2014年高考数学（理科）真题分类汇编N单元 选修4系列

2014年高考数学（理科）真题分类汇编N单元 选修4系列

‎ 数 学 N单元 选修4系列 ‎ N1 选修4-1 几何证明选讲 ‎15．N1[2014·广东卷] (几何证明选讲选做题)如图13所示，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB＝2AE，AC与DE交于点F，则＝________．‎ 图13‎ ‎15．9　[解析] 本题考查相似三角形的性质定理，面积比等于相似比的平方．‎ ‎∵EB＝2AE，∴AE＝AB＝CD.‎ 又∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴△AEF∽△CDF，∴＝＝9.‎ ‎15．N1[2014·湖北卷] (选修41：几何证明选讲)‎ 如图13，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点，若QC＝1，CD＝3，则PB＝________．‎ 图13‎ ‎15．4　[解析] 由切线长定理得QA2＝QC·QD＝1×(1＋3)＝4，解得QA＝2.故PB＝PA＝2QA＝4.‎ ‎12．N1[2014·湖南卷] 如图13所示，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB＝，BC＝2，则⊙O的半径等于________．‎ 图13‎ ‎12.　[解析] 设圆的半径为r，记AO与BC交于点D，依题可知AD＝1.由相交弦定理可得1×(2r－1)＝×，解得r＝.‎ ‎22．N1[2014·辽宁卷] 选修41：几何证明选讲 如图17所示，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上—点且PG＝PD ‎，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.‎ ‎(1)求证：AB为圆的直径；‎ ‎(2)若AC＝BD，求证：AB＝ED.‎ 图17‎ ‎22．证明：(1)因为PD＝PG，所以∠PDG＝∠PGD.‎ 由于PD为切线，故∠PDA＝∠DBA，‎ 又因为∠PGD＝∠EGA，所以∠DBA＝∠EGA，‎ 所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD，‎ 从而∠BDA＝∠PFA.‎ 又AF⊥EP，所以∠PFA＝90°，所以∠BDA＝90°，故AB为圆的直径．‎ ‎(2)连接BC，DC.‎ 由于AB是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°.‎ 在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，从而得Rt△BDA≌Rt△ACB，‎ 于是∠DAB＝∠CBA.‎ 又因为∠DCB＝∠DAB，所以∠DCB＝∠CBA，故DC∥AB.‎ 因为AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE为直角，‎ 所以ED为直径，又由(1)知AB为圆的直径，所以ED＝AB.‎ ‎22．N1[2014·新课标全国卷Ⅰ] 选修41：几何证明选讲 如图16，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.‎ 图16‎ ‎(1)证明：∠D＝∠E；‎ ‎(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．‎ ‎22．证明：(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE.由已知得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.‎ ‎(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上．‎ 又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD，‎ 所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.‎ 又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E，由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．‎ ‎22．N1[2014·新课标全国卷Ⅱ] 选修41：几何证明选讲 如图14，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：‎ ‎(1)BE＝EC；‎ ‎(2)AD·DE＝2PB2.