山西省太原市第五中学2020届高三数学（文）6月模拟试题（Word版附答案）

山西省太原市第五中学2020届高三数学（文）6月模拟试题（Word版附答案）

太原五中 2019-2020 学年度 6 月份月考试题（一） 高三数学（文） 第Ⅰ卷 （选择题 共 60 分） 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分，每小题只有一个正确答案） 1.设集合  2 0xA x    ，  2 1 0B x x   ，则 A B  （ ） A. 2,0 B. 1,0 C. 2,1 D. 1,1 2.若 2 1i iz   ，则 z  （ ） A.1 i B.1 i C. 1 i  D. 1 i  3.在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，下列命题正确的是（ ） A. AC 与 1B C 是相交直线且互相垂直； B. AC 与 1A D 是异面直线且互相垂直； C. 1BD 与 BC 是相交直线且互相垂直； D. AC 与 1BD 是异面直线且互相垂直 4.新冠肺炎疫情暴发以来，在以习近平同志为核心的党中央领导下，全党全军全国各族人民众志成城，共克 时艰，疫情防控取得了阶段性成效，彰显了中国特色社会主义制度的优越性，下面的图表给出了 4 月 18 日 至 5 月 5 日全国疫情每天新增病例的数据统计情况.（图表见下页）下列说法中不正确的是（ ） A.每天新增疑似病例的中位数为 2； B.在对新增确诊病例的统计中，样本容量为 18； C.每天新增确增与新增疑似病例之和不超过 20 例的天数为 13 天； D.在对新增确诊病例的统计中，样本是 4 月 18 日至 5 月 5 日. 5.在直角三角形 ABC 中， 2ACB   ， 2AC BC  ，点 P 是斜边 AB 上一点，且 2BP PA ，则 CP CA CP CB       （ ） A.-4 B-2 C.2 D.4 6.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ） A.14 B.15 C.16 D.17 7.设 a  、b  是两个非零向量，下列命题正确的是（ ） A.若 a b a b     ，则 a b  ； B.若 a b  ，则 a b a b     ； C.若 a b a b     ，则存在实数  ，使得 b a  ； D.若存在实数  ，使得 b a  ，则 a b a b     8.函数   | | 3 xef x x  的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 9.已知定义在 R 上的奇函数  f x 满足：函数  1f x  的图象关于 y 轴对称，当  0,1x 时，   2f x x  ， 则下列选项正确的是（ ） A.  f x 的图象关于 y 轴对称； B.  f x 的最小正周期为 2； C.当  2,3x 时，    22f x x  ； D.  f x 在 2, 1  上是减函数 10.已知函数    2 1sin 02f x x    的最小正周期为 ，若将其图象沿 x 轴向右平移  0a a  个单位， 所得图象关于 3x  对称，则实数 a 的最小值为（ ） A. 4  B. 3  C. 3 4  D. 11.已知抛物线  2: 2 0C y px p  ，过其焦点 F 的直线与 C 交于 A、B 两点，O 为坐标原点，记 AOB△ 的 面积为 S，且满足 3 23 2AB FB S  ，则 P=（ ） A. 1 2 B. 3 2 C.1 D.2 12.已知函数   xf x xe ，   lng x x x ，若    1 2 0f x g x t   ，则 1 2 lnt x x 的最大值为（ ） A. 1 e B. 2 e C. 2 1 e D. 2 4 e 第Ⅱ卷 （非选择题 共 90 分） 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13.函数   2 lnf x x x  在点   1, 1f 处的切线方程为________________. 14.若实数 x ， y 满足约束条件 2 2 2 0 1 0 y x y x y           ，则 2z x y  的最大值为____________________. 15.如图所示，是一正方形苗圃图案，中间黑色的大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且 中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的 2 倍，若在正方形图案上随机地取一点，则该点取自黑色区域的概 率为______________________. 