得出程序框图中所包含的关系式为以及，然后根据程序框图进行运算，即可得出结果．‎ ‎【详解】由程序框图可知：，，‎ 第一次运算：，，； ‎ 第二次运算：，，； ‎ 第三次运算：，，； ‎ 第四次运算：，，； ‎ 输出结果为，‎ 综上所述，故选C．‎ ‎【点睛】本题考查根据程序框图进行运算并得出结果，能否明确程序框图中所包含的关系式以及程序框图中结果的输出条件是解决本题的关键，考查计算能力，是简单题．‎ ‎6.已知线段MN的长度为6，在线段MN上随机取一点P，则点P到点M，N的距离都大于2的概率为　　‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意画出图形，结合图形即可得出结论．‎ ‎【详解】如图所示，‎ 线段MN的长度为6，在线段MN上随机取一点P，‎ 则点P到点M，N的距离都大于2的概率为．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．‎ ‎7.已知命题直线与直线垂直，原点到直线的距离为，则（ ）‎ A. 为假 B. 为真 C. 为真 D. 为真 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先可以判断出命题以及命题是真命题还是假命题，然后根据逻辑联结词“或”、“且”、“非”的相关性质即可得出结果．‎ ‎【详解】命题：因为直线的斜率为，直线的斜率为，‎ 所以，两直线垂直，故为真命题，‎ 命题：因为原点到直线距离，‎ 所以为真命题，‎ 综上所述，为真，故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查逻辑联结词“或”、“且”、“非”的相关性质，主要考查了逻辑联结词“或”、“且”、“非”的相关命题的真假性判断，考查推理能力，是中档题．‎ ‎8.已知E、F分别为椭圆的左、右焦点，倾斜角为的直线l过点E，且与椭圆交于A，B两点，则的周长为 ‎ A. 10 B. ‎12 ‎C. 16 D. 20‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用椭圆的定义即可得到结果．‎ ‎【详解】椭圆，‎ 可得，‎ 三角形的周长，，‎ 所以：周长，‎ 由椭圆的第一定义，，‎ 所以，周长．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，三角形的周长的求法，属于基本知识的考查．‎ ‎9.与双曲线共焦点，且过点（）的双曲线方程为（ ）‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先可以根据双曲线求出，再设双曲线方程为，带入点以及，即可通过计算得出结果。‎ ‎【详解】由题意可知双曲线有：，‎ 设双曲线方程为，‎ 因为双曲线与双曲线共焦点，且过点，‎ 所以，且，解得，，‎ 所以双曲线方程为，‎ 综上所述，故选D。‎ ‎【点睛】本题考查共焦点的双曲线的方程的求法，当双曲线共焦点时，双曲线的的值是相同的，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题。‎ ‎10.若命题是真命题，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题干得到需满足，解出不等式即可.‎ ‎【详解】命题是真命题，则需满足，解得或.‎ 故选.‎ ‎【点睛】这个题目考查了已知命题的真假，求参的问题.涉及二次函数在R上有解的问题，开口向上，只需要判别式大于等于0即可.‎ ‎11.已知是椭圆上一定点，是椭圆两个焦点，若，，则椭圆离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 在中，，，，根据余弦定理，，所以，，根据椭圆定义，则离心率，故选择B.‎ 点睛：椭圆几何性质内容丰富，往往是命题的热点，而离心率又是几何性质中的核心，因此离心率问题一直成为考查的重点.求离心率的值及离心率的取值范围常用的方法有（1）求的值，由直接求；（2）列出含有的方程或不等式，借助于，消去，然后转化为关于的方程或不等式求解.应用平面几何知识是解决这类问题的关键.‎ ‎12.椭圆的焦点为、，为椭圆上一点，已知，则的面积为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先设出|PF1|=m，|PF2|=n，利用椭圆的定义求得n+m的值，平方后求得mn和m2+n2的关系，代入△F1PF2的勾股定理中求得mn的值，即可求出△F1PF2的面积．‎ ‎【详解】由椭圆定义知，又，所以 ‎，从而得，所以的面积为，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了椭圆的应用，椭圆的简单性质和椭圆的定义．考查了考生对所学知识的综合运用．‎ 二、填空题 ‎13.以为渐近线且经过点的双曲线方程为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 以为渐近线的双曲线为等轴双曲线，方程可设为，代入点得.