2020届二轮复习隐零点问题学案（全国通用）

2020届二轮复习隐零点问题学案（全国通用）

‎ 专题08 隐零点问题 有一种零点客观存在，但不可解，然而通过研究其取值范围、利用其满足的等量关系实现消元、换元以及降次达到解题的目的.这类问题就是隐零点问题.‎ 类型一 根据隐零点化简求范围 典例1. 已知函数的图像在点(其中为自然对数的底数)处的切线斜率为3. ‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若，且对任意恒成立，求的最大值；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解析：（1），由解得；‎ ‎（2），，， ‎ 令，有，那么. ‎ 不妨设，由，，则可知，且. ‎ 因此，当时，，；当时，，；‎ 即可知， ‎ 所以，得到满足条件的的最大正整数为3.‎ 类型二 根据隐零点分区间讨论 典例2 已知函数，为何值时，方程有唯一解.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎ ， ‎ 当时，有； ‎ 设，；又，，不妨设，‎ 则可知. ‎ 当时，得到； ，‎ 令，易知，且时，；时，；‎ ‎ 综上可知在区间上为减函数，在区间上为增函数；画图函数图像：‎ ‎ 因此，可知所求的范围为. ‎ 类型三 根据隐零点构造新函数 典例3 已知函数，当时，，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，首先，当时，在上恒成立，则有．‎ 其次，当时，令，，由题1可知，当，即时，．此时,同样有．再者，当时，函数与相交于点和．同时，当时，；当时，. 即可知，将 代入得到：‎ ‎ ，令，则．‎ 又由变式2可知，那么，即在区间上递减，因此有，与矛盾，故不合题意．‎ 综上可知，满足题意的实数a的取值范围为．‎ ‎1．已知函数，.（且为常数，为自然对数的底）‎ ‎（1）讨论函数的极值点个数；‎ ‎（2）当时，对任意的恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）当时，无极值点；当时，有且仅有1个极值点；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）的定义域为，‎ ‎，‎ 因为函数在上恒成立，‎ 所以函数在区间上单调递增，且值域为，‎ ‎①当时，在区间上恒成立，‎ 即，‎ 故在上单调递增，‎ 所以无极值点；‎ ‎②当时，‎ 方程有唯一解，设为，‎ 当时，，函数单调递减，‎ 当时，，函数单调递增，‎ 所以是函数的极小值点，‎ 即函数只有1个极值点.‎ ‎（2）当时，不等式对任意的恒成立，‎ 即对任意的恒成立，‎ 即对任意的恒成立，‎ 记，‎ ‎，‎ 记，‎ 因为在恒成立，‎ 所以在上单调递增，‎ 且，， ‎ 所以存在使得，‎ 且时，，，函数单调递减；‎ 当时，，，函数单调递增；.‎ 所以，即，‎ 又因为 ‎，‎ ‎ ，‎ ‎，‎ 所以，‎ 因此 ，‎ 所以，解得.‎ 综上，实数的取值范围是.‎ ‎2．已知 .‎ ‎（1）若是上的增函数，求的取值范围；‎ ‎（2）若函数有两个极值点，判断函数零点的个数.‎ ‎【答案】(1) (2) 三个零点 ‎【解析】‎ ‎（1）由得，‎ 由题意知恒成立，即，设，，‎ 时，递减，时，，递增；‎ 故，即，故的取值范围是.‎ ‎（2）当时，单调，无极值；‎ 当时，，‎ 一方面，，且在递减，所以在区间有一个零点.‎ 另一方面，，设 ，则，从而 在递增，则，即，又在递增，所以 在区间有一个零点.‎ 因此，当时在和各有一个零点，将这两个零点记为，‎ ‎ ，当时，即；当时，即 ‎；当时，即：从而在递增，在 递减，在递增；于是是函数的极大值点，是函数的极小值点.