16. 在 ABC△ 中 ， 10sin 5B  ， 45C   ， 点 D 在 边 BC 的 延 长 线 上 ， 5AD  ， 1CD  ， 且 5 5BC x AB BD   ，则 x _____________________. 三、解答题（共 70 分） 第 15 题图 17.（本小题满分 12 分） 已知等差数列 na 中， 1 5 22a a  ， 4 15a  ，数列 nb 满足 24log 3n nb a  ， *n N . （Ⅰ）求数列 nb 的通项公式； （Ⅱ）求数列 n na b 的前 n 项和 nS . 18.（本小题满分 12 分） 如图，三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，侧面 1 1BB C C 为菱形， 1B C 的中点为 O，且 AO  平面 1 1BB C C . （Ⅰ）证明： 1B C AB ； （Ⅱ）若 1AC AB ， 1 60CBB   ， 1BC  ，求直线 1BB 与平面 ABC 所成角的正弦值. 19.（本小题满分 12 分） 2020 年全球爆发新冠肺炎，人感染了新冠肺炎病毒后常见的呼吸道症状有：发热、咳嗽、气促和呼吸困难 等，严重时会危及生命.政府为了及时收治轻症感染的群众，逐步建立起了 14 家万舱医院，其中武汉体育中 心万舱医院从 2 月 12 日开舱至 3 月 8 日闭舱，累计收治轻症患者 1056 人，据部分统计该万舱医院从 2 月 26 日至 3 月 2 日轻症者治愈出舱人数频数表与散点图如下： 日期 2.26 2.27 2.28 2.29 3.1 3.2 序号 x 1 2 3 4 5 6 出舱人数 y 3 8 17 31 68 168 根据散点图和表中数据，某研究人员对出舱人数 y 与日期序号 x 进行了拟合分析.从散点图观察可得，研究 人员分别用两种函数① 2y mx p  ；② txy ke 分析其拟合效果.其相关指数 2R 可以判断其拟合效果， 2R 越大其拟合效果越好.已知 2y mx p  的相关指数为 2 0.89R  . （Ⅰ）根据相关指数判断上述两类函数，哪一类函数拟合效果更好？（注：相关系数 r 与相关指数 2R 满足 2 2R r ，参考数据表中 lnu y ， 2v x ） （Ⅱ）①根据（Ⅰ）中结论，求拟合效果更好的函数解析式（结果保留小数点后三位）； ②3 月 3 日实际总出舱人数为 216 人，按①中的回归模型计算，差距有多少人？ 附：一组数据 1, ( 1,2,3, , )ix y i n  ，其的回归方程为 ˆˆ ˆy bx a  相关系数：        1 2 2 1 1 n i i i n n i i i i x x y y r x x y y            ，      1 2 1 ˆ n i i i n i i x x y y b x x         ， ˆˆa y bx  参考数据： x y v u   6 2 1 i i v v     6 2 1 i i y y     6 2 1 i i u u   3.5 49.17 15.17 3.13 894.83 19666.83 10.55    6 1 i i i x x u u       6 1 i i i v v y y    13.56 3957.83 17.5 4.18 ， 10.55 3.25 ， 0.418 1.520e  ， 5.425 227e  20.（本小题满分 12 分） 已知椭圆 C 的对称中心为原点 O，焦点在 x 轴上，焦距为 2 6 ，点 2,1 在该椭圆上. （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）直线 2x  与椭圆交于 P，Q 两点，P 点位于第一象限，A，B 是椭圆上位于直线 2x  两侧的动点. 当点 A，B 运动时，满足 APQ BPQ   ，问直线 AB 的斜率是否为定值，请说明理由. 21.（本小题满分 12 分）已知函数   ln 1f x x x ax   ， a R . （Ⅰ）当 0x  时，若关于 x 的不等式   0f x  恒成立，求 a 的取值范围； （Ⅱ）当  1,x  时，证明：   21 lnx e x x x xe     . 选考题：满分 10 分，请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多选，则所做第一题计分. 22.（本小题满分 10 分）选修 4-4，坐标系与参数方程 在直角坐标系中 xOy 中，曲线 C 的参数方程 cos sin x t y      （ 为参数， 0t  ）.