‎ 图14‎ ‎22．证明：(1)连接AB，AC.由题设知PA＝PD，‎ 故∠PAD＝∠PDA.‎ 因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，‎ ‎∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，‎ ‎∠DCA＝∠PAB，‎ 所以∠DAC＝∠BAD，从而BE＝EC.‎ 因此BE＝EC.‎ ‎(2)由切割线定理得PA2＝PB·PC.‎ 因为PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB.‎ 由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，‎ 所以AD·DE＝2PB2.‎ ‎15．[2014·陕西卷] ‎ 图13‎ B．N1(几何证明选做题)如图13，△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC＝2AE，则EF＝________．‎ ‎15． B．3　 [解析] B．由题意，可知∠AEF＝∠ACB，又∠A＝∠A，所以△AEF∽ACB，所以＝.因为AC＝2AE，BC＝6，所以EF＝3.‎ ‎6．N1[2014·天津卷] ‎ 图12‎ 如图12所示，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：‎ ‎①BD平分∠CBF；‎ ‎②FB2＝FD·FA；‎ ‎③AE·CE＝BE·DE；‎ ‎④AF·BD＝AB·BF.‎ 则所有正确结论的序号是(　　)‎ A．①② B．③④ ‎ C．①②③ D．①②④‎ ‎6．D　[解析] 如图所示，∵∠1＝∠3，∠2＝∠4，且∠1＝∠2，∴∠4＝∠3，∴BD平分∠CBF，∴△ABF∽△BDF.‎ ‎∵＝，∴AB·BF＝AF·BD.∵＝，∴BF2＝AF·DF.故①②④正确．‎ ‎14．N1[2014·重庆卷] 过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点)，再作割线PBC依次交圆于B，C.若PA＝6，AC＝8，BC＝9，则AB＝________．‎ ‎14．4　[解析] 根据题意，作出图形如图所示，由切割线定理，得PA2＝PB·PC＝PB·(PB＋BC)，即36＝PB·(PB＋9)∴PB＝3，∴PC＝12.由弦切角定理知∠PAB＝∠PCA，又∠APB＝∠CPA，∴△PAB∽△PCA，∴＝，即AB＝＝＝4.‎ N2 选修4-2 矩阵 ‎21．N2[2014·福建卷] (Ⅰ)选修42：矩阵与变换 已知矩阵A的逆矩阵．‎ ‎(1)求矩阵A；‎ ‎(2)求矩阵A－1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．‎ ‎21. (Ⅰ)解：(1)因为矩阵A是矩阵A－1的逆矩阵，且＝2×2－1×1＝3≠0，‎ 所以A＝＝ .‎ ‎(2)矩阵A－1的特征多项式为f(λ)＝＝λ2－4λ＋3＝(λ－1)(λ－3)，令f(λ)＝0，得矩阵A－1的特征值为λ1＝1或λ2＝3，所以ξ1＝)是矩阵A－1的属于特征值λ1＝1的一个特征向量，ξ2＝)是矩阵A－1的属于特征值λ2＝3的一个特征向量．‎ N3 选修4-4 参数与参数方程 ‎13．N3[2014·天津卷] 在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a相交于A，B两点．若△AOB是等边三角形，则a的值为________．‎ ‎13．3　[解析] 将ρ＝4sin θ与ρsin θ＝a转化为直角坐标方程分别为x2＋(y－2)2＝4与y＝a.联立得x2＝－a2＋‎4a，且00，b>0，且＋＝.‎ ‎(1)求a3＋b3的最小值．‎ ‎(2)是否存在a，b，使得‎2a＋3b＝6？并说明理由.24.解：(1)由＝＋≥，得ab≥2，当且仅当a＝b＝时等号成立．‎ 故a3＋b3≥2≥4 ，当且仅当a＝b＝ 时等号成立．‎ 所以a3＋b3的最小值为4.‎ ‎(2)由(1)知，‎2a＋3b≥2≥4.‎ 由于4>6，从而不存在a，b，使‎2a＋3b＝6.‎ ‎24．N4[2014·新课标全国卷Ⅱ] 选修45：不等式选讲 设函数f(x)＝＋|x－a|(a＞0)．‎ ‎(1)证明：f(x)≥2；‎ ‎(2)若f(3)＜5，求a的取值范围．‎ ‎24．解：(1)证明：由a>0，有f(x)＝＋|x－a|≥＝＋a≥2，所以f(x)≥2.‎ ‎(2)f(3)＝＋|3－a|.‎ 当a>3时，f(3)＝a＋，‎ 由f(3)<5得32时，2(x－2)－(x＋1)＞3，得x>8，此时x>8.‎ 综上所述，原不等式的解集是(－∞，0)∪(8，＋∞)．‎ ‎(2)证明：由abc＝a＋b＋c，得＋＋＝1.