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎14.如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是________‎ ‎【答案】 y=-0.5x+4‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】设弦为，且，代入椭圆方程得，两式作差并化简得，即弦的斜率为，由点斜式得，化简得.‎ ‎15.已知，，若是的充分条件，则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对命题进行化简，将转化为等价命题，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 又是的充分条件，即，它的等价命题是 ‎ ，解得 ‎【点睛】本题主要考查了四种命题的关系，注意原命题与逆否命题的真假相同是解题的关键.‎ ‎16.下列结论：‎ ‎“直线l与平面平行”是“直线l在平面外”的充分不必要条件；‎ 若p：，，则：，；‎ 命题“设a，，若，则或”为真命题；‎ ‎“”是“函数在上单调递增”的充要条件．‎ 其中所有正确结论的序号为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由线面的位置关系，结合充分必要条件的定义可判断；由特称命题的否定为全称命题，可判断；由原命题和逆否命题互为等价命题，可判断；由导数大于等于0恒成立，结合充分必要条件的定义，可判断．‎ ‎【详解】“直线l与平面平行”可推得“直线l在平面外”，反之，不成立，直线l可能与平面相交，故“直线l与平面平行”是“直线l在平面外”的充分不必要条件，故正确；‎ 若p：，，则：，，故错误；‎ 命题“设a，，若，则或”的逆否命题为 ‎“设a，，若且，则”，即为真命题，故正确；‎ 函数在上单调递增，可得在恒成立，即有的最小值，可得，“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件，故错误．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查命题的否定和四种命题的真假判断，考查充分必要条件的判断，属于基础题．‎ 三、解答题 ‎17.某市准备引进优秀企业进行城市建设． 城市的甲地、乙地分别对5个企业（共10个企业）进行综合评估，得分情况如茎叶图所示．‎ ‎（1）根据茎叶图，求乙地对企业评估得分的平均值和方差； ‎ ‎（2）规定得分在85分以上为优秀企业，若从甲、乙两地准备引进的优秀企业中各随机选取1个，求这两个企业得分的差的绝对值不超过5分的概率.(参考公式：样本数据x1，x2，…，xn的方差：，其中为样本平均数)‎ ‎【答案】（Ⅰ）88，48.4.（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）直接利用茎叶图求解乙地对企业评估得分的平均值和方差即可． （Ⅱ）甲区优秀企业得分为88，89，93，95共4个，乙区优秀企业得分为86，95，96共3个．列出从两个区各选一个优秀企业，所有基本事件，求出得分的绝对值的差不超过5分的个数．即可求解概率．‎ 试题解析：（Ⅰ）乙地对企业评估得分的平均值是，‎ 方差是. ‎ ‎（Ⅱ）从甲、乙两地准备引进的优秀企业中各随机选取1个，有，，，，，，，，，，‎ ‎，共组， 设“得分的差的绝对值不超过5分”为事件，则事件包含有，，，，，，，共组. ‎ 所以 所以得分的差的绝对值不超过5分的概率是 ‎18.已知命题p：，命题q:|‎2a-1|<3．‎ ‎(1)若命题p是真命题，求实数a的取值范围；‎ ‎(2)若p∨q是真命题，p∧q是假命题，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】(1) (2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据命题为真命题，分类讨论a是否为0；再根据开口及判别式即可求得a的取值范围．‎ ‎（2）‎ ‎【详解】根据复合命题真假，讨论p真q假，p假q真两种情况下a的取值范围．‎ ‎（1）命题是真命题时，在范围内恒成立，‎ ‎∴①当时，有恒成立； ‎ ‎②当时，有，解得：； ‎ ‎∴的取值范围为：.‎ ‎（2）∵是真命题，是假命题，∴.一真一假， ‎ 由为真时得：，故有：①真假时，有得：；‎ ‎②假真时，有得： ； ‎ ‎∴的取值范围为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了命题真假及复合命题真假的简单应用，求参数的取值范围，属于基础题．‎ ‎19. 为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A,B,C相关人员中，抽取若干人组成研究小组、有关数据见下表（单位：人）‎ ‎（I） 求x,y ;‎ ‎（II） 若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言，求这二人都来自高校C的概率．