河南省漯河市临颍县南街高级中学2019-2020学年高二月考数学试卷

河南省漯河市临颍县南街高级中学2019-2020学年高二月考数学试卷

数学试卷 一、单选题（共20题；共40分）‎ ‎1.已知向量 ， ，若 ，则x的值为   ‎ A. 1                                          B. 2                                          C.                                           D. 5‎ ‎2.函数y=ax﹣4+5（a＞0，a≠1）的图象必经过定点（   ） ‎ A. （0，5）                           B. （4，5）                           C. （3，4）                           D. （4，6）‎ ‎3.已知命题p：负数的立方都是负数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中是真命题的是（   ） ‎ A. （￢p）∨q                   B. p∧q                   C. （￢p）∨（￢q）                   D. （￢p）∧（￢q）‎ ‎4.设等差数列{an}的前n项和为Sn ， 若S9=81，则a2+a5+a8=（   ） ‎ A. 26                                         B. 27                                         C. 28                                         D. 29‎ ‎5.函数 在R上为减函数，则有（    ） ‎ A.                       B.                       C.                       D. ‎ ‎6.设是边长为的正的边及其内部的点构成的集合，点是的中心，若集合 ， 若点 ， 则的最大值为（    ）‎ A.                                            B.                                            C.                                            D. ‎ ‎7.已知函数 满足： 且 ．（ ） ‎ A. 若 ，则                                        B. 若 ，则 C. 若 ，则                                        D. 若 ，则 ‎ ‎8.设函数 ， 则满足的x的取值范围是（   ）‎ A. [-1，2]                             B. [0，2]                             C.                              D. ‎ ‎9.在空间中，下列命题错误的是(   ) ‎ A. 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交         B. 一个平面与两个平行平面相交，交线平行 C. 平行于同一平面的两个平面平行                         D. 平行于同一直线的两个平面平行 ‎10.将函数y=sinx的图象向右平移个单位，所得图象的函数解析式是（　　）‎ A. y=sinx+                  B. y=sinx﹣                  C. y=sin（x﹣）                  D. y=sin（x+）‎ ‎11.在数列 中，若 ， ，则 的值（   ） ‎ A.                                      B.                                      C.                                      D. ‎ ‎12.已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜ ）的部分图象如图所示，若将f（x）的图象上所有点向右平移 个单位得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调增区间为（   ） ‎ A.  ，k∈Z                                   B.  ，k∈Z C.  ，k∈Z                                D.  ，k∈Z ‎13.设函数y=f(x）的图像与y=2x+a的图像关于直线y=-x对称，且f(-2)+f(-4)=1,则a=(   )‎ A. -1                                           B. 1                                           C. 2                                           D. 4‎ ‎14.某加工厂用某原料由车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出‎7千克A产品，每千克A产品获利40元．乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出‎4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天功能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为（  ）‎ A. 甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱       B. 甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱 C. 甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱       D. 甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱 ‎15.