河北省宣化一中张北一中2019-2020学年高一上学期期中考试联考数学试题

河北省宣化一中张北一中2019-2020学年高一上学期期中考试联考数学试题

宣张2019级高一年级期中联考 数学试卷 一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.已知集合仅有两个子集，则实数的取值构成的集合为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为集合仅有两个子集,可知集合仅有一个元素.对分类讨论,即可求得的值.‎ ‎【详解】由集合仅有两个子集 可知集合仅有一个元素.‎ 当时,可得方程的解为,此时集合,满足集合仅有两个子集 当时,方程有两个相等的实数根,则,解得或,代入可解得集合或.满足集合仅有两个子集 综上可知, 的取值构成的集合为 故选:B ‎【点睛】本题考查了集合的元素的特征,子集个数的计算,属于基础题.‎ ‎2.已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抽象函数定义域的求法,即可求得的定义域.‎ ‎【详解】函数的定义域为 即 所以的定义域满足 解得 即的定义域为 故选:A ‎【点睛】本题考查了抽象函数定义域的求法,定义域指的是自变量的取值范围,进而解不等式即可求解,属于基础题.‎ ‎3.集合，，则下列关系式正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先分别求得集合A与集合B,进而即可得集合A与集合B的关系.‎ 详解】集合,‎ 则,‎ 对比四个选项可知,A、B、C均错误.‎ 因为 所以D正确 故选:D ‎【点睛】本题考查了集合的交集运算,注意集合表示的元素属性和特征,属于基础题.‎ ‎4.下列各组函数中是同一个函数有（ ）‎ ‎①与； ②与；‎ ‎③与； ④与 A. ①② B. ①③ C. ③④ D. ①③④‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据相同函数的判断方法,从定义域和解析式方面入手,即可判断两个函数是否为同一函数.‎ ‎【详解】对于①,定义域为;定义域为.两个函数定义域相同,但解析式不同,所以①不是同一函数.‎ 对于②,定义域为R, ,定义域为R.两个函数定义域相同,但解析式不同,所以②不是同一函数.‎ 对于③,定义域为R, 定义域为R.两个函数定义域相同,解析式相同,所以③为同一函数.‎ 对于④,定义域为R,定义域为R,两个函数定义域相同,解析式相同,所以④为同一函数.‎ 综上可知, ③④为同一函数.‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查了函数定义,判断函数是否为同一函数的方法,属于基础题.‎ ‎5.幂函数的图象过点，则（ ）‎ A. B. ‎4 ‎C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出幂函数解析式,代入所过点的坐标.求得解析式,即可求得的值.‎ ‎【详解】因为为幂函数 所以设 因为的图象过点 代入可得 解得 ‎ 所以 则 故选:C ‎【点睛】本题考查了幂函数解析式的求法,求函数值,属于基础题.‎ ‎6.下列不等式正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数函数、对数函数的图像与性质,结合中间值法即可比较大小.‎ ‎【详解】对于,由对数函数的图像与性质可知 对于,由指数函数的图像与性质可知 对于,由指数函数的图像与性质可知 综上可知, ‎ 故选:A ‎【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的图像与性质的应用,函数值的大小比较,属于基础题.‎ ‎7.在同一直角坐标系中，函数的图像可能是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过分析幂函数和对数函数的特征可得解.‎ ‎【详解】函数，与，‎ 答案A没有幂函数图像，‎ 答案B.中，中，不符合，‎ 答案C中，中，不符合，‎ 答案D中，中，符合，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了幂函数和对数函数的图像特征，属于基础题.‎ ‎8.设（其中为常数），若，则（ ）‎ A. 31 B. ‎17 ‎C. 24 D. －31‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 令 ，则 为奇函数． ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ,故选A ‎9.已知函数（且）的图象恒过定点，若点也在函数的图象上，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得函数所过的定点,将定点坐标代入可求得.将化简,再代入,结合对数的运算即可求解.‎ ‎【详解】函数（且）的图象恒过定点 可得 因为也在函数的图象上 代入可得,解得 ‎ 所以 因为 则 故选:A ‎【点睛】本题考查了对数函数过定点,指数型函数解析式的求法,根据对数的运算进行化简求值,属于基础题.‎ ‎10.已知函数是偶函数，当时，函数单调递减，设，，，则的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数是偶函数,可知函数图像关于成轴对称.结合当时,函数单调递减,即可比较大小.‎ ‎【详解】因为函数是偶函数,‎ 则函数图像关于成轴对称 且当时,函数单调递减 所以当时,函数单调递增 ‎,,,‎ 由在时,函数单调递增可得 故选:A ‎【点睛】本题考查了抽象函数对称性与单调性的综合应用,由函数单调性比较函数值大小,属于基础题.‎ ‎11.已知，，则下列结论正确的是（ ）‎ A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 是偶函数 D. 是奇函数 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：的定义域关于原点对称，又，所以为偶函数，而为非奇非偶函数，故选项A，B错误；选项C中函数定义域不关于原点对称，所以为非奇非偶函数，故选项C错误；‎ 因,故,故,应选D.‎ 考点：函数的奇偶性及判定.‎ ‎12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:设，用表示不超过 的最大整数,则称为高斯函数,例如:， ，已知函数，则函数的值域是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用分离常数法可得,求得的值域, 由表示不超过的最大整数,即可求得函数的值域.