2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第四章　4 第4讲　简单的三角恒等变换

2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第四章　4 第4讲　简单的三角恒等变换

第4讲　简单的三角恒等变换 ‎　　　　　　三角函数式的化简 ‎ 化简：(1)(0<θ<π)；‎ ‎(2)·.‎ ‎【解】　(1)原式＝‎ ‎＝ ‎＝.‎ 因为0<θ<π，所以0<<，所以cos >0.‎ 所以原式＝－cos θ.‎ ‎(2)原式＝· ‎＝· ‎＝· ‎＝.‎ 三角函数式的化简要遵循“三看”原则 ‎(1)一看“角”，这是最重要的一个环节，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；‎ ‎(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；‎ ‎(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等．　 ‎ ‎1．(2020·义乌模拟)化简：＝________．‎ 解析：＝＝‎ ＝4sin α.‎ 答案：4sin α ‎2．化简：.‎ 解：原式＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝cos 2x.‎ ‎　　　　　　三角恒等式的证明 ‎ 求证：‎ ‎(1)cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos 2Acos 2B；‎ ‎(2)cos2θ(1－tan2θ)＝cos 2θ.‎ ‎【证明】　(1)因为左边＝－ ‎＝ ‎＝(cos 2Acos 2B－sin 2Asin 2B＋cos 2Acos 2B＋sin 2Asin 2B)‎ ‎＝cos 2Acos 2B＝右边，‎ 所以等式成立．‎ ‎(2)法一：因为左边＝cos2θ ‎＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ＝右边，‎ 所以等式成立．‎ 法二：因为右边＝cos 2θ＝cos2θ－sin2θ ‎＝cos2θ＝cos2θ(1－tan2θ)＝左边，‎ 所以等式成立．‎ 证明三角恒等式实际上就是有目的地化繁为简，最后左右归一．常用方法：‎ ‎(1)从左边推到右边；‎ ‎(2)从右边推到左边；‎ ‎(3)找中间量，常用技巧：切化弦，降次消元，拆项拆角，“1”的代换以及公式变形等．指导思想是统一三角函数名称，统一为相同的角．　 ‎ ‎　设α，β是锐角，sin α＝，cos(α＋β)＝－，求证：β＝.　‎ 证明：由0<α<，0<β<，‎ 知0<α＋β<π，‎ 又cos(α＋β)＝－，‎ 故sin(α＋β)＝ ‎＝ ＝.‎ 由sin α＝，可知 cos α＝＝＝，‎ 所以sin β＝sin[(α＋β)－α]‎ ‎＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ‎＝×－×＝，‎ 所以β＝.‎ ‎　　　　　　三角函数式的求值(高频考点)‎ 三角函数式的求值在高考中主要以选择题形式出现，有时以解答题某一步出现，试题难度较小．主要命题角度有：‎ ‎(1)给角求值；‎ ‎(2)给值求值；‎ ‎(3)给值求角．‎ 角度一　给角求值 ‎ 的值是________．‎ ‎【解析】　依题意得＝‎ ＝＝＝2.‎ ‎【答案】　2‎ 角度二　给值求值 ‎ (2020·金华模拟)已知θ∈，且sin θ－cos θ＝－，则等于(　　)‎ A.　　　　　　　　　　 B. C. D. ‎【解析】　由sin θ－cos θ＝－得sin＝，‎ 因为θ∈，所以－θ∈，‎ 所以cos＝，‎ 所以＝＝ ‎＝＝2cos＝.‎ ‎【答案】　D 角度三　给值求角 ‎ 已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且α，β∈，则α＋β＝(　　)‎ A.　　　　　　　 B.或－ C．－或 D．－ ‎【解析】　由题意得tan α＋tan β＝－3<0，tan αtan β＝4>0，所以tan(α＋β)＝＝，且tan α<0，tan β<0，又由α，β∈得α，β∈，所以α＋β∈(－π，0)，所以α＋β＝－.‎ ‎【答案】　D 三角函数求值的3种情况 ‎　 ‎ ‎　的值为(　　)‎ A．－　　　　　　　　　 B. C. D．－ 解析：选B.＝ ‎＝＝＝.‎ ‎　　　　　　三角恒等变换的简单应用 ‎ 如图，现要在一块半径为1 m，圆心角为的扇形白铁片AOB上剪出一个平行四边形MNPQ，使点P在弧AB上，点Q在OA上，点M，N在OB上，设∠BOP＝θ，平行四边形MNPQ的面积为S.