2020高考理科数学二轮分层特训卷：仿真模拟专练 （三）
专练(三)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．[2019·北京海淀一模]已知集合P＝{x|0≤x≤2} ，且M⊆P，则M可以是( )
A．{0，1} B．{1，3}
C．{－1，1} D．{0，5}
答案：A
解析：∵0∈{x|0≤x≤2}，1∈{x|0≤x≤2}，∴{0，1}⊆{x|0≤x≤2}，故选A.
2．[2019·安徽皖南八校联考]i为虚数单位，a∈R，若z＝＋i为实数，则a＝( )
A．－1 B．－
C．1 D．2
答案：C
解析：z＝＋i＝＋i＝＋i＝＋i＝＋i，由题意可得a＝1，故选C.
3．[2019·山东烟台模拟]已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是( )
A．a>1，c>1
B．a>1，0
1
D．00，所以函数y＝loga(x＋c)的图象是由函数y＝logax的图象向左平移c个单位长度得到的，所以根据题中图象可知00，b>0)的左焦点F1作曲线C2：x2＋y2＝a2的切线，设切点为M，延长F1M交曲线C3：y2＝2px(p>0)于点N，其中C1，C3有一个共同的焦点，若＋＝0，则曲线C1的离心率为( )
A. B.
C. D.
答案：A
解析：易知曲线C1为双曲线．
设曲线C1的右焦点为F，则F的坐标为(c，0)．
因为曲线C1与C3有一个共同的焦点，所以y2＝4cx.
因为＋＝0，所以＝－＝，则M为线段F1N的中点．
连接OM，NF(O为坐标原点)．因为O为线段F1F的中点，M为线段F1N的中点，所以OM为△NF1F的中位线，所以OM∥NF.
因为|OM|＝a，所以|NF|＝2a.
易知NF⊥NF1，|F1F|＝2c，所以|NF1|＝2b.
设N(x，y)，则由抛物线的定义可得x＋c＝2a，
所以x＝2a－c.
过点F1作x轴的垂线，点N到该垂线的距离为2a.
由勾股定理得y2＋4a2＝4b2，即4c(2a－c)＋4a2＝4(c2－a2)，得e2－e－1＝0(e>0)，所以
e＝.故选A.
12．[2019·重庆西南大附中月考]已知奇函数f(x)是定义在R上的单调函数，若函数g(x)＝f(x2)＋f(a－2|x|)恰有4个零点，则a的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(0，1] D．(0，1)
答案：D
解析：∵g(－x)＝f(x2)＋f(a－2|x|)＝g(x)，∴g(x)是偶函数．若g(x)＝f(x2)＋f(a－2|x|)恰有4个零点，等价于当x>0时，g(x)有2个不同的零点．∵f(x)是奇函数，∴由g(x)＝f(x2)＋f(a－2|x|)＝0，得f(x2)＝－f(a－2|x|)＝f(2|x|－a)．∵f(x)是单调函数，∴x2＝2|x|－a，即－a＝x2－2|x|，当x>0时，－a＝x2－2|x|＝x2－2x有两个根即可．设h(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，要使当x>0时，－a＝x2－2|x|有两个根，则－1<－a<0，即0b≥0，若f(a)＝f(b)，则b·f(a)的取值范围是________．
答案：
解析：画出函数f(x)的大致图象，如图所示．由图象可知要使a>b≥0，f(a)＝f(b)成立，则≤b<1.b·f(a)＝b·f(b)＝b(b＋1)＝b2＋b＝2－，所以≤b·f(a)<2.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(12分)[2019·广东省六校联考]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋c2－b2＝abcos A＋a2cos B.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝2，tan C＝，求△ABC的面积．
解析：(1)依题意知a2＋c2－b2＝abcos A＋a2cos B，
由余弦定理，得2accos B＝abcos A＋a2cos B，
因为a≠0，所以2ccos B＝bcos A＋acos B.
由正弦定理，得2sin Ccos B＝sin Bcos A＋sin Acos B＝sin(A＋B)＝sin C，
又C∈(0，π)，sin C>0，所以cos B＝，
因为B∈(0，π)，所以B＝.
(2)已知tan C＝，C∈(0，π)，易得sin C＝，cos C＝，
由(1)知B＝，
所以sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝×＋×＝.
由正弦定理＝，得a＝＝＝6，
所以△ABC的面积为S＝absin C＝×6×2×＝6.
18．(12分)[2019·江西南昌重点中学段考]如图，四边形ABCD是矩形，沿对角线AC将△ACD折起，使得点D在平面ABC内的射影恰好落在边AB上．
(1)求证：平面ACD⊥平面BCD；
(2)当＝2时，求二面角D－AC－B的余弦值．
解析：(1)证明：如图，设点D在平面ABC内的射影为点E，连接DE，
则DE⊥平面ABC，所以DE⊥BC.
因为四边形ABCD是矩形，所以AB⊥BC，所以BC⊥平面ABD，
所以BC⊥AD.
又AD⊥CD，所以AD⊥平面BCD，而AD⊂平面ACD，
所以平面ACD⊥平面BCD.
(2)解法一 在矩形ABCD中，过点D作AC的垂线，垂足为M，连接ME.
因为DE⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，所以DE⊥AC，
又DM∩DE＝D，
所以AC⊥平面DME，EM⊂平面DME，所以EM⊥AC，
所以∠DME为二面角D－AC－B的平面角．
设AD＝a，则AB＝2a.
在Rt△ADC中，易求得AM＝，DM＝.
在Rt△AEM中，＝tan∠BAC＝，得EM＝，
所以cos∠DME＝＝.
