2020届二轮复习排列与组合课时作业（全国通用）

2020届二轮复习排列与组合课时作业（全国通用）

排列与组合 【例1】 用这个数字，可以组成____个大于，小于的数字不重复的四位数．‎ ‎【考点】加法原理 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】分四类：‎ ‎①千位数字为之一时，百十个位数只要不重复即可，有（个）；‎ ‎②千位数字为，百位数字为之一时，共有（个）；‎ ‎③千位数字是，百位数字是，十位数字是之一时，共有（个）；‎ ‎④最后还有也满足条件．‎ 所以所求四位数共有（个）．‎ ‎【答案】175；‎ 【例2】 若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为，值域为的“同族函数”共有（ ）‎ A．个 B．个 C．个 D．个 ‎【考点】乘法原理 ‎【难度】3星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】无 ‎【解析】由题设，定义域至少含、中的一个，有种可能；‎ 以及至少含、中的一个，也有种可能，故定义域总共有种，因此“同族函数”有个．‎ ‎【答案】C；‎ 【例3】 某银行储蓄卡的密码是一个位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位和个位上的数字（如）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选，并且千位、百位上都能取．这样设计出来的密码共有（ ）‎ A．个 B．个 C．个 D．个 ‎【考点】乘法原理 ‎【难度】2星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】无 ‎【解析】由于千位、百位确定下来后十位、个位就随之确定，‎ 则只考虑千位、百位即可，千位、百位各有种选择，所以有种．故选C．‎ ‎【答案】C；‎ 【例1】 若自然数使得作竖式加法均不产生进位现象．则称为“可连数”．例如：是“可连数”，因不产生进位现象；不是“可连数”，因产生进位现象．那么，小于的“可连数”的个数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】基本计数原理的综合应用 ‎【难度】3星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】无 ‎【解析】“可连数”是一位数时，设为，则，‎ 共有个；‎ 是两位数时，设为，易知，，由题意，且，，，共有个；‎ 是三位数时，设为，易知，，由题意有 ‎，，，故，，，共有个．‎ 可连数的个数为个．选D．‎ ‎【答案】D；‎ 【例2】 分母是385的最简真分数一共有多少个？并求它们的和．‎ ‎【考点】基本计数原理的综合应用 ‎【难度】4星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】，实际上就是找分子中不能被5或7或11整除的数个数，用间接法．‎ ‎⑴被5、7和11这3个都整除的只有385一个；‎ ‎⑵只被其中两个整除的：只被5和7整除的有个；只被5和11整除的有个；只被7和11整除的有个．共有个；‎ ‎⑶只被其中1个整除的：能被5整除的共有个，其中包括只被5和7整除的10个、只被5和11整除的6个以及被3个整除的1个，故只能被5整除的有个；同样的可算出只能被7整除的有个；只能被11整除的有个．共有个．‎ 因此1到385中不能被5或7或11整除的数有个，即最简真分数有240个．‎ 如果有一个最简真分数为，则必有一个最简真分数为与之对应，这一对的和为1．因此240个最简真分数的和为．‎ ‎【答案】120；‎ 【例1】 某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6个点A、B、C、A1、B1、C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有 种（用数字作答）‎ ‎【考点】基本计数原理的综合应用 ‎【难度】4星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2018年，重庆高考 ‎【解析】同样可看成对6个点进行4种颜色的涂色，同一线段两端不同色，‎ 每种颜色至少有一种．‎ 首先对A涂色，共有4种可能，然后B有3种，C有2种，已经用了3种颜色，因为每种颜色都至少有一个，所以 当涂第4种颜色时，有两种颜色可选择（A或C的颜色）‎ ‎①与A同色，此时只能选B的颜色，只有1种；‎ ‎②与C同色，此时有2种选择（A或B的颜色）‎ 故共有种方法．‎ 同样的，当或涂第4种颜色时，也各有种 因此总方法数是．‎ ‎【答案】216；‎ 【例2】 解方程：‎ ‎【考点】排列数组合数的计算与证明 ‎【难度】2星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】原方程可化为 整理得 解得或（不合题意舍去）．‎ 经检验是原方程的根．（应强调解组合数方程要验根）‎ 【例1】 解不等式：．‎ ‎【考点】排列数组合数的计算与证明 ‎【难度】2星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】由题意得：，解得．