‎ ‎(1)求S关于θ的函数关系式；‎ ‎(2)求S的最大值及相应的θ角．‎ ‎【解】　(1)分别过P，Q作PD⊥OB于点D，QE⊥OB于点E，则四边形QEDP为矩形．‎ 由扇形半径为1 m，得PD＝sin θ，OD＝cos θ.‎ 在Rt△OEQ中，OE＝QE＝PD，‎ MN＝QP＝DE＝OD－OE＝cos θ－sin θ，‎ S＝MN·PD＝·sin θ ‎＝sin θcos θ－sin2θ，θ∈.‎ ‎(2)S＝sin 2θ－(1－cos 2θ)‎ ‎＝sin 2θ＋cos 2θ－＝sin－，‎ 因为θ∈，‎ 所以2θ＋∈，sin∈.‎ 当θ＝时，Smax＝(m2)．‎ 利用三角恒等变换解决实际问题的思路 ‎(1)结合具体图形引进角为参数，利用三角函数的有关公式进行化简，解决最优化问题．　 ‎ ‎(2)解决三角函数应用问题和解决一般应用性问题一样，先建模，再讨论变量的范围，最后作出结论并回答问题．‎ ‎[提醒]　注意恰当选择自变量，并利用解直角三角形等知识表示有关线段．‎ ‎1．(2020·杭州市高三模拟)函数f(x)＝3sin cos ＋4cos2(x∈R)的最大值等于(　　)‎ A．5 B. C. D．2‎ 解析：选B.因为f(x)＝3sin cos ＋4cos2 ‎＝sin x＋2cos x＋2＝＋2‎ ‎＝sin(x＋φ)＋2，‎ 其中sin φ＝，cos φ＝，‎ 所以函数f(x)的最大值为.‎ ‎2.如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20 m，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？‎ 解：连接OB，设∠AOB＝θ，‎ 则AB＝OBsin θ＝20sin θ，OA＝OBcos θ＝20cos θ，且θ∈.‎ 因为A，D关于原点对称，‎ 所以AD＝2OA＝40cos θ.‎ 设矩形ABCD的面积为S，则 S＝AD·AB＝40cos θ·20sin θ ‎＝400sin 2θ.因为θ∈，‎ 所以当sin 2θ＝1，‎ 即θ＝时，Smax＝400(m2)．‎ 此时AO＝DO＝10(m)．‎ 故当A、D距离圆心O为10 m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400 m2.‎ ‎[基础题组练]‎ ‎1．计算sin 15°sin 30°sin 75°的值等于(　　)‎ A.　　　 　B. C.　　　 　D. 解析：选C.原式＝sin 15°cos 15°‎ ‎＝×2sin 15°cos 15°‎ ‎＝sin 30°＝.‎ ‎2．已知f(x)＝2tan x－，则f的值为(　　)‎ A．4 B. C．4 D．8‎ 解析：选D.因为f(x)＝2＝2×＝2×＝，所以f＝＝8.‎ ‎3．若sin＝，则cos等于(　　)‎ A. B．－ C. D．－ 解析：选D.因为sin＝，‎ cos＝sin 2α＝－cos ‎＝－cos 2 ‎＝－ ‎＝2sin2－1＝－.‎ ‎4．已知α，β均为锐角，(1＋tan α)(1＋tan β)＝2，则α＋β为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选B.由(1＋tan α)(1＋tan β)＝2得 tan α＋tan β＝1－tan αtan β，‎ 所以tan(α＋β)＝＝＝1.‎ 因为0<α，β<，所以0<α＋β<π，所以α＋β＝.‎ ‎5．(2020·台州质检)4sin 80°－等于(　　)‎ A. B．－ C. D．2－3‎ 解析：选B.依题意，因为sin 80°＝cos 10°，‎ 所以4sin 80°－ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝－，选B.‎ ‎6．已知cos＋sin θ＝，则sin的值是(　　)‎ A.　　　　　　　　　　　 B. C．－ D．－ 解析：选C.因为cos＋sin θ＝，所以cos θ＋sin θ＝，即＝，‎ 即sin＝，所以sin＝，‎ 所以sin＝－sin＝－.故选C.‎ ‎7.－＝________．‎ 解析：原式＝ ‎＝＝tan 30°＝.‎ 答案： ‎8．(2020·温州中学高三模考)已知向量a＝(sin α＋cos α，1)，b＝(1，－2cos α)，a·b＝，α∈，则sin α＝________，cos α＝________．‎ 解析：由题设可得sin α＋cos α－2cos α＝，即sin α－cos α＝，联立sin2α＋cos2α＝1，由此可得sin α＝，cos α＝.‎ 答案：　 ‎9．已知＝，tan(α－β)＝，则tan β＝________．