【数学】2019届一轮复习人教A版应用导数研究函数的性质学案（理）

【数学】2019届一轮复习人教A版应用导数研究函数的性质学案（理）

母题二十 应用导数研究函数的性质 ‎【母题原题1】【2018天津，理20】‎ 已知函数，，其中a>1．‎ ‎（I）求函数的单调区间；‎ ‎（II）若曲线在点处的切线与曲线在点 处的切线平行，证明；‎ ‎（III）证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线．‎ ‎【考点分析】本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究指数函数与对数函数的性质等基础知识和方法．考查函数与方程思想、化归思想．考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力．满分14分．‎ ‎【答案】（I）单调递减区间，单调递增区间为；（II）证明见解析；(Ⅲ)证明见解析．‎ ‎．．则原问题等价于当时，存在，，使得和重合．转化为当时，关于的方程存在实数解，构造函数，令，结合函数的性质可知存在唯一的，且，使得，‎ 据此可证得存在实数，使得，则题中的结论成立．‎ 试题解析：（I）由已知，，有．令，解得．‎ 由，可知当变化时，，的变化情况如下表：‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎+‎ 极小值 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为．‎ ‎（II）由，可得曲线在点处的切线斜率为．‎ 曲线在点处的切线．‎ 要证明当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线，‎ 只需证明当时，存在，，使得和重合．‎ 即只需证明当时，方程组有解，‎ 由①得，代入②，得．③‎ 因此，只需证明当时，关于的方程③存在实数解．‎ 设函数，即要证明当时，函数存在零点．‎ ‎，可知时，；‎ 时，单调递减，又，，‎ 故存在唯一的，且，使得，即．‎ 由此可得在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值 存在实数t，使得．‎ 因此，当时，存在，使得．‎ 当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线．‎ ‎【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数 中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用． ‎ ‎【母题原题2】【2017天津，理20】‎ 设，已知定义在R上的函数在区间内有一个零点，为的导函数．‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）设，函数，求证：；‎ ‎（Ⅲ）求证：存在大于0的常数，使得对于任意的正整数，且 满足．‎ ‎【答案】（1）增区间是，，减区间是．（2）（3）证明见解析 试题解析：（Ⅰ）解：由，可得，进而可得．令，解得，或．‎ 当x变化时，的变化情况如下表：‎ ‎+‎ ‎-‎ ‎+‎ ‎↗‎ ‎↘‎ ‎↗‎ ‎∴的单调递增区间是，，单调递减区间是．‎ ‎（Ⅱ）证明：由，得，．‎ 令函数，则．由（Ⅰ）知，当时，，故当时，，单调递减；当时，，单调递增．因此，当时，，可得．‎ 令函数，则．由（Ⅰ）知，在 上单调递增，故当时，，单调递增；当时，，单调递减．因此，当时，，可得．∴．‎ ‎（III）证明：对于任意的正整数 ，，且，令，函数．由（II）知，当时，在区间内有零点；当时，在区间内有零点．∴在内至少有一个零点，不妨设为，则．由（I）知在上单调递增，故，于 ‎，∴，∴只要取，就有．‎ ‎【考点】导数的应用 ‎【名师点睛】判断的单调性，只需对函数求导，根据的导数的符号判断函数的单调性，求出单调区间，有关函数的零点问题，先利用函数的导数判断函数的单调性，了解函数的图象的增减情况，再对极值点作出相应的要求，可控制零点的个数．‎ ‎【母题原题3】【2016天津，理20】‎ 设函数，，其中 ‎（I）求的单调区间；‎ ‎（II）若存在极值点，且，其中，求证：；‎ ‎（Ⅲ）设，函数，求证：在区间上的最大值不小于．‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）先求函数的导数：，再根据导函数零点是否存在情况，分类讨论：①当时，有恒成立，所以的单调增区间为．②当时，存在三个单调区间（Ⅱ）由题意得，计算可得再由及单调性可得结论；（Ⅲ）实质研究函数最大值：主要比较，的大小即可，分三种情况研 ‎（2）当时，令，解得，或．‎ 当变化时，，的变化情况如下表：‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，．‎ ‎（Ⅱ）证明：因为存在极值点，所以由（Ⅰ）知，且，由题意，得 ‎，即，进而．又 ‎，且，由题意及（Ⅰ）知，存在唯一实数满足 ，且，因此，；‎ ‎（Ⅲ）证法1：设在区间上的最大值为，表示两数的最大值．下面分三种情况：（1）当时，，由（Ⅰ）知，在区间上单调递减，所以在区间上的取值范围为，因此 ‎，所以．