高考数学 17-18版 第9章 第40课 课时分层训练40

高考数学 17-18版 第9章 第40课 课时分层训练40

课时分层训练(四十)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、填空题 ‎1．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是________．‎ b∥α，若b⊂α或b与α相交　[当b与α相交或b⊂α或b∥α时，均有满足a∥平面α，a⊥b的情形．]‎ ‎2．已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题：‎ ‎①若l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，则α∥β；‎ ‎②若l⊂α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m；‎ ‎③若α∥β，l∥α，则l∥β；‎ ‎④若l⊥α，m∥l，α∥β，则m⊥β.‎ 其中真命题是____________．(写出所有真命题的序号)‎ ‎②④　[对于①中，只要当l与m相交时，才可证明α∥β；对于③中，l可能在平面β内，②④正确．]‎ ‎3．设α，β，γ为三个不同的平面，a，b为直线，给出下列条件：‎ ‎①a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；②α∥γ，β∥γ；③α⊥γ，β⊥γ；④a⊥α，b⊥β，a∥b.‎ 其中能推出α∥β的条件是________．(填上所有正确的序号) ‎ ‎【导学号：62172221】‎ ‎②④　[在条件①或条件③中，α∥β或α与β相交．‎ 由α∥γ，β∥γ⇒α∥β，条件②满足．‎ 在④中，a⊥α，a∥b⇒b⊥α，从而α∥β，④满足．]‎ ‎4．已知平面α外不共线的三点A，B，C到α的距离都相等，则正确的结论是____________(填序号)．‎ ‎①平面ABC必平行于α；‎ ‎②平面ABC必与α相交；‎ ‎③平面ABC必不垂直于α；‎ ‎④存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内．‎ ‎④　[若A，B，C三点在α同侧，则平面ABC∥α.若A，B，C三点在α异侧，不妨设B，C在α的同侧，则BC∥α，由平行线的性质可知存在一条中位线DE∥BC，且DE⊂α.]‎ ‎5．如图405所示的三棱柱ABCA1B‎1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是________．‎ 图405‎ 平行　[在三棱柱ABCA1B1C1中，AB∥A1B1.‎ ‎∵AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，‎ ‎∴A1B1∥平面ABC.‎ ‎∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE，‎ ‎∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.]‎ ‎6.在四面体A－BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是____________．‎ 平面ABD与平面ABC　[如图，取CD的中点E.‎ 则EM∶MA＝1∶2，‎ EN∶BN＝1∶2，‎ 所以MN∥AB，‎ 所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC.]‎ ‎7．平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是____________．‎ ‎①AB∥CD；　　　　　　 ②AD∥CB；‎ ‎③AB与CD相交； ④A，B，C，D四点共面．‎ ‎④　[由面面平行的性质可知，AC∥BD的充要条件是A，B，C，D四点共面．]‎ ‎8.如图406所示，ABCD－A1B‎1C1D1是棱长为a的正方体，M，N 分别是下底面的棱A1B1，B‎1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝____________. 【导学号：62172222】‎ 图406‎ α　[∵面ABCD∥面A1B‎1C1D1，则PQ∥MN，‎ 连结AC(图略)，由MN∥AC可知PQ∥AC.‎ 又AP＝，∴PD＝a，‎ ‎∴PD∶DA＝2∶3.‎ ‎∴PQ＝AC.‎ 又AC＝a，‎ 故PQ＝a.]‎ ‎9．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是____________．‎ 图407‎ ‎①④　[对于图形①，平面MNP与AB所在的对角面平行，即可得到AB∥平面MNP；对于图形④，AB∥PN，即可得到AB∥平面MNP；图形②③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行．]‎ ‎10．如图408，在正四棱柱ABCD－A1B‎1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，动点M在四边形EFGH上及其内部运动，则M满足条件____________时，有MN∥平面B1BDD1.‎ 图408‎ M∈FH　[∵HN∥BD，FH∥DD1，‎ ‎∴平面FHN∥平面BB1D1D.‎ ‎∵M在四边形EFGH上及其内部运动，‎ 故M∈FH.]‎ 二、解答题 ‎11．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图409所示．‎ ‎(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；‎ ‎(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论. ‎ ‎【导学号：62172223】‎ 图409‎ ‎[解]　(1)点F，G，H的位置如图所示．