以坐标原点为极点，x 轴正 半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为 sin 24       . （Ⅰ）设 P 是曲线 C 上的一个动点，当 3t  时，求点 P 到直线l 的距离的最大值； （Ⅱ）若曲线 C 上所有的点均在直线l 的右下方，求 t 的取值范围. 23.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数   1 2 1 1f x x x     （Ⅰ）求不等式   8f x  的解集； （Ⅱ）若 x R  ，函数   2logf x a 恒成立，求实数 a 的取值范围. 太原五中校模文科数学（一）参考答案 一、BDDDD CCCCB DA 二、13.3 2 0x y   ；14. 4；15.1 8  ；16. 10 三、17.（1） 4 1na n  ， 12n nb  （2）  5 4 5 2n nS n    18.（1）连 BO ，只证： 1B C  平面 ABO ，余略 （2）设直线 1BB 与平面 ABC 所成的角为 利用 1 1B ABC A BB CV V  得： 1 1 1 3 3ABC BB CS d S AO  △ △ ， 21 7d  ， 1 21sin 7 d BB    19.解：（1）由 txy ke 得： ln lny tx k  ，由上表中可得： 3.5x  ， 3.13u  ，   6 2 1 10.55i i u u    ，    6 1 13.56i i i x x u u     ， 又由已知计算得：   6 2 1 17.5i i x x    ，        1 2 2 1 1 13.56 13.56 0.9984.18 3.2517.5 10.55 n i i i n n i i i i x x y y r x x y y              所以：由 2 2 0.996 0.89R r   ，因此，回归方程 txy ke 的拟合效果要更好. （2）①由题知：      6 1 6 2 1 13.56ˆ 0.7717.5 i i i i i x x u u t b x x            因此有： ˆln 3.13 0.775 3.5 0.418k u bx      故 ln 0.775 0.418y x  ， 故回归方程为 0.775 0.418xy e  ，即： 0.7751.520 xy e ②当序号 7x  时， 0.775 71.520 1.520 227 345y e     ， 由题知：3 月 3 日实际出舱的人数为 126 人，相差345 126 129  人 20.（1）因为椭圆 C 的对称中心为原点 O，焦点在 x 轴上， 所以设椭圆方程为 2 2 2 2 1x y a b   因为焦距为 2 6 ，所以 6c  ，焦点坐标  1 6,0F ，  2 6,0F  又因为点 2,1 在该椭圆上，代入椭圆方程得： 2 2 4 1 1a b   ，即 2 2 4 1 16a a   解得 2 8a  ，所以 2 2b  ，则椭圆 C 的方程为 2 2 18 2 x y  . （2）将 2x  代入椭圆方程可得 24 18 2 y  ，解得 1y   ，则  2,1P ，  2, 1Q  当点 A，B 运动时，满足 APQ BPQ   ，则直线 PA 与直线 PB 的斜率互为相反数， 不妨设 0PAk k  ，则  0PBk k k  , ，所以直线 PA 的方程为  1 2y k x   ， 联立   2 2 1 2 18 2 y k x x y      ，解得   2 2 2 21 4 8 16 16 16 4 0k x k k x k k       因为 2， 1x 是该方程的两根，所以 2 1 2 16 16 42 1 4 k kx k    ，即 2 1 2 8 8 2 1 4 k kx k    ， 同理直线 PB 的方程为 2 1y kx k    且 2 2 2 8 8 2 1 4 k kx k    所以 2 1 2 2 16 4 1 4 kx x k    ， 1 2 2 16 1 4 kx x k     ，所以  1 21 2 1 2 1 2 4 1 2AB k x x ky yk x x x x      ， 即直线 AB 的斜率为定值. 21.（1）参变分离： 1,  （2）由（1）知：当 1a   时， ln 1 0x x x   恒成立， 即： 1ln x x  ，要证：  1 lnx e x xe   ，只证：  1 1 x e x x e x   ，当 1x  时只证： 1xe x  ，因为对 x R  ， 都有： 1xe x  ，所以： 1xe x  要证： 2ln x x x  ，只作差函数即可，余略 22.（1）点 P 到直线l 距离的最大值为 2 2 （2）t 的取值范围为 0, 3 23.（1） 8 ,23     ；（2） 0,8