2021届课标版高考文科数学大一轮复习课件：§6-4 数列的综合应用（讲解部分）

2021届课标版高考文科数学大一轮复习课件：§6-4 数列的综合应用（讲解部分）

专题六　数　列 §6.4 　数列的综合应用 高考文数 考点一　数列求和 1.公式法 直接用等差、等比数列的求和公式求解. 2.倒序相加法 在数列{ a n }中,与首末两端等“距离”的两项和相等或可构成能求和的新 数列,可用倒序相加法求此数列的前 n 项和.如等差数列的前 n 项和就是用此 方法推导的. 考点清单 3.错位相减法 在数列{ a n b n }中,{ a n }是等差数列,{ b n }是等比数列,可用错位相减法求此数 列的前 n 项和.如等比数列的前 n 项和就是用此方法推导的. 4.裂项相消法 把数列的每一项拆成两项之差,求和时有些部分可以相互抵消,从而达到求和的目的. 常见的裂项方法: 数列( n 为正整数) 裂项方法   ( k 为非零常数)   =     ( k ≠ 0)     =         =   -     ( a >0,且 a ≠ 1) log a   =log a ( n +1)- log a n ( a >0且 a ≠ 1) 6.并项求和法 一个数列的前 n 项和中,可两两结合求解,则称为并项求和.形如 a n =(-1) n f ( n ) 类型,可采用并项求和. 5.分组转化求和法 若一个数列由若干个等差数列或等比数列组成,则求和时可用分组转化法 分别求和再相加减. 考点二　数列的综合应用 数列应用题的常见模型 1.等差模型:当后一个量与前一个量的差是一个固定量时,该模型是等差模 型,这个固定量就是公差. 2.等比模型:当后一个量与前一个量的比是一个固定的数时,该模型是等比 模型,这个固定的数就是公比. 3.递推模型:当题目中给出的前后两项之间的关系不固定,随项的变化而变 化时,应考虑是 a n 与 a n +1 之间的递推关系,还是 S n 与 S n +1 之间的递推关系. 方法　 数列求和的方法 方法技巧 常见类型及方法 (1) a n = kn + b ,利用等差数列前 n 项和公式直接求解; (2) a n = a 1 · q n -1 ,利用等比数列前 n 项和公式直接求解,但 要注意对 q 分 q =1与 q ≠ 1两种情况进行讨论; (3) a n = b n + c n ,数列{ b n }、{ c n }是可以直接求和的数列,采用分组求和法求{ a n } 的前 n 项和; (4) a n = b n · c n ,{ b n }是等差数列,{ c n }是等比数列,采用错位相减法求{ a n }的前 n 项 和; (5)可化为 a n = f ( n )- f ( n -1)形式的数列,可采用裂项相消法求{ a n }的前 n 项和; (6) a n - k + a k = cb n ,可考虑用倒序相加法求和; (7) a n =(-1) n f ( n ),可将相邻两项合并求解,即采用“并项求和法”. 例1    (2019全国Ⅰ卷高三五省优创名校联考,17)设数列{ a n }的前 n 项和为 S n , a 1 =3,且 S n = na n +1 - n 2 - n . (1)求{ a n }的通项公式; (2)若数列{ b n }满足 b n =   ,求{ b n }的前 n 项和 T n . 　       解析　(1)当 n =1时, a 2 - a 1 =2; 当 n ≥ 2时,由 S n = na n +1 - n 2 - n 得 S n -1 =( n -1) a n -( n -1) 2 -( n -1), 两式相减得 a n = na n +1 -( n -1) a n -2 n , 整理得 a n +1 - a n =2. 综上可知,数列{ a n }是首项为3、公差为2的等差数列,从而得 a n =2 n +1. (2)由已知及(1)得 b n =   =     , 所以 T n =     =     =   -   . 例2    (2018山西太原五中模拟,19)已知数列{ a n }的首项 a 1 =1,前 n 项和为 S n , a n +1 =3 S n +1. (1)求数列{ a n }的通项公式; (2)设 b n =log 2   ,求数列   的前 n 项和 T n . 解析　(1)由 a n +1 =3 S n +1,得 a n =3 S n -1 +1( n ≥ 2), 两式相减得 a n +1 - a n =3( S n - S n -1 )=3 a n ( n ≥ 2), 故 a n +1 =4 a n ( n ≥ 2), 因为 a 1 =1, a 2 =3 S 1 +1=3 a 1 +1=4, 所以   =4. 所以{ a n }是首项为1,公比为4的等比数列, a n =4 n -1 ( n ∈N * ). (2)由(1)知 a n =4 n -1 ,故 b n =log 2   =log 2 2 n = n , 所以   =   . T n =1 ×   +2 ×   +3 ×   +4 ×   + … + n ×   ①,   T n =1 ×   +2 ×   +3 ×   +4 ×   + … +( n -1) ×   + n ×   ②, 由①-②,得   T n =1+   +   +   + … +   - n ×   =   - n ×   , ∴ T n =   -   ×   .