‎ 又，且，‎ ‎∴，又，‎ ‎∴或，‎ ‎∴不等式的解集为．‎ 【例2】 设表示不超过的最大整数（如，），对于给定的，定义，，则当时，函数的值域是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【考点】排列数组合数的计算与证明 ‎【难度】4星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】2018年，湖南高考 ‎【解析】当时，；‎ 当时，．‎ ‎【答案】D；‎ 【例3】 已知，求的值．‎ ‎【考点】排列数组合数的计算与证明 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】由已知有．根据组合数性质：‎ ‎，．‎ ‎∴原式化简为．‎ 前半部分可得或．‎ 后半不等式可得．‎ 【例1】 若，则 ‎ ‎【考点】排列数组合数的计算与证明 ‎【难度】2星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】解出，则．‎ 【例2】 证明：．‎ ‎【考点】排列数组合数的计算与证明 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】容易证明，于是有 而．‎ 【例3】 证明：．（其中）‎ ‎【考点】排列数组合数的计算与证明 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】设袋中有个球，其中红球个，白球个，‎ 现从中任取个，共有种不同的取法；‎ 另一方面，用分类的方法考虑这个问题，可分成类；第一类，个红球，个白球；第二类，个红球，个白球；第三类，个红球，个白球；；第类，个红球，个白球．于是取法总数为 ‎．‎ 以上两种算法结果应是相等的，∴．‎ 【例1】 解方程 ‎【考点】排列数组合数的计算与证明 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】由组合数性质2，原方程变为．‎ ‎∴．‎ 即．‎ 化简得，解出或（舍弃）．‎ 【例2】 确定函数的单调区间．‎ ‎【考点】排列数组合数的计算与证明 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】，先求导数，得．‎ 令，解得或．‎ 因此，当时，函数为增函数，当时，函数也为增函数．‎ 令，解得，‎ 因此，当时，函数为减函数．‎ ‎∴函数的增区间为；减区间为．‎ 【例3】 规定，其中，为正整数，且，这是排列数（是正整数，且）的一种推广．‎ ‎⑴求的值；‎ ‎⑵排列数的两个性质：①，②（其中是正整数）．是否都能推广到（，是正整数）的情形?若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由．‎ ‎【考点】排列数组合数的计算与证明 ‎【难度】4星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】⑴；‎ ‎⑵性质①、②均可推广，推广的形式分别是 ‎①，②（，）．‎ 下面证明①②式的推广式均成立：‎ 事实上，在①中，当时，左边，右边，等式成立；‎ 当时，‎ 左边，‎ 因此，①成立；‎ 在②中，当时，左边右边，等式成立；‎ 当时，左边 右边，‎ 因此②（，）成立．‎ 【例1】 一条长椅上有7个座位，4人坐，要求3个空位中，有2个空位相邻，另一个空位与2个相邻位不相邻，共有几种坐法？‎ ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】分析：对于空位，我们可以当成特殊元素对待，‎ 设空座依次编号为1、2、3、4、5、6、7．先选定两个空位，可以1、2号位，也可以在2、3号位……共有六种可能，再安排另一空位，此时需看到，如果空位在1、2号位，则另一空位可以在4、5、6、7号位，有4种可能，相邻空位在6、7号位，亦如此．如果相邻位在2、3号位，另一空位可以在5、6、7号位，只有3种可能，相邻空位在3、4号，4、5号，5、6号亦如此，所以必须就两相邻空位的位置进行分类．本题的另一考虑是，对于两相邻空位可以用合并法看成一个元素与另一空位插入已坐人的4个座位之间，用插空法处理它们的不相邻．‎ 解析：解法1：就两相邻空位的位置分类：‎ 若两相邻空位在1、2或6、7，共有（种）坐法．‎ 若两相邻空位在2、3，3、4，4、5或5、6，共有（种）不同坐法，所以所有坐法总数为（种）．‎ 解法2：本题还可采用间接法，逆向考虑在所有坐法中去掉3个空位全不相邻或全部相邻的情况，4个人任意坐到7个座位上，共有 种坐法，三个空位全相邻可以用合并法，直接将三个空位看成一个元素与其它座位一起排列，共有种不同方法．三个空位全不相邻仍用插空法，但三个空位不须排列，直接插入4个人的5个间隙中，有种不同方法，所以，所有满足条件的不同坐法种数为（种）．‎ ‎【答案】480；‎ 【例1】 位男生和位女生共位同学站成一排，若男生甲不站两端，位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】2星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】2009年，四川高考 ‎【解析】位同学站成一排，位女生中有且只有两位女生相邻的排法有 种，其中男生甲站两端的有种，所求排法有．