2018-2019学年河北省邢台市高一上学期期末考试数学试题（解析版）

2018-2019学年河北省邢台市高一上学期期末考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年河北省邢台市高一上学期期末考试数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】解二次方程，化简集合A，B，进而求并集即可.‎ ‎【详解】‎ 因为，，‎ 所以.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查并集的概念及运算，考查一元二次方程的解法，属于基础题.‎ ‎2．若角的终边上有一点，则（ ）‎ A．3 B． C．1 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用三角函数定义可得a的方程，解之即可.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题.‎ ‎3．已知，，则角的终边在（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】C ‎【解析】利用三角函数式的符号推断角的终边所在象限.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以角在第二或第三象限，‎ 又，所以角在第三或第四象限，‎ 故角在第三象限.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．‎ ‎4．已知幂函数的图像经过点，则（ ）‎ A． B． C． D．1‎ ‎【答案】A ‎【解析】设，点在图像上，解得a值，进而得到结果.‎ ‎【详解】‎ 设，则，‎ 故，‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查幂函数的表达式，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎5．设向量是平面内的一组基底，若向量与共线，则（ ）‎ A．3 B． C．-3 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用向量共线可得，从而可得值.‎ ‎【详解】‎ 因为与共线，所以存在，使得，即，‎ 故，，解得.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查平面向量共线的等价条件，考查函数与方程思想，属于基础题.‎ ‎6．小婷经营一花店，每天的房租、水电等固定成本为100元，每束花的进价为6元，若日均销售量（束）与销售单价（元）的关系为，则当该店每天获利最大时，每束花应定价为（ ）‎ A．15元 B．13元 C．11元 D．10元 ‎【答案】B ‎【解析】设每天获利元，可得，结合二次函数的图像与性质求最值即可.‎ ‎【详解】‎ 设每天获利元，则 由，，得，‎ 故当时，每天获利最大.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分：①读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆错误．③在求解的过程中计算错误.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解．含有绝对值的问题突破口在于分段去绝对值，分段后在各段讨论最值的情况.‎ ‎7．设函数，则下列结论不正确的是（ ）‎ A．的值域为 B．不是单调函数 C．是奇函数 D．是周期函数 ‎【答案】C ‎【解析】利用分段函数的图像与性质逐一判断即可.‎ ‎【详解】‎ 选项显然正确；‎ 因为与的奇偶性相同，所以，故是偶函数，选项不正确；‎ 是以2为周期的周期函数，D选项正确.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数的图像与性质，涉及到函数的值域，函数的单调性，奇偶性，周期性，考查逻辑推理能力与数形结合能力.‎ ‎8．已知，，，则向量在向量方向上的投影是（ ）‎ A．4 B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】求出的坐标，利用即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，，，，‎ 所以.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查了平面向量投影的定义，解题时应根据定义代入计算即可，是基础题．‎ ‎9．函数 的部分图像如图所示，以下说法：‎ ‎①的单调递减区间是，；‎ ‎②的最小正周期是4；‎ ‎③的图像关于直线对称；‎ ‎④的图像可由函数的图像向左平移一个单位长度得到.‎ 正确的个数为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】由图像可知的周期为8，可得，进而得到，结合正弦型函数的图像与性质逐一判断即可.‎ ‎【详解】‎ 由图像可知的周期为8，故，，‎ 将点代入解析式，得，故，所以，‎ 因为，所以，所以，故①②错，③④正确.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 已知函数的图象求解析式 ‎(1).‎ ‎(2)由函数的周期求 ‎(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.‎ ‎10．设，，，则的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】构造函数，利用单调性比较大小即可.‎ ‎【详解】‎ 构造函数，则在上是增函数，‎ 又，，，故.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查实数大小的比较，考查对数函数的单调性，考查构造函数法，属于中档题.‎ ‎11．已知奇函数的图像关于点对称，当时，，则当时，的解析式为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】当时，,结合奇偶性与对称性即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ 因为奇函数的图像关于点对称，所以，‎ 且，所以，故是以为周期的函数.‎ 当时，，故 因为是周期为的奇函数，所以 故，即，‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查求函数的表达式，考查函数的图象与性质，涉及对称性与周期性，属于中档题.‎ ‎12．在中，，，，若为的外心（即三角形外接圆的圆心），且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设分别为的中点，连接，则，，从而得到，坐标化构建m，n的方程组，解之即可.‎ ‎【详解】‎ 设分别为的中点，连接，则，，又，‎ 即，‎ 同理，‎ 因为，‎ 所以，又，‎ 所以，联立方程组，‎ 解得，所以.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查了数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系、三角形外心的性质、向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ 二、填空题 ‎13．