‎ 下面证明：，‎ 由得，即，由 得 ，‎ 令，则，‎ ‎①当时，递减，则，而，故；‎ ‎②当时，递减，则，而，故；‎ 一方面，因为，又，且在递增，所以在 上有一个零点，即在上有一个零点.‎ 另一方面，根据得，则有：‎ ‎ ，‎ 又，且在递增，故在上有一个零点，故在 上有一个零点.‎ 又，故有三个零点.‎ ‎3．已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）令 ‎①当时，求函数在点处的切线方程；‎ ‎②若时，恒成立，求的所有取值集合与的关系；‎ ‎（Ⅱ）记，是否存在，使得对任意的实数，函数在上有且仅有两个零点？若存在，求出满足条件的最小正整数，若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）①；②见解析；（2）2‎ ‎【解析】‎ ‎（1）①由题意，可得，‎ 则，所以，‎ 所以在处的切线方程为 ‎②由，即 则，，‎ 因为在上单调递减，所以，‎ 存在，使得，‎ 函数在上单调递增，在上单调递减，，‎ 由得，，‎ ‎∴，所以的所有取值集合包含于集合.‎ ‎（Ⅱ）令 ，‎ ‎（1），，‎ 由于，，，，，‎ 由零点存在性定理可知，，函数在定义域内有且仅有一个零点. ‎ ‎（2），，，，，‎ 同理可知，函数在定义域内有且仅有一个零点.‎ ‎（3）假设存在，使得，‎ 则，消，得.‎ 令，，所以单调递增.‎ ‎∵，，∴，‎ 此时，‎ 所以满足条件的最小正整数.‎ ‎4．已知函数（为自然对数的底数）．‎ ‎（1）记，求函数在区间上的最大值与最小值；‎ ‎（2）若，且对任意恒成立，求的最大值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）∵，‎ ‎∴，‎ 令，则， ‎ 所以函数在区间上单调递减，在区间单调递增， ‎ ‎∴，‎ ‎． ‎ ‎（2）∵对任意恒成立，‎ ‎∴对任意恒成立，‎ ‎∴对任意恒成立．‎ 令，则．‎ 由于，所以在上单调递增．‎ 又，，‎ 所以存在唯一的，使得，且当时，，时，．‎ 即在单调递减，在上单调递增．‎ ‎∴． ‎ 又，即，∴．‎ ‎∴．‎ ‎∵，∴．‎ 又∵对任意恒成立，∴，‎ 又，∴．‎ ‎5．己知函数 .‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若函数有两个零点，，求的取值范围，并证明.‎ ‎【答案】(1)见解析；(2)见证明 ‎【解析】‎ ‎（1）解：因为，函数的定义域为，‎ 所以． ‎ 当时，，‎ 所以函数在上单调递增． ‎ 当时，由，得（负根舍去），‎ 当时，，当时，，‎ 所以函数在上单调递减；在上单调递增． ‎ 综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增 ‎（2）先求的取值范围：‎ 方法1:由（1）知，当时，在上单调递增，不可能有两个零点，不满足条件．‎ 当时，函数在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以，‎ 要使函数有两个零点，首先，解得．‎ 因为，且，‎ 下面证明．‎ 设，则．‎ 因为，所以．‎ 所以在上单调递增，‎ 所以 ．‎ 所以的取值范围是． ‎ 方法2:由，得到． ‎ 设，则．‎ 当时，，当时，，‎ 所以函数在上单调递减，在上单调递增．‎ 所以由 ． ‎ 因为时，，且，‎ 要使函数有两个零点，必有．‎ 所以的取值范围是． ‎ 再证明：‎ 方法1:因为，是函数的两个零点，不妨设，令，则．‎ 所以即．‎ 所以，即，，．‎ 要证，即证． ‎ 即证，即证．