‎ 或由题意有．‎ ‎【答案】B；‎ 【例2】 在的任一排列中，使相邻两数都互质的排列方式共有（ ）种．‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】5星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】2018年，四川联赛 ‎【解析】先让数字、、、作全排列，有种；再排数字，‎ 由于数字不与相邻，在排好的排列中，、、、之间以及首末位共有个空隙，除开的左右两个空隙，还有个空隙可以排数字，故数字有种排法；最后排数字、，在剩下的个空隙中，排上数字、，共有种排法．因此，共有种．‎ ‎【答案】C；‎ 【例3】 从集合与中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．每排中字母和数字至多只能出现一个的不同排法种数是_________．（用数字作答）‎ ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】分三种情况：情况1．不含、的排列：；‎ 情况2．、中只含一个元素的排列：；情况3．只含元素的排列：．‎ 综上符合题意的排法种数为．‎ 当然也可以用间接法，．‎ ‎【答案】5832；‎ 【例1】 个人坐在一排个座位上，问 ‎⑴ 空位不相邻的坐法有多少种?‎ ‎⑵ 个空位只有个相邻的坐法有多少种?‎ ‎⑶ 个空位至多有个相邻的坐法有多少种?‎ ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】个人排有种，人排好后包括两端共有个“间隔”可以插入空位．‎ ‎⑴ 空位不相邻相当于将个空位安插在上述个“间隔”中，有种插法，故空位不相邻的 坐法有种．‎ ‎⑵ 将相邻的个空位当作一个元素，另一空位当作另一个元素，往个“间隔”里插有种 插法，故个空位中只有个相邻的坐法有种．‎ ‎⑶ 个空位至多有个相邻的情况有三类：‎ ‎①个空位各不相邻有种；‎ ‎②个空位个相邻，另有个不相邻有种；‎ ‎③个空位分两组，每组都有个相邻，有种．‎ 【例2】 用这十个数字组成无重复数字的四位数，若千位数字与个位数字之差的绝对值是，则这样的四位数共有多少个？‎ ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】若千位数字与个位数字中有一个为，则另一个为，且只能在个位，‎ 在千位，这样的四位数有个．若千位与个位都不含有，则应为与，与，与，与，与，与，与，这样的四位数有个．‎ 因此共有个符合条件的四位数．‎ ‎【答案】840；‎ 【例1】 用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是__________（用数字作答）．‎ ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2018年，浙江高考 ‎【解析】先将3，5两个奇数排好，有种排法，再将4，6两个偶数插入3，5中，‎ 有种排法，最后将1，2当成一个整体插入5个空位中，所以这样的六位数的个数是．‎ ‎【答案】40；‎ 【例2】 求无重复数字的六位数中，能被整除的数有______个．‎ ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】因为能被3整除的数，它的各位数字之和能被3整除，‎ 所以将0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字按被3除所得的余数分成四类，并将每一类所选取的个数列表如下：‎ 组别 各组中所选数个数 ‎1、4、7‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎2、5、8‎ ‎3‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎3、6、9‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ 前四类的6位数个数为，‎ 后四类的6位数个数为．‎ 共有个．‎ ‎【答案】46800‎ 【例3】 在由数字组成的所有没有重复数字的位数中，大于且小于的数共有（ ）个 A．个　　　　　B．个　　　　C．个　　　D．个 ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】3星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】无 ‎【解析】法一：（直接法）‎ 当首位排，次位排时，有种；次位排、时有种，共计种；‎ 当首位排，有种，共计种；‎ 当首位排，次位排时，有种；次位排、时有种，共计种；‎ 以上总计种．‎ 法二：（间接法）‎ 不作限定时有种；‎ 当首位排或时，各有种，共计种不满足要求；‎ 当首位排，次位排时，有种；而次位排时有种，共计种不满足要求；‎ 当首位排，次位排时，有种；而次位排时有种，共计种不满足要求；‎ 因此共有种排法，即个数．