‎ 解析：因为＝，所以＝，＝1，所以tan α＝1，又因为tan(α－β)＝，‎ 所以tan β＝tan[α－(α－β)]＝＝＝.‎ 答案： ‎10．(2020·浙江省重点中学高三月考)请利用图1、图2中大矩形内部阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：________________________．‎ 解析：两个图的阴影部分面积相等，题图1中大矩形面积为S＝(cos α＋cos β)(sin α＋sin β)＝sin(α＋β)＋sin αcos α＋sin βcos β，减去四个小直角三角形的面积得S1＝S－sin αcos α－sin βcos β＝sin(α＋β)，题图2中阴影部分面积为S2＝sin αcos β＋cos αsin β.‎ 答案：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ‎11．已知tan α＝－，cos β＝，α∈，β∈，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．‎ 解：由cos β＝，β∈，‎ 得sin β＝，tan β＝2.‎ 所以tan(α＋β)＝ ‎＝＝1.‎ 因为α∈，β∈，‎ 所以<α＋β<，‎ 所以α＋β＝.‎ ‎12．已知tan 2θ＝－2，π<2θ<2π，求的值．‎ 解：原式＝＝，‎ 又＋＝，‎ 所以原式＝＝tan＝.‎ 因为tan 2θ＝＝－2，‎ 解得tan θ＝－或tan θ＝，‎ 又π<2θ<2π，所以<θ<π，所以tan θ＝－，‎ 所以原式＝＝3＋2.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．已知sin α＝且α为第二象限角，则tan＝(　　)‎ A．－ B．－ C．－ D．－ 解析：选D.由题意得cos α＝－，则sin 2α＝－，cos 2α＝2cos2α－1＝，所以tan 2α＝－，所以tan＝＝＝－.‎ ‎2．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割均为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°，若m2＋n＝4，则＝(　　)‎ A．8 B．4‎ C．2 D．1‎ 解析：选C.因为m＝2sin 18°，‎ 若m2＋n＝4，‎ 则n＝4－m2＝4－4sin218°＝4(1－sin218°)＝4cos218°，‎ 所以＝＝＝＝2.‎ ‎3．(2020·台州市书生中学检测)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知a－b＝2，c＝4，sin A＝2sin B，则△ABC的面积为________，sin(2A－B)＝________．‎ 解析：由sin A＝2sin B得，a＝2b，结合已知可知，a＝c＝4，b＝2，则cos A＝，sin A＝，‎ S＝bcsin A＝，‎ cos B＝＝，‎ sin B＝，‎ sin(2A－B)＝sin 2Acos B－cos 2Asin B ‎＝2sin Acos Acos B－(cos2A－sin2A)sin B ‎＝2×××－× ‎＝.‎ 答案：　 ‎4．设α∈，β∈，且5sin α＋5cos α＝8，sin β＋cos β＝2，则cos(α＋β)的值为________．　‎ 解析：由5sin α＋5cos α＝8，得sin＝，‎ 因为α∈，α＋∈，‎ 所以cos＝.‎ 又β∈，β＋∈，由已知得 sin＝.‎ 所以cos＝－.‎ 所以cos(α＋β)＝sin ‎＝sin ‎＝sincos＋cossin ‎＝－.‎ 答案：－ ‎5．已知sin β＝msin(2α＋β)，求证：tan(α＋β)＝·tan α.‎ 证明：因为sin β＝msin(2α＋β)，‎ 所以sin[(α＋β)－α]＝msin[(α＋β)＋α]，‎ 所以sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ‎＝m[sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α]，‎ 所以(1－m)sin(α＋β)cos α＝(1＋m)cos(α＋β)sin α，‎ 所以tan(α＋β)＝·tan α，所以原式成立．‎ ‎6．广告公司为某游乐场设计某项设施的宣传画，根据该设施的外观，设计成的平面图由半径为2 m的扇形AOB和三角区域BCO构成，其中C，O，A在一条直线上，∠ACB＝，记该设施平面图的面积为S(x)m2，∠AOB＝x rad，其中

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