已知半径为2的扇形的弦长，则该扇形的弧长是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用勾股定理可知圆心角为直角，结合弧长公式得到结果.‎ ‎【详解】‎ 在中，，‎ 故，故弧长 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查弧长公式，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎14．函数，的最大值为__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】利用函数的单调性即可得到最大值.‎ ‎【详解】‎ 因为在上单调递减，‎ 所以 故答案为：3‎ ‎【点睛】‎ 本题考查一次分式函数的图像与性质，考查单调性的应用，考查常数分离法，属于基础题.‎ ‎15．已知，，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用两角差正切公式即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎,‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两角和与差的正切公式，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎16．若函数恰有2个零点，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】或写成 ‎【解析】对a分类讨论，结合指数函数与二次函数的图像与性质进行分析即可.‎ ‎【详解】‎ ‎①当时，因为当时，，故无零点，‎ 所以，当时，有2个零点，，，故；‎ ‎②当时，因为当时，有1个零点，‎ 所以当时，只能有1个零点，，‎ 故，解得；‎ ‎③当时，无零点 综上，实数的取值范围是.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 ‎(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；‎ ‎(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；‎ ‎(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．‎ 三、解答题 ‎17．已知集合是函数的定义域，集合.‎ ‎（1）当时，求；‎ ‎（2）当时，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】(1) 当时,化简集合A与B，进而求并集即可；‎ ‎（2）由可知，转化为不等式组，即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）依题意得：，‎ 即，解得，即 当时，‎ 所以 ‎（2）集合 由，得，‎ 故，解得.‎ 故实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了集合的包含关系，考查集合的运算以及不等式的解法，考查计算能力，是一道基础题．‎ ‎18．已知为第二象限角，.‎ ‎（1）化简：；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）利用诱导公式化简即可得到结果；‎ ‎（2）利用同角关系即可得到的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为 所以 所以 ‎（2）因为，‎ 所以，‎ 代入得，‎ 因为为第二象限角，所以，‎ 故 ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的恒等变形，考查诱导公式与同角基本关系式，考查计算能力.‎ ‎19．设单位向量的夹角是，且，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求与的夹角.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】(1)利用结合数量积定义即可得到结果；‎ ‎（2）利用数量积的定义与运算律可得，从而得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为为单位向量，所以，‎ 因为 即，‎ 所以，‎ 解得：‎ ‎（2）因为 ‎，‎ 所以，即与的夹角为.‎ ‎【点睛】‎ 平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数.‎ ‎20．已知函数的图像经过点.‎ ‎（1）求的值以及的单调递减区间；‎ ‎（2）当时，求使成立的的取值集合.‎ ‎【答案】（1）a=1, 的单调递减区间为；（2）‎ ‎【解析】（1）根据函数f（x）的图象过点求出a的值，再化f（x）为正弦型函数，求出它的单调递减区间；‎ ‎(2) 由，得,结合正弦函数图像，解三角不等式即可.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）因为函数的图像经过点，‎ 所以，解得 又 ‎,‎ 由，得 故的单调递减区间为 ‎（2）由，得 当时，‎ 故，解得：‎ 故使成立的的取值集合为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换问题，是基础题．‎ ‎21．设，，.‎ ‎（1）当时，求的最大值和最小值；‎ ‎（2）已知，且当时，求的值.‎ ‎【答案】（1）最大值1，最小值（2）‎ ‎【解析】（1）利用数量积运算性质、诱导公式与两角和的正弦公式、正弦函数的图像与性质即可得出的最大值和最小值； （2）由题意可得，进而得到从而得到结果．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 当时，，‎ 所以当，即时，的最大值为 当，即时，的最小值为 ‎（2）因为，所以，所以 两边平方，得，所以 又，所以，，‎ 又，所以 所以 ‎,‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，三角函数的恒等变形，考查转化思想，是一道中档题．‎ ‎22．已知函数（且）.‎ ‎（1）判断函数的奇偶性；‎ ‎（2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论；‎ ‎（3）当时，若不等式对于恒成立，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）奇函数（2）详见解析（3）1‎ ‎【解析】（1）利用奇偶性的定义判断即可；‎ ‎（2）利用单调性的定义判断即可；‎ ‎（3）利用函数性质化抽象不等式为对恒成立，然后变量分离，转求最值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为函数的定义域为，‎ 所以 所以函数为奇函数.‎ ‎（2）‎ 当时，在上是减函数，‎ 当时，在上是增函数，‎ 证明如下：‎ 任取，则 因为，所以，，所以 所以当时，，，‎ 所以，故函数在上是减函数.‎ 所以当时，，所以，‎ 所以，故函数在上是增函数.‎ ‎（3）由（1）知，是奇函数，，即.‎ 当时，由（2）知，在上是减函数，从而在上是减函数，故对恒成立，即对恒成立.‎ 因为在上是减函数，所以的值域为.‎ 所以，故实数的最大值为1.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了对数型函数的奇偶性和单调性的判断，要注意对底数的讨论，总体来说本题很基础、很典型，是不得不练的好题．‎