函数模型的应用实例

函数模型的应用实例

‎ ‎ ‎§3.2.2 函数模型的应用实例（Ⅰ）‎ ‎ 一、 教学目标：‎ ‎1. 知识与技能 能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题.‎ ‎2．过程与方法 感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会一次函数、二次函数模型在数学和其他学科中的重要性.‎ ‎3．情感、态度、价值观 体会运用函数思想处理现实生活中和社会中的一些简单问题的实用价值.‎ 二、 教学重点与难点：‎ ‎1．教学重点：运用一次函数、二次函数模型解决一些实际问题.‎ ‎2. 教学难点：将实际问题转变为数学模型.‎ 三、 学法与教学用具 ‎1. 学法：学生自主阅读教材，采用尝试、讨论方式进行探究.‎ ‎2. 教学用具：多媒体 四、 教学设想 ‎（一）创设情景，揭示课题 引例：大约在一千五百年前，大数学家孙子在《孙子算经》中记载了这样的一道题：“今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？”这四句的意思就是：有若干只有几只鸡和兔？你知道孙子是如何解答这个“鸡兔同笼”问题的吗？你有什么更好的方法？老师介绍孙子的大胆解法：他假设砍去每只鸡和兔一半的脚，则每只鸡和兔就变成了“独脚鸡”和“双脚兔”. 这样，“独脚鸡”和“双脚兔”脚的数量与它们头的数量之差，就是兔子数，即：47－35＝12；鸡数就是：35－12＝23.‎ 比例激发学生学习兴趣，增强其求知欲望.‎ 可引导学生运用方程的思想解答“鸡兔同笼”问题.‎ ‎（二）结合实例，探求新知 例1. 某列火车众北京西站开往石家庄，全程277km，火车出发10min开出13km后，以120km/h匀速行驶. 试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系式，并求火车离开北京2h内行驶的路程.‎ 探索：‎ ‎1）本例所涉及的变量有哪些？它们的取值范围怎样；‎ ‎2）所涉及的变量的关系如何？‎ ‎3）写出本例的解答过程.‎ 老师提示：路程S和自变量t的取值范围（即函数的定义域），注意t的实际意义.‎ 学生独立思考，完成解答，并相互讨论、交流、评析.‎ 例2．某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只定价20元，茶杯每只定价5元，该商店制定了两种优惠办法：‎ ‎1）本例所涉及的变量之间的关系可用何种函数模型来描述？‎ ‎2）本例涉及到几个函数模型？‎ ‎3）如何理解“更省钱？”；‎ ‎4）写出具体的解答过程.‎ 7‎ ‎ ‎ 在学生自主思考，相互讨论完成本例题解答之后，老师小结：通过以上两例，数学模型是用数学语言模拟现实的一种模型，它把实际问题中某些事物的主要特征和关系抽象出来，并用数学语言来表达，这一过程称为建模，是解应用题的关键。数学模型可采用各种形式，如方程（组），函数解析式，图形与网络等 .‎ 课堂练习1 某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满. 公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日增加2元，客房出租数就会减少10间. 若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？‎ 引导学生探索过程如下：‎ ‎1）本例涉及到哪些数量关系？‎ ‎2）应如何选取变量，其取值范围又如何？‎ ‎3）应当选取何种函数模型来描述变量的关系？‎ ‎4）“总收入最高”的数学含义如何理解？‎ 根据老师的引导启发，学生自主，建立恰当的函数模型，进行解答，然后交流、进行评析.‎ ‎[略解：]‎ 设客房日租金每间提高2元，则每天客房出租数为300－10，由＞0，且300－10＞0得：0＜＜30‎ 设客房租金总上收入元，则有：‎ ‎=（20+2）(300－10)‎ ‎ =－20(－10)2 ＋ 8000（0＜＜30）‎ 由二次函数性质可知当=10时，=8000.‎ 所以当每间客房日租金提高到20＋10×2=40元时，客户租金总收入最高，为每天8000元.