‎ ‎【答案】C；‎ 【例1】 有6本不同的书 ‎⑴甲、乙、丙3人每人2本，有多少种不同的分法？‎ ‎⑵分成3堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？‎ ‎⑶分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？‎ ‎⑷分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少不同的分配方法？‎ ‎⑸分给甲1本、乙1本、丙4本，有多少种不同的分配方法？‎ ‎⑹分成3堆，有2堆各一本，另一堆4本，有多少种不同的分堆方法？‎ ‎⑺摆在3层书架上，每层2本，有多少种不同的摆法？‎ ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】2星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】⑴在6本书中，先取2本给甲，再从剩下的4本书中取2本给乙，‎ 最后2本给丙，‎ 共有（种）．这是均匀编号分组问题 ‎⑵6本书平均分成3堆，用⑴中方法重复了倍，故共有（种）．这是 均匀分组问题．‎ ‎⑶从6本书中，先取1本做1堆，再在剩下的5本中取2本做一堆，最后3本做一 堆，共有（种）． 这是非均匀分组问题 ‎⑷在⑶的分堆中，甲、乙、丙3人任取一堆，故共有（种）． ‎ 这是非均匀编号分组问题．‎ ‎⑸甲先取1本，乙在剩下的取1本，余下4本给丙，故共有（种）． 这 是部分均匀编号分组问题．‎ ‎⑹平均分堆要除以堆数的全排列数，不平均分堆则不除，故共有（种）．‎ 这是部分均匀分组问题．‎ ‎⑺本题即为6本书放在6个位置上，共有（种）．‎ 【例1】 把一同排6张座位编号为的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】2018年，湖北高考 ‎【解析】易知4个人获得电影票的张数只有这种可能，分情况讨论：‎ ‎⑴编号的票发给同一个人，则有3和4、4和5、5和6发给同一个人3种情况；‎ ‎⑵编号的票发给同一个人，则有4和5、5和6发给同一个人2种情况；‎ ‎⑶排除⑴⑵的情况只有1种可能：3和4、5和6分别发给同一个人．‎ 所以6张电影票分成有6种可能，故题目要求的不同分法数为种，选D．‎ ‎【答案】D 【例2】 将填入的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有（ ）‎ A．种 B．种 C．种 D．种 ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】3星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】2018年，全国高考 ‎【解析】若第一行填，下面填法有种，第一行有种填法，‎ 故总共的填法有种．‎ ‎【答案】B；‎ 【例3】 用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中的、、、四个小方格涂色（允许只用其中几种），使邻区（有公共边的小格）不同色，则不同的涂色方式种数为（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】5星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】2018年，江苏联赛 ‎【解析】如果四个小方格内只有两种颜色，则先选两色有种，‎ 相同颜色必须放在对角线上，一色选择对角有种选法，共计种；‎ 如果四个小方格内有三种颜色，选三色有种，其中哪一色重复用次有种选法，该色选择对角有种选法，另两色选位有种，共计种；‎ 四色全用有种（因、、、为固定位置），‎ 合计种．‎ ‎【答案】D；‎ 【例1】 如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色．要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）．‎ ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】2018年，天津高考 ‎【解析】①用2种颜色涂格子有种方法；‎ ‎②用3种颜色涂格子：‎ 最左边的格子有3种，第二格有2种（与第一格不同），第三格有2种（与第二格不同），第四格有2种（与第三格不同），共有种．但是这种方法可能只涂了2种颜色，只涂了2色的共有种．‎ 综合知共有种方法．‎ ‎【答案】390；‎ 【例2】 ‎7个人到7个地方去旅游，甲不去A地，乙不去B地，丙不去C地，丁不去D地，问：共有多少种旅游方案?‎ ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】4星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】方法一：‎ 用排除法，7个人分赴7个地方共有种可能．