‎ ‎【答案】x=1,y=3,3/10‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(Ⅰ)利用分层抽样的特点（等比例抽样）进行求解；(Ⅱ)利用列举法得到所有和符合题意的基本事件和基本事件个数，再利用古典概型的概率公式进行求解．‎ 试题解析：（Ⅰ）由题意可得，∴，.‎ ‎（Ⅱ）记从高校抽取的2人为，从高校抽取的3人为，则从高校抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有，共10种.‎ 设选中的2人都来自高校的事件为，则包含的基本事件有，共3种，‎ 因此，故选中的2人都来自高校的概率为.‎ 考点：1.分层抽样；2.古典概型．‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎20.过原点O作圆x2+y2-8x=0的弦OA．‎ ‎(1)求弦OA中点M的轨迹方程；‎ ‎(2)延长OA到N，使|OA|=|AN|，求N点的轨迹方程.‎ ‎【答案】(1)x2+y2-4x="0;" (2)x2+y2-16x=0‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）设M点坐标为（x，y），那么A点坐标是（2x，2y），‎ A点坐标满足圆x2+y2-8x=0的方程，所以， （2x）2+（2y）2-16x=0，‎ 化简得M 点轨迹方程为x2+y2-4x=0．‎ ‎（2）设N点坐标为（x，y），那么A点坐标是（），‎ A点坐标满足圆x2+y2-8x=0的方程，‎ 得到：（）2+（）2-4x=0，‎ N点轨迹方程为：x2+y2-16x=0．‎ 考点：轨迹方程 点评：中档题，本题利用“相关点法”（“代入法”），较方便的使问题得解．‎ ‎21.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗 (吨)标准煤的几组对照数据 ‎(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；‎ ‎(2)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(1)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?‎ 参考公式：‎ ‎【答案】(1) y=0.7x+0.35；(2) 19.65吨．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程.（2）令，求得改造后的能耗，用原来的能耗减去改造后的能耗，求得生产能耗比技改前降低的标准煤吨数.‎ ‎【详解】（1）由对照数据，计算得，=4.5，=3.5，‎ ‎∴回归方程的系数为=0.7，=3.5-0.7×4.5=0.35，‎ ‎∴所求线性回归方程为y=0.7x+0.35；‎ ‎（2）由（1）求出的线性回归方程，‎ 估计生产100吨甲产品的生产能耗为0.7×100+0.35=70.35（吨），‎ 由90-70.35=19.65，‎ ‎∴生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低19.65吨．‎ ‎【点睛】本小题主要考查回归直线方程的计算，考查用回归直线方程进行预测，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎22.已知椭圆的右焦点为，为短轴的一个端点且（其中为坐标原点）.‎ ‎（1）求椭圆的方程;‎ ‎（2）若、 分别是椭圆长轴的左右端点，动点满足，连接，交椭圆于点，试问轴上是否存在异于点的定点，使得以为直径的圆恒过直线、的交点，若存在，求出点的坐标；若不存在,说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）存在定点，理由见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)本题首先可以根据得出、的值，然后通过、的值即可计算得出的值并得出椭圆方程；‎ ‎(2)本题首先可以根据(1)中结论得出、两点坐标，然后设出直线方程以及 点坐标，再然后联立椭圆以及直线方程得出以及，最后根据即可得出结果。‎ ‎【详解】(1)因为，‎ 所以，，‎ 所以椭圆方程为。‎ ‎(2)由(1)可知，，‎ 设直线的方程为，，则，‎ 联立椭圆以及直线可得，整理得，‎ 方程显然有两个解，由韦达定理可得，得，，‎ 所以，‎ 设，若存在满足题设的点，则，‎ 由，整理可得恒成立，‎ 所以，故存在定点满足题设要求。‎ ‎【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法以及椭圆的相关性质的应用，考查直线与椭圆相交的相关性质，考查运算能力与推理能力，考查化归与转化思想，是难题。‎