已知正项数列{an}的前n项和为Sn ， 且 = ，a1=m，现有如下说法： ‎ ‎①a2=5；‎ ‎②当n为奇数时，an=3n+m﹣3；‎ ‎③a2+a4+…+a2n=3n2+2n．‎ 则上述说法正确的个数为（   ）‎ A. 0个                                       B. 1个                                       C. 2个                                       D. 3个 ‎16.已知是定义在上的奇函数，满足,当时, ， 则函数在区间上的零点个数是（  ）‎ A. 3                                           B. 5                                           C. 7                                           D. 9‎ ‎17.已知在 中， 是边 上的一个定点，满足 ，且对于边 上任意一点 ，恒有 ，则（    ） ‎ A.                             B.                             C.                             D. ‎ ‎18.下列说法中：⑴若向量 ， 则存在实数 ， 使得； ⑵非零向量 ， 若满足 ， 则  ⑶与向量 ， 夹角相等的单位向量 ⑷已知,若对任意,则一定为锐角三角形。 其中正确说法的序号是(   )‎ A. (1)(2)                                    B. (1)(3)                                    C. (2)(4)                                    D. (2)‎ ‎19.已知f（x）=x2+3x+1，g（x）= +x，若h（x）=f（x）﹣g（x）恰有两个零点，则实数a的取值为（   ） ‎ A. 1                                B.                                 C. 1或                                 D. ‎ ‎20.已知函数,对任意实数x都有成立，若当时，恒成立，则b的取值范围是(      )‎ A.                          B. 或                          C.                          D. 不能确定 二、填空题（共10题；共20分）‎ ‎21.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S3=﹣3，S7=7，则S5=________． ‎ ‎22.化简： =________． ‎ ‎23.已知幂函数f（x）=xα的图象过点（4，2），则α=________． ‎ ‎24.角度制与弧度制的互化：210°=________；﹣ ________． ‎ ‎25.在0°～180°范围内，与﹣950°终边相同的角是________． ‎ ‎26.方程cos2x+sinx=1在（0，π）上的解集是 ________ ‎ ‎27.若“ ”是“ ”的必要不充分条件，则 的最大值为________． ‎ ‎28.函数 的定义域是________； 的解集是________. ‎ ‎29.在△ABC中，P在△ABC的三边上，MN是△ABC外接圆的直径，若AB=2，BC=3，AC=4，则 • 的取值范围是________． ‎ ‎30.已知向量 =（1，﹣2），与 垂直的单位向量是________． ‎ 三、解答题（共6题；共40分）‎ ‎31.已知向量 ， ． （Ⅰ）若 ， 共线，求x的值； （Ⅱ）若 ⊥ ，求x的值； （Ⅲ）当x=2时，求 与 夹角θ的余弦值． ‎ ‎32.近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重．大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病．为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如下的列联表： ‎ 患心肺疾病 不患心肺疾病 合计 男 ‎20‎ ‎5‎ ‎25‎ 女 ‎10‎ ‎15‎ ‎25‎ 合计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎（Ⅰ）用分层抽样的方法在患心肺疾病的人群中抽6人，其中男性抽多少人？ （Ⅱ）在上述抽取的6人中选2人，求恰有一名女性的概率； （Ⅲ）为了研究心肺疾病是否与性别有关，请计算出统计量K2 ， 你有多大的把握认为心肺疾病与性别有关？ 下面的临界值表供参考：‎ P（K2≥k）‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎（参考公式 ，其中n=a+b+c+d） ‎ ‎33.设数列{an}的前n项和为Sn满足2Sn=an+1﹣2n+1+1，n∈N* ， 且a1 ， a2+5，a3成等差数列． ‎ ‎（1）求a1的值； ‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式． ‎ ‎34.如图，在底面是正方形的四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点． ‎ ‎（1）求证：BD⊥FG； ‎ ‎（2）确定点G在线段AC上的位置，使FG∥平面PBD，并说明理由； ‎ ‎（3）当二面角B﹣PC﹣D的大小为 时，求PC与底面ABCD所成角的正切值． ‎ ‎35.已知函数 . ‎ ‎（1）讨论 的单调性； ‎ ‎（2）若 ，且函数 只有一个零点，求 的最小值. ‎ ‎36.已知函数 . ‎ ‎（1）判断函数 的奇偶性，并说明理由； ‎ ‎（2）若 在 上的最小值为3，求实数 的值以及相应的的值. ‎ 答案解析部分 一、单选题 ‎1.【答案】 A ‎ ‎2.【答案】 D ‎ ‎3.【答案】C ‎ ‎4.【答案】B ‎ ‎5.【答案】 C ‎ ‎6.【答案】 C ‎ ‎7.【答案】B ‎ ‎8.【答案】 D ‎ ‎9.