‎ ‎【详解】 ，由于 ‎ ‎ ‎ 的值域为:‎ ‎ 根据表示不超过的最大整数 ‎ 函数的值域是.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题主要考查新定义函数的理解和运用,考查分离常数法求函数的值域,考查化归与转化的数学思想方法.解题关键是在解答时要先充分理解的含义.‎ 二．填空题（共4 小题，每题5分，共20分）‎ ‎13.若，则________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将指数式化为对数式，再取倒数相加即得．‎ ‎【详解】∵‎2a＝5b＝10，‎ ‎∴a＝log2 10，b＝log5 10，‎ ‎∴lg2，lg 5‎ ‎∴lg2+lg5＝lg（2×5）＝1，‎ 故答案为1．‎ ‎【点睛】本题考查了对数的运算性质．属基础题．‎ ‎14.关于的不等式的解集为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二次根式有意义的条件及不等式,即可求解.‎ ‎【详解】因为的不等式 化简可得 则解不等式组可得 即 所以不等式的解集为 故答案为: ‎ ‎【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件,解二次根式不等式,属于基础题.‎ ‎15.已知为上的奇函数，且当时，，则当时，___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数为R上的奇函数,及时的解析式,即可求得时的解析式.‎ ‎【详解】当时,,‎ 令,则 所以 因为为上的奇函数 所以 即当时 故答案为: ‎ ‎【点睛】本题考查了奇函数的性质及应用,根据部分解析式求另外一部分解析式的方法,属于基础题.‎ ‎16.已知在区间上单调递减，则实数的取值范围是____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复合函数单调性的判断方法,结合对数函数的定义域,即可求得的取值范围.‎ ‎【详解】在区间上单调递减 由对数部分为单调递减,且整个函数单调递减可知 在上单调递增,且满足 所以,解不等式组可得 即满足条件的的取值范围为 故答案为: ‎ ‎【点睛】本题考查了复合函数单调性的应用,二次函数的单调性,对数函数的性质,属于中档题.‎ 三．解答题（共6 小题，17题10分，18-22每题12分，共70分）‎ ‎17.化简求值：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据指数幂的运算,化简即可.‎ ‎（2）由对数的运算化简即可得解.‎ ‎【详解】（1）根据指数幂的运算,化简 ‎（2）由对数的运算,化简 ‎【点睛】本题考查了分数指数幂的运算与化简,对数的运算性质的应用,属于基础题.‎ ‎18.已知函数=的定义域为=的定义域为(其中为常数).‎ ‎(1)若,求及;‎ ‎(2)若,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1);=.(2)‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先根据偶次根式非负得不等式，解不等式得A，B，再结合数轴求交，并，补（2）先根据得,再根据数轴得实数的取值范围.‎ 试题解析：(1)若,则由已知有 因此;‎ ‎,‎ 所以=.‎ ‎(2)∴,‎ 又==‎ ‎∴‎ ‎19.函数是定义在上的奇函数，且.‎ ‎（1）确定的解析式；‎ ‎（2）判断在上的单调性，并用定义证明；‎ ‎（3）解关于的不等式.‎ ‎【答案】（1），；（2）增函数，证明见解析；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据奇函数性质即可求得.由代入即可求得.即可得的解析式.‎ ‎（2）根据定义,通过作差即可证明函数在上为单调递增函数.‎ ‎（3）根据奇函数的性质及（2）中函数的单调性,结合定义域解不等式即可求得的取值范围.‎ ‎【详解】（1）由函数是定义在上的奇函数知 所以解得,‎ 经检验,时是上的奇函数,满足题意 又 解得 故,.‎ ‎（2）在上为增函数.证明如下：‎ 在任取且 则,‎ 因为,,,,‎ 所以 即,‎ 所以在上为增函数.‎ ‎（3）因为为奇函数所以 不等式可化为,‎ 即 又在上是增函数,‎ 所以,‎ 解得 所以关于不等式解集为 ‎【点睛】本题考查了奇函数的性质及简单应用,利用定义证明函数的单调性,由函数的奇偶性及单调性解不等式,属于中档题.‎ ‎20.某厂生产某种产品的月固定成本为10(万元)，每生产件，需另投入成本为（万元）．当月产量不足30件时，（万元）；当月产量不低于30件时，（万元）．因设备问题，该厂月生产量不超过50件．现已知此商品每件售价为5万元，且该厂每个月生产的商品都能当月全部销售完．‎ ‎（1）写出月利润（万元）关于月产量（件）的函数解析式；‎ ‎（2）当月产量为多少件时，该厂所获月利润最大？‎ ‎【答案】(1) ；（2）当月产量为12件时，该厂所获月利润最大.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据已知条件通过的分段，列出函数的解析式即可；‎ 利用分段函数的解析式，分别求解函数的最大值，即可得到结论．‎ 解析：(1)当且时,‎ 当且时, ‎ 所以 ‎ ‎（2）当且时,在上递增，在上递减， ‎ 此时 当且时, 在上递增，此时 因为，所以 答：当月产量为12件时，该厂所获月利润最大.‎ ‎21.已知函数，（，）.‎ ‎（1）若函数的定义域为，求的最小值；‎ ‎（2）当时，求使不等式成立的的取值范围.‎ ‎【答案】（1）当,；当时,；（2）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）将配成顶点式,结合对称轴与定义域的关系,即可求得的最小值.‎ ‎（2）将代入,结合对数函数的单调性及定义域,解不等式组即可求解.‎ ‎【详解】（1）将二次函数配成顶点式可得,定义域为 当,；‎ 当时,‎ ‎（2）当,不等式可化为 即,解不等式得 综上,的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题考查了二次函数在某区间上的最值求法,分类讨论思想的应用,‎ 对数函数单调性的应用,属于基础题.‎ ‎22.已知函数f(x)=‎ ‎ 解关于x的不等式f(2x)+(a-1)f(x)>a ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：先代入因式分解得，再根据a的大小进行讨论：两个讨论点，一个是零，一个是，最后求出解集 试题解析： ‎ 当 时， ；解集为 ‎ 当 时，；解集为 当 时， ；解集为 当 时， ；解集为