解法二 以点B为原点，线段BC所在的直线为x轴，线段AB所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系Bxyz，如图所示．
设AD＝a，则AB＝2a，所以A(0，－2a，0)，C(－a，0，0)．
由(1)知AD⊥BD，又＝2，所以∠DBA＝30°，∠DAB＝60°，所以AE＝ADcos∠DAB＝a，BE＝AB－AE＝a，DE＝ADsin∠DAB＝a，
所以D，所以＝，＝(－a，2a，0)．
设平面ACD的法向量为m＝(x，y，z)，则即
取y＝1，则x＝2，z＝－，所以m＝.
因为平面ABC的一个法向量为n＝(0，0，1)，
所以cos〈m，n〉＝＝＝－.
结合图知，二面角D－AC－B为锐二面角，
所以二面角D－AC－B的余弦值为.
19．(12分)[2019·安徽省合肥市高三上学期期末考试]每年3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础．为了做好今年的世界睡眠日宣传工作，某社区从本辖区内同一年龄层次的人员中抽取了100人，
通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间(单位：小时)，并绘制出如下的频率分布直方图．
(1)求这100人睡眠时间的平均数(同一组数据用该组区间的中点值代替，结果精确到个位)；
(2)由直方图可以认为，人的睡眠时间t近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似地等于样本平均数(精确到个位)，σ2近似地等于样本方差s2，s2≈33.6，假设该辖区内这一年龄层次共有10 000人，试估计该人群中一周睡眠时间位于区间(39.2，50.8)的人数．
附：≈5.8，若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ0)上一点M的纵坐标为6，且点M到焦点F的距离为7.
(1)求抛物线E的方程；
(2)设l1，l2为过焦点F且互相垂直的两条直线，直线l1与抛物线E相交于A，B两点，直线l2与抛物线E相交于C，D两点，若直线l1的斜率为k(k≠0)，且S△OAB·S△OCD＝8，试求k的值．
解析：(1)由抛物线的定义知，点M到抛物线的准线的距离为7，
所以6＋＝7，解得p＝2，
故抛物线E的方程为x2＝4y.
(2)由题意可知l1的方程为y＝kx＋1(k≠0)由消去y，整理得x2－4kx－4＝0，
Δ＝16(k2＋1)>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，
|AB|＝|x1－x2|＝＝4(k2＋1)．
由点O到直线AB的距离d＝，
得S△OAB＝|AB|·d＝×4(k2＋1)×＝2.
因为l1⊥l2，所以同理可得S△OCD＝2＝.
由S△OAB·S△OCD＝8，得2×＝8，
解得k2＝1，即k＝－1或k＝1.
21．(12分)[2019·贵州贵阳监测]已知函数f(x)＝(m≥0)，其中e为自然对数的底数．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若m∈(1，2)，证明：当x1，x2∈[1，m]时，f(x1)>－x2＋1＋恒成立．
解析：(1)由题意得f′(x)＝－＝－，当m＝0，即1－m＝1时，f′(x)＝－≤0，f(x)在R上单调递减；当m>0，即1－m<1时，令f′(x)<0，得x<1－m或x>1，令f′(x)>0，得1－mg(x)max.
由(1)可知，m∈(1，2)时f(x)在[1，m]上单调递减，
∴f(x)min＝f(m)＝.
∵g(x)在[1，m]上单调递减，
∴g(x)max＝g(1)＝.
所以要证f(x)min>g(x)max，只需证>.
记h(m)＝(10，得1>，
即当x1，x2∈[1，m]时，f(x1)>－x2＋1＋恒成立．
选考题(请考生在第22、23题中任选一题作答，多答、不答按本选考题的首题进行评分．)
22．(10分)[2019·南宁市高三毕业班第一次适应性测试]在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(r>0，φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos＋1＝0.若直线l与曲线C相切．
(1)求曲线C的极坐标方程；
(2)在曲线C上任取两点M，N，该两点与原点O构成△MON，且满足∠MON＝，求△MON面积的最大值．
解析：(1)由ρcos＋1＝0得
ρcos θ－ρsin θ＋1＝0，
则直线l的直角坐标方程为x－y＋2＝0.
曲线C是圆心为(，1)，半径为r的圆，
由直线l与曲线C相切可得r＝＝2.
则曲线C的直角坐标方程为(x－)2＋(y－1)2＝4.
所以曲线C的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ＝0，
即ρ＝4sin.
(2)由(1)不妨设M(ρ1，θ)，N
.
S△MON＝|OM|·|ON|·sin＝ρ1ρ2
＝4sinsin
＝2sin θcos θ＋2cos2θ
＝sin 2θ＋cos 2θ＋
＝2sin＋.
当θ＝时，△MON面积的最大值为2＋.
23．(10分)[2019·四川资阳一诊][选修4－5：不等式选讲]
设函数f(x)＝|x|，g(x)＝|2x－2|.
(1)解不等式f(x)>g(x)；
(2)若2f(x)＋g(x)>ax＋1对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．
解析：(1)不等式f(x)>g(x)，即|2x－2|<|x|.
则(2x－2)2ax＋1对任意x∈R恒成立，则
①当x≤0时，只需不等式－2x－2x＋2>ax＋1恒成立，即ax<－4x＋1，
x＝0时，该不等式恒成立，a∈R；x<0时，a>－4＋恒成立，可得a≥－4.
②当0ax＋1恒成立，即a<恒成立，可得a≤1.
③当x≥1时，只需不等式2x＋2x－2>ax＋1恒成立，即a<4－恒成立，可得a<1.
综上，实数a的取值范围是[－4，1)．