‎ ‎（1）若甲、乙、丙、丁4人同时都去各自不能去的地方旅游，而其余的人可以去余下的地方旅游的不同选法有种； ‎ ‎（2）若甲、乙、丙、丁中有3人同时去各自不能去的地方旅游，有 种，而4人中剩下1人旅游的地方是种，都选完后，再考虑无条件3人的旅游方法是种，所以共有种；‎ ‎（3）若甲、乙、丙、丁4人中有2人同时去各自不能去的地方旅游，有种，余下的5个人分赴5个不同的地方的方案有种，但是其中又包括了有条件限制的四人中的两人同时去各自不想去的地方共种，和这两人中有一人去了自己不能去的地方有种，所以共有种；‎ ‎（4）若甲、乙、丙、丁4人中只有1人去了自己不能去的地方旅游，有种方案，而余下的六个人的旅游方案仍与（3）想法一致，共有 种．‎ 所以满足题目情况的不同旅游方案共有种．‎ 方法二：‎ 设集合{7个人旅游的总方案}，{甲去不想去的地方的旅游方案}，{乙去不想去的地方的旅游方案}，{丙去不想去的地方的旅游方案}，{丁去不想去的地方的旅游方案}，则原题要求的就是，而 ‎，同样的易知，（），‎ ‎，，所以要求的方案总数是：‎ 种．‎ ‎【答案】2790‎ 【例1】 某幢楼从二楼到三楼的楼梯共级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用步走完，则上楼梯的方法有______种．‎ ‎【考点】排列组合问题的常用方法 ‎【难度】4星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】；从二楼到三楼用步走完，共走级，则必有步每步走两级，‎ 其余步每步级，‎ 因此共有种方法．‎ ‎【答案】35；‎ 【例2】 亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程有多少种？‎ ‎【考点】排列组合问题的常用方法 ‎【难度】4星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】设亚洲队队员为，欧洲队队员为，‎ 下标表示事先排列的出场顺序，若以依次被淘汰的队员为顺序．比赛过程转化为这个字母互相穿插的一个排列，最后是胜队中不被淘汰的队员和可能未参赛的队员，所以比赛过程可表示为个相同的白球和个相同黑球排列问题，比赛过程的总数为种．‎ ‎【答案】252‎ 【例1】 不定方程中不同的正整数解有 组，非负整数解有 组．‎ ‎【考点】排列组合问题的常用方法总结 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】相当于把100个1分给50个未知数，采用挡板法，‎ 于是所有的方法数为；‎ 非负整数解的问题，等价于 的非负整数解问题，等价于，的正整数解问题，一共有组．‎ ‎【答案】，；‎ 【例2】 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？‎ ‎【考点】排列组合问题的常用方法总结 ‎【难度】2星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】相当于在一个有10个位置的节目单中，有序插入2个歌唱节目，‎ 还剩余8个位置，由于剩余的8个节目的相对位置固定，故此时10个节目的位置确定．故所有的排法数为．‎ ‎【答案】90；‎ 【例3】 设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿轴跳动，每次向正方向或负方向跳动一个单位，经过次跳动质点落在点（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法种数为　　　　　 ．‎ ‎【考点】排列组合问题的常用方法 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】由题设知，质点向正方向跳动次，负方向跳动次，‎ 因此质点的运动方法种数为种．‎ ‎【答案】10；‎ 【例1】 在的边上有四点，边上有共个点，连结线段，如果其中两条线段不相交，则称之为一对“和睦线”，和睦线的对数共有：（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】排列组合问题的常用方法 ‎【难度】4星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】无 ‎【解析】A；上任意两点与上任两点恰好确定一对和睦线，共对，选A．‎ ‎【答案】A；‎ 【例2】 甲、乙、丙、丁、戊名学生进行讲笑话比赛，决出了第一到第五的名次，甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”．从这个回答分析，人的名次排列共有_______（用数字作答）种不同情况．‎ ‎【考点】排列组合问题的常用方法 ‎【难度】4星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】冠军可能是丙、丁、戊中的一个，有种可能；‎ 副班长（垫底的）除去冠军和乙外，也有种情况；‎ 剩下的个人名次从第二到第四随便排列，有种，‎ 故共有种可能．‎ ‎【答案】54；‎ 【例3】 某人手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的2，3张为不同花色的A，有5次出牌机会，每次只能出一种点数的牌但张数不限，此人有多少种不同的出牌方法？