‎ 课堂练习2 要建一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，试求应当怎样设计，才能使水池总造价最低？并求此最低造价. ‎ ‎（三）归纳整理，发展思维.‎ 引导学生共同小结，归纳一般的应用题的求解方法步骤：‎ 1） 合理迭取变量，建立实际问题中的变量之间的函数关系，从而将实际问题转化为 函数模型问题：‎ ‎2）运用所学知识研究函数问题得到函数问题的解答；‎ ‎3）将函数问题的解翻译或解释成实际问题的解；‎ ‎4）在将实际问题向数学问题的转化过程中，能画图的要画图，可借助于图形的直观 性，研究两变量间的联系. 抽象出数学模型时，注意实际问题对变量范围的限制.‎ ‎（四）布置作业 作业：教材P120习题3.2（A组）第3 、4题：‎ ‎3 .2 .2 函数模型的应用实例（Ⅱ）‎ ‎ 一、 教学目标 ‎1. 知识与技能 能够利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题.‎ ‎2. 过程与方法 进一步感受运用函数概念建立函数模型的过程和方法，对给定的函数模型进行简单的分析评价.‎ 7‎ ‎ ‎ 二、 教学重点 重点 利用给定的函数模型或建立确定性质函数模型解决实际问题.‎ 难点 将实际问题转化为数学模型，并对给定的函数模型进行简单的分析评价.‎ 三、 学法与教学用具 ‎1. 学法：自主学习和尝试，互动式讨论.‎ ‎2. 教学用具：多媒体 四、 教学设想 ‎（一）创设情景，揭示课题.‎ ‎ 现实生活中有些实际问题所涉及的数学模型是确定的，但需我们利用问题中的数据及其蕴含的关系来建立. 对于已给定数学模型的问题，我们要对所确定的数学模型进行分析评价，验证数学模型的与所提供的数据的吻合程度.‎ ‎（二）实例尝试，探求新知 例1. 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示.‎ ‎1）写出速度关于时间的函数解析式；‎ ‎2）写出汽车行驶路程关于时间的函数关系式，并作图象；‎ ‎3）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；‎ ‎4）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数与时间的函数解析式，并作出相应的图象.‎ 本例所涉及的数学模型是确定的，需要利用问题中的数据及其蕴含的关系建立数学模型，此例分段函数模型刻画实际问题.‎ 教师要引导学生从条块图象的独立性思考问题，把握函数模型的特征.‎ 注意培养学生的读图能力，让学生懂得图象是函数对应关系的一种重要表现形式.‎ 例2. 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据. 早在1798，英国经济家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：‎ ‎ ‎ 其中表示经过的时间，表示时的人口数，表示人口的年均增长率.‎ 下表是1950~1959年我国的人口数据资料：（单位：万人）‎ 年份 ‎1950‎ ‎1951‎ ‎1952‎ ‎1953‎ ‎1954‎ 人数 ‎55196‎ ‎56300‎ ‎57482‎ ‎58796‎ ‎60266‎ 年份 ‎1955‎ ‎1956‎ ‎1957‎ ‎1958‎ ‎1959‎ 人数 ‎ 1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；‎ ‎2）如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的人口将达到13亿？‎ 探索以下问题：‎ ‎1）本例中所涉及的数量有哪些？‎ ‎2）描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是确定的，确定这种模型需要几个因素？‎ ‎3）根据表中数据如何确定函数模型？‎ ‎4）对于所确定的函数模型怎样进行检验，根据检验结果对函数模型又应做出如何评价？‎ 7‎ ‎ ‎ 如何根据确定的函数模型具体预测我国某个时间的人口数，用的是何种计算方法？