‎ 因为，所以即证，‎ 或证 ． ‎ 设，．‎ 即，．‎ 所以．‎ 所以在上单调递减， ‎ 所以．‎ 所以． ‎ 方法2:因为，是函数有两个零点，不妨设，令，则．‎ 所以即．‎ 所以，即，，．‎ 要证，需证． ‎ 即证，即证．‎ 因为，所以即证 ． ‎ 设，‎ 则，．‎ 所以在上单调递减， ‎ 所以 ．‎ 所以． ‎ 方法3:因为，是函数有两个零点，不妨设，令，则．‎ 所以即． ‎ 要证，需证． ‎ 只需证．‎ 即证，即证．‎ 即证． ‎ 因为，所以，即． ‎ 所以．‎ 而，‎ 所以成立．‎ 所以．‎ 方法4:因为，是函数有两个零点，不妨设，令，则．‎ 由已知得即． ‎ 先证明，即证明 ．‎ 设，则．‎ 所以在上单调递增，所以，所证不等式成立． ‎ 所以有 ．‎ 即．‎ 因为（），‎ 所以，即．‎ 所以． ‎ 方法5:要证，其中 ， ，‎ 即证． ‎ 利用函数的单调性，只需证明．‎ 因为，所以只要证明，其中 ． ‎ 构造函数，，‎ 则． ‎ 因为 ‎（利用均值不等式）‎ ‎，‎ 所以在上单调递减． ‎ 所以．‎ 所以在上恒成立．‎ 所以要证的不等式成立．‎ ‎6．已知函数．（无理数）‎ ‎（1）若在单调递增，求实数的取值范围；‎ ‎（2）当时，设函数，证明：当时，．（参考数据）‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）函数f（x）的定义域为（0，＋∞）‎ ‎ 在单调递增，‎ ‎ 在（1，＋∞）恒成立，‎ 设h（x）＝（x＋x2）ex－1－，‎ 由题意h（x）≥0在（1，＋∞）恒成立，h'（x）＝ex－1（x2＋3x＋1），‎ 当x∈（1，＋∞）时，x2＋3x＋1＞0，‎ 故h'（x）＞0，h（x）在（1，＋∞）单调递增，‎ 所以h（x）＞h（1）＝2－，故2－≥0， ≤2，‎ 综上∈（－∞，2]．‎ ‎（2）当＝0时，f（x）＝xex－1，‎ g（x）＝ex－x2－x，‎ g'（x）＝ex－2x－1，‎ 设m（x）＝ex－2x－1，‎ 则m'（x）＝ex－2，令m'（x）＝0，解得x＝ln2，‎ 当x∈（0，ln2）时，m'（x）＜0，m（x）单调递减，‎ 当x∈（ln2，＋∞）时，m'（x）＞0，m（x）单调递增．‎ 因此m（x）≥m（ln2）＝eln2－2ln2－1＝1－2ln2＜0，‎ 即g'（ln2）＝1－2ln2＜0，，‎ 又g'（0）＝0，，‎ 故存在x0∈（ln2，），使g'（x0）＝0，‎ 即，．‎ 当x∈（0，x0）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，‎ x∈（x0，＋∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，‎ ‎，‎ 由于x0∈（ln2，），‎ 函数单调递减，‎ 故 所以，当x＞0时，．‎ ‎7．已知函数 ‎（1）若，求函数的极值和单调区间；‎ ‎（2）若，在区间上是否存在，使，若存在求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】(1) 函数的单调递减区间为，单调递增区间为 极小值为3，无极大值(2)见解析 ‎【解析】‎ ‎（1）当时， ‎ ‎，且 ‎ 时，时， ‎ ‎ 有极小值 故函数的单调递减区间为，单调递增区间为 ‎ 极小值为3，无极大值.‎ ‎（2） ‎ ‎ ‎ 时，，时 ‎ 为函数的唯一极小值点 又，当时 ‎ ‎ 在区间上若存在，使，则 ，‎ 解得 当时，在为单调减函数，‎ ‎，不存在，使 ‎ 综上所述，在区间上存在，使，此时 ‎8．