‎ ‎【考点】排列组合问题的常用方法 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】分类讨论，由于情况太多，要做到不重不漏．‎ 出牌的方法可分为以下几类：‎ ‎⑴5张牌全部分开出，有种方法； ‎ ‎⑵2张2一起出，3张A一起出，有种方法； ‎ ‎⑶2张2一起出，3张A分开出，有种方法； ‎ ‎⑷2张2一起出，3张A分两次出，有种方法； ‎ ‎⑸2张2分开出，3张A一起出，有种方法； ‎ ‎⑹2张2分开出，3张A分两次出，有种方法； ‎ 因此，共有不同的出牌方法种．‎ ‎【答案】860；‎ 【例1】 设集合，选择的两个非空子集和，要使中最小的数大于中最大的数，则不同的选择方法共有（ ）‎ A．50种 B．49种 C．48种 D．47种 ‎【考点】排列组合问题的常用方法 ‎【难度】4星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】2018年，全国高考 ‎【解析】不妨设中最小的元素为，于是为的一个非空子集，‎ 一共种选法，中元素除外为的一个子集，共种选法．于是当中最小元素为时，不同的选择方法数为．‎ 于是所有的取法数为 ‎【答案】B 【例2】 某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有 ‎ ‎【考点】排列组合问题的常用方法总结 ‎【难度】2星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】注意连续参观2天，即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体 来选有其余的就是19所学校选28天进行排列．‎ ‎【答案】‎ 【例3】 用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的七位数中，‎ ‎⑴若偶数2，4，6次序一定，有多少个？‎ ‎⑵若偶数2，4，6次序一定，奇数1，3，5，7的次序也一定的有多少个？ ‎ ‎【考点】排列组合问题的常用方法总结 ‎【难度】2星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】⑴；⑵‎ 【例4】 一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种不同的走法？‎ ‎【考点】排列组合问题的常用方法总结 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】设上级楼梯的走法有种，易知，当时，‎ 上级楼梯的走法可分两类：第一类：是最后一步跨一级，有种走法，第二类是最后一步跨两级，有种走法，由加法原理知：，据此，，，如是很容易计算出上10级台阶的走法数为89．‎ ‎【答案】89；‎ 【例1】 是集合到集合的映射，是集合到集合的映射，则不同的映射的个数是多少？有多少？满足的映射有多少？满足的映射对有多少？‎ ‎【考点】排列组合问题的常用方法 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】：，中每个元素的象有三种选择，故共有不同的映射的个数为 个；‎ 同理的个数有．‎ ‎，故满足的映射有：‎ 个．‎ ‎，对于中的任意一个元素，经映射后的像有种选择，要满足，对来说，有互不相等，否则有，，中有相等的值出现，不符合题意；从而满足的共有个；‎ 当确定后，在的值域上的函数值是唯一的，需满足，不属于的值域的数在的映射下的象任意，故对于每一个，有个与之对应，使．故满足条件的映射对共有个．‎ 【例2】 排球单循坏赛，胜者得分，负者分，南方球队比北方球队多支，南方球队总得分是北方球队的倍，‎ 设北方的球队数为．‎ ‎⑴试求北方球队的总得分以及北方球队之间比赛的总得分；‎ ‎⑵证明：或；‎ ‎⑶证明：冠军是一支南方球队．‎ ‎【考点】排列组合问题的常用方法 ‎【难度】4星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】⑴由题设南方球队有支，所有球队总得分为．‎ 北方球队总得分为，北方球队之间比赛总得分．‎ ‎⑵显然，解得．‎ 又因为，经验算只有或满足要求．‎ ‎⑶当时，北方球队总得分为，北方球队之间得分为，从而北方球队胜南方球队所获得的分数和为，因此北方球队的最高得分为．‎ 又因为南方支球队总得分为，故南方球队中至少有一支得分超过分，因而冠军为南方球队．‎ 当时，类似的，北方球队总得分为，北方球队之间得分为，北方球队胜南方球队所获得的分数和为，因此北方球队的最高得分为．‎ 而南方支球队总得分为，故南方球队中至少有一支得分超过分，因而冠军必为南方球队．‎ 【例1】 甲、乙、丙人站到共有级的台阶上，若每级台阶最多站人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答）．‎ ‎【考点】排列组合问题的常用方法 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2009年，浙江高考 ‎【解析】每个人都有种站法，根据乘法原理知共有种站法，‎ 减去不符合条件的，‎ 即三个人站在同一级台阶上的种，共有种．‎ ‎【答案】336；‎