‎ 本例的题型是利用给定的指数函数模型解决实际问题的一类问题，引导学生认识到确定具体函数模型的关键是确定两个参数与.‎ 完成数学模型的确定之后，因为计算较繁，可以借助计算器.‎ 在验证问题中的数据与所确定的数学模型是否吻合时，可引导学生利用计算器或计算机作出所确定函数的图象，并由表中数据作出散点图，通过比较来确定函数模型与人口数据的吻合程度，并使学生认识到表格也是描述函数关系的一种形式.‎ 引导学生明确利用指数函数模型对人口增长情况的预测，实质上是通过求一个对数值来确定的近似值.‎ 课堂练习：某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据用一个函数模拟该产品的月产量与月份的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数.已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由.‎ 探索以下问题：‎ ‎1）本例给出两种函数模型，如何根据已知数据确定它们？‎ ‎2）如何对所确定的函数模型进行评价？‎ 本例是不同函数的比较问题，要引导学生利用待定系数法确定具体的函数模型.‎ 引导学生认识到比较函数模型优劣的标准是4月份产量的吻合程度，这也是对函数模评价的依据.‎ 本例渗透了数学思想方法，要培养学生有意识地运用.‎ 三. 归纳小结，发展思维.‎ 利用给定函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题的方法；‎ ‎1）根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系；‎ ‎2）利用待定系数法，确定具体函数模型；‎ ‎3）对所确定的函数模型进行适当的评价；‎ ‎4）根据实际问题对模型进行适当的修正.‎ 从以上各例体会到：根据收集到的数据，作出散点图，然后通过观察图象，判断问题适用的函数模型，借助计算器或计算机数据处理功能，利用待定系数法得出具体的函数解析式，再利用得到的函数模型解决相应的问题，这是函数应用的一个基本过程.‎ 图象、表格和解析式都可能是函数对应关系的表现形式. 在实际应用时，经常需要将函数对应关系的一种形式向另一种转化.‎ ‎（四）布置作业：教材P120习题32（A组）第6~9题.‎ ‎§3.2.2函数模型的应用实例（Ⅲ）‎ 一、教学目标 ‎1、知识与技能 能够收集图表数据信息，建立拟合函数解决实际问题。‎ ‎2、过程与方法 ‎ 7‎ ‎ ‎ ‎ 体验收集图表数据信息、拟合数据的过程与方法，体会函数拟合的思想方法。‎ ‎3、情感、态度、价值观 深入体会数学模型在现实生产、生活及各个领域中的广泛应用及其重要价值。‎ 二、教学重点、难点：‎ 重点：收集图表数据信息、拟合数据，建立函数模解决实际问题。‎ 难点：对数据信息进行拟合，建立起函数模型，并进行模型修正。‎ 三、学学与教学用具 ‎1、学法：学生自查阅读教材，尝试实践，合作交流，共同探索。‎ ‎2、教学用具：多媒体 四、教学设想 ‎（一）创设情景，揭示课题 ‎2003年5月8日，西安交通大学医学院紧急启动“建立非典流行趋势预测与控制策略数学模型”研究项目，马知恩教授率领一批专家昼夜攻关，于5月19日初步完成了第一批成果，并制成了要供决策部门参考的应用软件。‎ 这一数学模型利用实际数据拟合参数，并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算仿真，结果指出，将患者及时隔离对于抗击非典至关重要、分析报告说，就全国而论，菲非典病人延迟隔离1天，就医人数将增加1000人左右，推迟两天约增加工能力100人左右；若外界输入1000人中包含一个病人和一个潜伏病人，将增加患病人数100人左右；若4月21日以后，政府示采取隔离措施，则高峰期病人人数将达60万人。‎ 这项研究在充分考虑传染病控制中心每日工资发布的数据，建立了非典流行趋势预测动力学模型和优化控制模型，并对非典未来的流行趋势做了分析预测。‎ 本例建立教学模型的过程，实际上就是对收集来的数据信息进行拟合，从而找到近似度比较高的拟合函数。‎ ‎（二）尝试实践 探求新知 例1．