‎ 由柯西不等式，得 ‎(ab＋4bc＋‎9ac)≥(1＋2＋3)2，‎ 所以ab＋4bc＋‎9ac≥36，当且仅当a＝2，b＝3，c＝1时，等号成立．‎ ‎16．N4[2014·重庆卷] 若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．‎ ‎16.　[解析] 令f(x)＝|2x－1|＋|x＋2|，则①当x<－2时，f(x)＝－2x＋1－x－2＝－3x－1>5；②当－2≤x≤时，f(x)＝－2x＋1＋x＋2＝－x＋3，故≤f(x)≤5；③当x>时，f(x)＝2x－1＋x＋2＝3x＋1>.综合①②③可知f(x)≥，所以要使不等式恒成立，则需a2＋a＋2≤，解得－1≤a≤.‎ ‎1．[2014·长沙模拟] 已知点P所在曲线的极坐标方程为ρ＝2cos θ，点Q所在曲线的参数方程为(t为参数)，则|PQ|的最小值是(　　)‎ A．2 B.＋1‎ C．1 D.－1‎ ‎1．D　[解析] 易知点P在圆x2＋y2－2x＝0上，圆心为(1，0)，半径为1，点Q在直线2x－y＋2＝0上，故|PQ|的最小值是－1＝－1.‎ ‎4．[2014·株洲模拟] 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴)中，直线C2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，则曲线C1与C2的交点的个数为________．‎ ‎4．2　[解析] 由题意，曲线C1的参数方程(α为参数)可化为一般方程＋＝1，直线C2的极坐标方程ρ·(cos θ－sin θ)＋1＝0可化为普通方程x－y＋1＝0.联立两个方程，消去y可得＋＝1，即7x2＋8x－8＝0.因为Δ＝82＋4×7×8>0，所以直线与椭圆相交，且有两个交点．‎ ‎5．[2014·湖南长郡中学月考] 在极坐标系中，圆C1的方程为ρ＝4 cos，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，已知圆C2的参数方程为(a＞0，θ为参数)．若圆C1与圆C2外切，则实数a＝____________．‎ ‎5.　[解析] 依题意，ρ＝4 cosθ－＝4cos θ＋4sin θ，化成普通方程为x2＋y2＝4x＋4y，即(x－2)2＋(y－2)2＝8，即该圆的圆心为C1(2，2)，半径r1＝2 .将(a>0，θ为参数)化成普通方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝a2，即圆心为C2(－1，－1)，半径r2＝a.由丙点间两圆外切可得|C‎1C2|＝3 ＝2 ＋a，所以a＝.‎ ‎6．[2014·衡阳模拟] 已知曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ.若以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，则曲线C的参数方程为________．‎ ‎6.(θ为参数)　[解析] 由曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ，可得其普通方程为x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4，所以曲线C的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎7．[2014·湖南雅礼中学月考] 已知极坐标系下曲线ρ＝4sin θ表示圆，则点A到圆心的距离为____________．‎ ‎7．2 　[解析] 将曲线ρ＝4sin θ化成普通方程为x2＋y2＝4y，则该圆的圆心为(0，2)‎ ‎，而点A的直角坐标为(2 ，2)，由两点间距离公式可得d＝＝2 .‎ ‎8．[2014·湖南十三校联考] 以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，若直线l经过圆C的圆心，则常数a的值为________．‎ ‎8．1　[解析] 将直线l的参数方程(t为参数)化为普通方程为y＝x－a，将圆C的极坐标方程ρ＝2cos θ化为普通方程为x2＋y2＝2x，则圆心为(1，0)，代入直线y＝x－a可得a＝1.‎ ‎9．[2014·湖南师大附中月考] 在极坐标系中，已知点A的极坐标为(2，π)，直线l的极坐标方程为ρsinθ＋＝，则点A到直线l的距离是____________．‎ ‎9．2 　[解析] 由题意，直线l的极坐标方程为ρsin θcos＋cos θsin ＝，即ρsin θ＋ρcos θ＝2，则直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0.又点A的直角坐标为(－2，0)，所以点A到直线l的距离d＝＝2 .‎