‎ ‎(2)平面BEG∥平面ACH，证明如下：‎ 因为ABCDEFGH为正方体，‎ 所以BC∥FG，BC＝FG.‎ 又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，‎ 于是四边形BCHE为平行四边形，所以BE∥CH.‎ 又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，‎ 所以BE∥平面ACH.‎ 同理BG∥平面ACH.‎ 又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.‎ ‎12.如图4010，在直三棱柱ABCA1B‎1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1，设AB1的中点为D，B‎1C∩BC1＝E.‎ 图4010‎ 求证：(1)DE∥平面AA1C1C；‎ ‎(2)BC1⊥AB1.‎ ‎[证明]　(1)由题意知，E为B‎1C的中点，‎ 又D为AB1的中点，因此DE∥AC.‎ 又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，‎ 所以DE∥平面AA1C1C.‎ ‎(2)因为棱柱ABCA1B‎1C1是直三棱柱，‎ 所以CC1⊥平面ABC.‎ 因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1.‎ 因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，‎ 所以AC⊥平面BCC1B1.‎ 又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.‎ 因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，‎ 因此BC1⊥B1C.‎ 因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，‎ 所以BC1⊥平面B1AC.‎ 又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.‎ B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1.如图4011所示，正方体ABCDA1B‎1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB‎1C，则线段EF的长度等于________．‎ 图4011‎ 　[在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，AB＝2，‎ ‎∴AC＝2.‎ 又E为AD中点，EF∥平面AB1C，EF⊂平面ADC，‎ 平面ADC∩平面AB1C＝AC，‎ ‎∴EF∥AC，∴F为DC中点，‎ ‎∴EF＝AC＝.]‎ ‎2．如图4012所示，棱柱ABCA1B‎1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A‎1C1上的点且A1B∥平面B1CD，则A1D∶DC1的值为________．‎ 图4012‎ ‎1　[设BC1∩B‎1C＝O，连结OD.‎ ‎∵A1B∥平面B1CD且平面A1BC1∩平面B1CD＝OD，‎ ‎∴A1B∥OD.‎ ‎∵四边形BCC1B1是菱形，‎ ‎∴O为BC1的中点，‎ ‎∴D为A1C1的中点，‎ 则A1D∶DC1＝1.]‎ ‎3．如图4013，在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点，求证：‎ 图4013‎ ‎(1)直线EG∥平面BDD1B1；‎ ‎(2)平面EFG∥平面BDD1B1.‎ ‎[证明]　(1)如图，连结SB，因为E，G分别是BC，SC的中点，所以EG∥SB.又因为SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，所以直线EG∥平面BDD1B1.‎ ‎(2)连结SD，因为F，G分别是DC，SC的中点，所以FG∥SD.‎ 又因为SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，‎ 所以FG∥平面BDD1B1，且EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，所以平面EFG∥平面BDD1B1.‎ ‎4．如图4014所示，在三棱锥PABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，AB⊥BC，设D，E分别为PA，AC的中点．‎ 图4014‎ ‎(1)求证：DE∥平面PBC.‎ ‎(2)在线段AB上是否存在点F，使得过三点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行？若存在，指出点F的位置并证明；若不存在，请说明理由．‎ ‎[解]　(1)证明：∵点E是AC中点，点D是PA的中点，∴DE∥PC.‎ 又∵DE⊄平面PBC，PC⊂平面PBC，∴DE∥平面PBC.‎ ‎(2)当点F是线段AB中点时，过点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行．‎ 证明如下：‎ 取AB的中点F，连结EF，DF.‎ 由(1)可知DE∥平面PBC.‎ ‎∵点E是AC中点，点F是AB的中点，‎ ‎∴EF∥BC.‎ 又∵EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，‎ ‎∴EF∥平面PBC.‎ 又∵DE∩EF＝E，‎ ‎∴平面DEF∥平面PBC，‎ ‎∴平面DEF内的任一条直线都与平面PBC平行．‎ 故当点F是线段AB中点时，过点D，E，F所在平面内的任一条直线都与平面PBC平行．‎