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值发下表 ‎（身高：cm；体重：kg）‎ 身高 ‎60‎ ‎70‎ ‎80‎ ‎90‎ ‎100‎ ‎110‎ 体重 ‎6.13‎ ‎7.90‎ ‎9.99‎ ‎12.15‎ ‎15.02‎ ‎17.50‎ 身高 ‎120‎ ‎130‎ ‎140‎ ‎150‎ ‎160‎ ‎170‎ 体重 ‎20.92‎ ‎26.86‎ ‎31.11‎ ‎38.85‎ ‎47.25‎ ‎55.05‎ ‎1） 根据表中提供的数据，建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重与身高ykg与身高xcm的函数模型的解析式。‎ ‎2）若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm ，体重为78kg的在校男生的体重是事正常？‎ 探索以下问题：‎ ‎1）借助计算器或计算机，根据统计数据，画出它们相应的散点图；‎ ‎2）观察所作散点图，你认为它与以前所学过的何种函数的图象较为接近？‎ ‎3）你认为选择何种函数来描述这个地区未成年男性体重与身高的函数关系比较合适？‎ ‎4）确定函数模型，并对所确定模型进行适当的检验和评价.‎ ‎5）怎样修正所确定的函数模型，使其拟合程度更好？‎ 本例给出了通过测量得到的统计数据表，要想由这些数据直接发现函数模型是困难的，要引导学生借助计算器或计算机画图，帮助判断.‎ 7‎ ‎ ‎ 根据散点图，利用待定系数法确定几种可能的函数模型，然后进行优劣比较，选定拟合度较好的函数模型.在此基础上，引导学生对模型进行适当修正，并做出一定的预测. 此外，注意引导学生体会本例所用的数学思想方法.‎ 例2. 将沸腾的水倒入一个杯中，然后测得不同时刻温度的数据如下表：‎ 时间（S）‎ ‎60‎ ‎120‎ ‎180‎ ‎240‎ ‎300‎ 温度（℃）‎ ‎86.86‎ ‎81.37‎ ‎76.44‎ ‎66.11‎ ‎61.32‎ 时间（S）‎ ‎360‎ ‎420‎ ‎480‎ ‎540‎ ‎600‎ 温度（℃）‎ ‎53.03‎ ‎52.20‎ ‎49.97‎ ‎45.96‎ ‎42.36‎ ‎1）描点画出水温随时间变化的图象；‎ ‎2）建立一个能基本反映该变化过程的水温（℃）关于时间的函数模型，并作出其图象，观察它与描点画出的图象的吻合程度如何.‎ ‎3）水杯所在的室内温度为18℃，根据所得的模型分析，至少经过几分钟水温才会降到室温？再经过几分钟会降到10℃？对此结果，你如何评价？‎ 本例意图是引导学生进一步体会，利用拟合函数解决实际问题的思想方法，可依照例1的过程，自主完成或合作交流讨论.‎ 课堂练习：某地新建一个服装厂，从今年7月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万件、1 .2万件、1.3万件、1.37万件. 由于产品质量好，服装款式新颖，因此前几个月的产品销售情况良好. 为了在推销产品时，接收定单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量，你能解决这一问题吗？‎ 探索过程如下：‎ ‎1）首先建立直角坐标系，画出散点图；‎ ‎2）根据散点图设想比较接近的可能的函数模型：‎ 一次函数模型：‎ 二次函数模型：‎ 幂函数模型：‎ 指数函数模型：（＞0，）‎ 利用待定系数法求出各解析式，并对各模型进行分析评价，选出合适的函数模型；由于尝试的过程计算量较多，可同桌两个同学分工合作，最后再一起讨论确定.‎ ‎（三）归纳小结，巩固提高.‎ 通过以上三题的练习，师生共同总结出了利用拟合函数解决实际问题的一般方法，指出函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，是解决实际问题的重要思想方法. 利用函数思想解决实际问题的基本过程如下：‎ 用函数模型解决实际问题在于 求函数模型 选择函数模型 画散点图 检验 收集数据 ‎ 符合 ‎ 实际 7‎ ‎ ‎ ‎ 不符合实际 ‎（四）布置作业：‎ 作业：教材P120习题32（B组）第2、3题：‎ 7‎