【答案】 D ‎ ‎10.【答案】 C ‎ ‎11.【答案】A ‎ ‎12.【答案】A ‎ ‎13.【答案】 C ‎ ‎14.【答案】 B ‎ ‎15.【答案】 D ‎ ‎16.【答案】 D ‎ ‎17.【答案】 D ‎ ‎18.【答案】 D ‎ ‎19.【答案】B ‎ ‎20.【答案】 B ‎ 二、填空题 ‎21.【答案】 0 ‎ ‎22.【答案】 1 ‎ ‎23.【答案】 ‎ ‎24.【答案】 ；﹣450° ‎ ‎25.【答案】 130° ‎ ‎26.【答案】{ ， }  ‎ ‎27.【答案】 -1 ‎ ‎28.【答案】 ； ‎ ‎29.【答案】2 ‎ ‎30.【答案】 （ ， ）或（﹣ ，﹣ ） ‎ 三、解答题 ‎31.【答案】解：（ I）根据题意，向量 ， ，若 ，则有﹣2x=4，解可得x=﹣2．      （ II）若 ，则有 • =0，又由向量 ， ，则有4×x+（﹣2）×1=0，即4x﹣2=0，解可得 ，     （ III）根据题意，若 ，则有 =（8，0）， ，∴ ． ‎ ‎32.【答案】解：（I）在患心肺疾病的人群中抽6人，则抽取比例为 = ， ∴男性应该抽取20× =4人 （II）在上述抽取的6名学生中，女性的有2人，男性4人．女性2人记A，B；男性4人为c，d，e，f，则从6名学生任取2名的所有情况为：（A，B）、（A，c）、（A，d）、（A，e）、（A，f）、（B，c）、（B，d）、（B，e）、（B，f）、（c，d）、（c，e）、（c，f）、（d，e）、（d，f）、（e，f）共15种情况，其中恰有1名女生情况有：（A，c）、（A，d）、（A，e）、（A，f）、（B，c）、（B，d）、（B，e）、（B，f），共8种情况， 故上述抽取的6人中选2人，恰有一名女性的概率概率为P= ． （III）∵K2≈8.333，且P（k2≥7.879）=0.005=0.5%， 那么，我们有99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的 ‎ ‎33.【答案】 （1）解：在2Sn=an+1﹣2n+l+1中， ‎ 令n=1得：2S1= ，即a2=2a1+3  ①‎ 令n=2得： ，即a3=6a1+13  ②‎ 又2（a2+5）=a1+a3 ③‎ 联立①②③得：a1=1‎ ‎ （2）解：由2Sn=an+1﹣2n+l+1，得： ‎ ‎ ，‎ 两式作差得 ，‎ 又a1=1，a2=5满足 ，‎ ‎∴ 对n∈N*成立．‎ ‎∴ ．‎ ‎∴ ．‎ 则 ‎ ‎34.【答案】 （1）证明：∵PA⊥面ABCD，四边形ABCD是正方形，其对角线BD，AC交于点E， ‎ ‎∴PA⊥BD，AC⊥BD，‎ ‎∴BD⊥平面PAC，‎ ‎∵FG⊂平面PAC，‎ ‎∴BD⊥FG 或用向量方法：‎ 解：以A为原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，设正方形ABCD的边长为1，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，a）（a＞0），‎ E（ ），F（ ），G（m，m，0）（0＜m＜ ）‎ ‎ =（﹣1，1，0）， =（ ）， × =﹣m+ +m﹣ +0=0，‎ ‎∴BD⊥FG ‎ （2）解：当G为EC中点，即AG= AC时，FG∥平面PBD， ‎ 理由如下：‎ 连接PE，由F为PC中点，G为EC中点，知FG∥PE，‎ 而FGË平面PBD，PE⊂平面PBD，‎ 故FG∥平面PBD．‎ 或用向量方法：‎ 要使FG∥平面PBD，只需FG∥EP，而 =（ ），由 = 可得 ，‎ 解得l=1，m= ，‎ ‎∴G（ ， ，0），∴ ，‎ 故当AG= AC时，FG∥平面PBD ‎ （3）解：作BH⊥PC于H，连接DH， ‎ ‎∵PA⊥面ABCD，四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴PB=PD，‎ 又∵BC=DC，PC=PC，‎ ‎∴△PCB≌△PCD，‎ ‎∴DH⊥PC，且DH=BH，‎ ‎∴∠BHD就是二面角B﹣PC﹣D的平面角，‎ 即∠BHD= ，‎ ‎∵PA⊥面ABCD，∴∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角 连接EH，则EH⊥BD，∠BHE= ，EH⊥PC，‎ ‎∴tan∠BHE= ，而BE=EC，‎ ‎∴ ，∴sin∠PCA= ，∴tan∠PCA= ，‎ ‎∴PC与底面ABCD所成角的正切值是 ‎ 或用向量方法：‎ 设平面PBC的一个法向量为 =（x，y，z），‎ 则 ，而 ， ，‎ ‎∴ ，取z=1，得 =（a，0，1），同理可得平面PDC的一个法向量为 =（0，a，1），‎ 设 ， 所成的角为β，则|cosβ|=|cos |= ，即 = ，∴ ，∴a=1‎ ‎∵PA⊥面ABCD，∴∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角，‎ ‎∴tan∠PCA= ‎ ‎35.【答案】 （1）解：由题意可知 ， . ‎ 当 时， 在 上单调递增；‎ 当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.‎ ‎ （2）解：解法一：由题意可知 ，且 . ‎ 令 ，‎ 则 .‎ 记 ，（*）‎ 当 时， ，与 相矛盾，此时（*）式无解；‎ 当 时， 无解；‎ 当 时，（*）式的解为 ，此时 有唯一解 ；‎ 当 时， ‎ ‎ ，‎ 所以（*）式只有一个负根 ， 有唯一解，故 的最小值为1.‎ 解法二：由题得 ，‎ 令 ，则 .‎ 再令 ，则 .‎ 记 ，‎ 函数 和函数 的图象如图所示：‎ ‎    ‎ 当 ，即 时，显然不成立；‎ 当 ，即 时，由 ，得方程 存在唯一解 ，且 .‎ 此时 亦存在唯一解 .‎ 综上， 的最小值为1.‎ ‎36.【答案】 （1）解：由题意知， 的定义域为 ， ， ‎ 当 时， ，则 为偶函数；‎ 当 时， ，则 为奇函数；‎ 当 时， 且 ，故此时 为非奇非偶函数.‎ ‎ （2）解：设 ，由题意知， 在 最小值为3.则 . ‎ 当 时， ，则 在 递增，此时， 最小值 ，‎ 即 ，解得 与 矛盾，故舍去；‎ 当 时，令 ，解得 或 （舍去）；当 ，即 时，‎ ‎ 在 恒成立，由之前的讨论可知，此时 与 矛盾，舍去；‎ 当 ，即 时，在 上 ，在 上 ，‎ 所以在 上 递减，在 上 递增，‎ 则当 时， 有最小值，即 ，解得 ，此时 .‎