已知函数 ‎ ‎(1)若=1时，求函数的最小值；‎ ‎(2)若函数 有两个零点，求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）0 （2）‎ ‎【解析】‎ 解：（1）,,则，当时，，函数单调递减，当时，为增，在处取最小值0.‎ ‎（2）由，得，‎ ‎∴当 时，函数在上单调递减，‎ ‎∴当时，在 上最多有一个零点.‎ ‎∵有两个零点，∴ .‎ 令 ，，显然有一正根和一负根，‎ ‎∴在上只有一个零点，‎ 设这个零点为 ，当 时，；‎ 当时，；‎ ‎∴函数在上单调递减，在上单调递增，‎ 要使函数在上有两个零点，只需要函数的极小值 ，‎ 即,‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ 可得在上是增函数，且 ，‎ ‎∴，‎ 得 ‎ ‎∴,即.‎ ‎9．设函数，其中为自然对数的底数.‎ ‎（1）若，求的单调区间；‎ ‎（2）若，，求证：无零点.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎（1）若，则，‎ ‎.‎ 当时，，单调递减，‎ 当时，，单调递增.‎ 的单调递减区间为，单调递增区间为.‎ ‎（2）由可知，，‎ 当时，，显然没有零点；‎ 当时，设，，在单调递增，‎ 又h（0）＝﹣a＜0，h（2）＝2e﹣a＞0，‎ ‎∴h（x）在（0，2）上存在唯一一个零点，不妨设为x0，则x0a，‎ ‎∴当x∈（0，x0）时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，‎ 即g′（x）＞0，‎ ‎∴g（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，‎ ‎∴g（x）的最小值为g（x0）alnx0，‎ ‎∵x0a，∴﹣1，两边取对数可得x0﹣1＝lna﹣lnx0，即lnx0＝lna+1﹣x0，‎ ‎∴g（x0）a（lna+1﹣x0）ax0﹣alna﹣a≥2a﹣alna﹣a＝a﹣alna，（当且仅当x0＝1时取等号），‎ 令m（a）＝a﹣alna，则m′（a）＝﹣lna，‎ ‎∴当a∈（0，1）时，m′（a）＞0，当a∈（1，e]时，m′（a）＜0，‎ ‎∴m（a）在（0，1）上单调递增，在（1，e]上单调递减．‎ ‎∴当0＜a≤e时，m（a）≥0，当且仅当a＝e时取等号，‎ 由x0a可知当a＝1时，x0＝1，故当a＝e时，x0≠1，故g（x0）＞m（a）≥0，‎ ‎∴g（x0）＞0．‎ ‎∴当0≤a≤e时，g（x）没有零点．‎ ‎10．已知函数（其中是自然对数的底数，，）在点处的切线方程是.‎ ‎（I）求函数的单调区间；‎ ‎（II）设函数，若在上恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（I）递减区间为，单调递增区间为；（II）‎ ‎【解析】‎ ‎（I）由条件可知，对函数求导得，‎ 于是，解得.‎ 所以，，令得，‎ 于是当时，，函数单调递减；‎ 当时，，函数单调递增.‎ 故函数的单调递减区间为，单调递增区间为 ‎（II）由（I）知，‎ 解法1：要使在上恒成立，等价于在上恒成立.‎ 令，则只需即可.‎ ‎.令，‎ 则，所以在上单调递增，‎ 又，，所以有唯一的零点，且，‎ 在上单调递减，在上单调递增，‎ 因，两边同时取自然对数，则有，‎ 即，‎ 构造函数，则，‎ 所以函数在上单调递增，‎ 因，所以，即，‎ 所以 ，即，‎ 于是实数的取值范围是.‎ 解法2：要使在上恒成立，等价于在上恒成立.‎ 先证明，令，则.‎ 于是当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，故（当且仅当时取等号）.‎ 所以当时，有，‎ 所以，即，当且仅当时取等号，‎ 于是实数的取值范围是.‎