‎ ‎（2）当时，，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，‎ ‎．‎ 综上所述，当时，在区间上的最大值不小于．‎ 证法2：欲证在区间上的最大值不小于，只需证在区间上存在，使得即可．‎ ‎①当时，在上单调递减，，，‎ ‎【名师点睛】1．求可导函数单调区间的一般步骤 ‎(1)确定函数f(x)的定义域(定义域优先)；‎ ‎(2)求导函数f′(x)； ； ‎ ‎(3)在函数f(x)的定义域内求不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0的解集．‎ ‎(4)由f′(x)＞0(f′(x)＜0)的解集确定函数f(x)的单调增(减)区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间．‎ ‎2．由函数f(x)在(a，b)上的单调性，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到．‎ ‎【母题原题4】【2015天津，理20】‎ 已知函数，其中．‎ ‎（I）讨论的单调性；‎ ‎（II）设曲线与轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为，求证：对于任意的正实数，都有；‎ ‎(III)若关于的方程有两个正实根，求证： ‎ ‎【答案】（I）当为奇数时，在，上单调递减，在内单调递增；当为偶数时，在上单调递增，在上单调递减．（II）见解析； (III)见解析．‎ 试题解析：（I）由，可得，其中且，下面分两种情况讨论：‎ ‎（1）当为奇数时：令，解得或，‎ 当变化时，的变化情况如下表：‎ 所以，在，上单调递减，在内单调递增．‎ ‎(2)当为偶数时，‎ 当，即时，函数单调递增；‎ 当，即时，函数单调递减．‎ 所以，在上单调递增，在上单调递减．‎ ‎ （II）证明：设点的坐标为，则，，曲线在点处的切线方程为，即，令，即，则 由于在上单调递减，故在上单调递减，又因为，所以当时，，当时，，所以在内单调递增，在内单调递减，所以对任意的正实数都有，即对任意的正实数，都有．‎ ‎ (III)证明：不妨设，由（II）知，设方程的根为，可得，当时，在上单调递减，又由（II）知可得．‎ 类似的，设曲线在原点处的切线方程为，可得，当，‎ ‎，即对任意，‎ 设方程的根为，可得，因为在上单调递增，且 ‎【命题意图】导数是研究函数的重要工具，利用导数研究函数的单调性可以描绘出函数图象大致的变化趋势，是进一步解决问题的依据．分类讨论思想具有明显的逻辑特征，是整体思想一个重要补充，解决这类问题需要一定的分析能力和分类技巧．因此高考对这类题主要考查导数的运算、代数式化简与变形，考查运算求解能力，运用数形结合、分类讨论的思想方法分析与解决问题能力．‎ ‎ 【命题规律】含有参数的函数导数试题，主要有两个方面：一是根据给出的某些条件求出这些参数值，基本思想方法为方程的思想；二是在确定参数的范围（或取值）使得函数具有某些性质，基本解题思想是函数与方程的思想、分类讨论的思想．含有参数的函数导数试题是高考考查函数方程思想、分类讨论思想的主要题型之一．这类试题在考查题型上，通常以解答题的形式出现，难度中等．‎ ‎ 【答题模板】解答本类题目，以2017年第10题高考题为例，一般考虑如下三步：‎ ‎ 第一步：求解导函数、因式分解、分类讨论，写出单调性 （1）的定义域为，，‎ ‎（ⅰ）若，则，所以在单调递减．‎ ‎（ⅱ）若，则由得．‎ 当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增．‎ ‎ 第二步：依据单调性判断零点情况 （ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点．‎ ‎（ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为．‎ ‎①当时，由于，故只有一个零点；‎ ‎②当时，由于，即，故没有零点；‎ ‎③当时，，即．‎ ‎ 第三步： 赋值判断零点 又，故在有一个零点．设正整数满足，则．‎ 由于，因此在有一个零点．综上，的取值范围为．‎ ‎【方法总结】‎ ‎ 1．研究函数单调区间，实质研究函数极值问题．分类讨论思想常用于含有参数的函数的极值问题，大体上可分为两类，一类是定区间而极值点含参数，另一类是不定区间（区间含参数）极值点固定，这两类都是根据极值点是否在区间内加以讨论，讨论时以是否使得导函数变号为标准，做到不重不漏．‎ ‎ 2．求可导函数单调区间时首先坚持定义域优先原则，必须先确定函数的定义域，尤其注意定义区间不连续的情况，此时单调区间按断点自然分类；其次，先研究定义区间上导函数无零点或零点落在定义区间端点上的情况，此时导函数符号不变，单调性唯一；对于导函数的零点在定义区间内的情形，最好列表分析导函数符号变化规律，得出相应单调区间．‎ ‎ 3．讨论函数的单调性其实质就是讨论不等式的解集的情况．大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论，在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论，在不能通过因式分解求出根的情况时根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论．讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制．‎ ‎ 4．含参数的函数的极值(最值)问题常在以下情况下需要分类讨论：‎ ‎(1)导数为零时自变量的大小不确定需要讨论；‎ ‎(2)导数为零的自变量是否在给定的区间内不确定需要讨论；‎ ‎(3)端点处的函数值和极值大小不确定需要讨论；‎ ‎(4)参数的取值范围不同导致函数在所给区间上的单调性的变化不确定需要讨论．‎ ‎ 5．求可导函数单调区间的一般步骤 ‎(1)确定函数的定义域(定义域优先)；‎ ‎(2)求导函数；‎ ‎(3)在函数的定义域内求不等式或的解集．‎ ‎(4)由（）的解集确定函数的单调增(减)区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间． 。 ‎ ‎ 6．由函数在上的单调性，求参数范围问题，可转化为 (或)恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到．‎ ‎ 7．求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．‎ ‎ 8．函数、导数解答题中贯穿始终的是数 思想方法，在含有参数的试题中，分类与整合思想是必要的，由于是函数问题，所以函数思想、数形结合思想也是必要的，把不等式问题转化为函数最值问题、把方程的根转化为函数零点问题等，转化与化归思想也起着同样的作用，解决函数、导数的解答题要充分注意数 思想方法的应用．‎ ‎ 9．导数及其应用通常围绕四个点进行命题．第一个点是围绕导数的几何意义展开，设计求曲线的切线方程，根据切线方程求参数值等问题，这类试题在考查导数的几何意义的同时也考查导数的运算、函数等知识，试题的难度不大；第二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、极值(最值)展开，设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数 思想方法；第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开，涉及不等式的证明、不等式的恒成立、讨论方程根等问题，主要考查通过转化使用导数研究函数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；第四个点是围数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用．‎ ‎ 10．函数的单调性问题与导数的关系 ‎ （1）函数的单调性与导数的关系：设函数在某个区间内可导，若，则为增函数；若，则为减函数．‎ ‎ （2）用导数函数求单调区间方法 求单调区间问题，先求函数的定义域，在求导函数，解导数大于0的不等式，得到区间为增区间，解导数小于0得到的区间为减区间，注意单调区间一定要写出区间形式，不用描述法集合或不等式表示，且增（减）区间有多个，一定要分开写，用逗号分开，不能写成并集形式，要说明增（减）区间是谁，若题中含参数注意分类讨论； ‎ ‎ (3) 已知在某个区间上的单调性求参数问题 先求导函数，将其转化为导函数在这个区间上大于（增函数）（小于（减函数））0恒成立问题，通过函数方法或参变分离求出参数范围，注意要验证参数取等号时，函数是否满足题中条件，若满足把取等号的情况加上，否则不加．‎ ‎ （4）注意区分函数在某个区间上是增（减）函数与函数的增（减）区间是某各区间的区别，函数在某个区间上是增（减）函数中的区间可以是该函数增(减)区间的子集．‎ ‎11．函数的极值与导数 ‎（1）函数极值的概念 设函数在附近有定义，若对附近的所有点，都有，则称是函数 的一个极大值，记作=；‎ 设函数在附近有定义，若对附近的所有点，都有，则称是函数 的一个极小值，记作=．‎ 注意：极值是研究函数在某一点附近的性质，使局部性质;极值可有多个值，且极大值不定大于极小值;极值点不能在函数端点处取．‎ ‎（2）函数极值与导数的关系 当函数在处连续时，若在附近的左侧，右侧，那么是极大值；若在附近的左侧，右侧，那么是极小值．‎ 注意：‎ ‎①在导数为0的点不一定是极值点，如函数，导数为，在处导数为0，但不是极值点；‎ ‎②极值点导数不定为0，如函数在的左侧是减函数，右侧是增函数，在处取极小值，但在处的左导数=-1，有导数=1，在处的导数不存在．‎ ‎ （3）函数的极值问题 ‎ ①求函数的极值，先求导函数，令导函数为0，求出导函数为0点，方程的根和导数不存在的点，再用导数判定这些点两侧的函数的单调性，若左增由减，则在这一点取值极大值，若左减右增，则在这一点取极小值，要说明在哪一点去极大（小）值；‎ ‎②已知极值求参数，先求导，则利用可导函数在极值点的导数为0，列出关于参数方程，求出参数，注意可导函数在某一点去极值是导函数在这一点为0的必要不充分条件，故需将参数代入检验在给点的是否去极值； ‎ ‎③已知三次多项式函数有极值求参数范围问题，求导数，导函数对应的一元二次方程有解，判别式大于0，求出参数的范围．‎ ‎12．最值问题 ‎（1）最值的概念 对函数有函数值使对定义域内任意，都有（）则称是函数的最大（小）值．‎ 注意：①若函数存在最大（小）值，则值唯一；最大值可以在端点处取；若函数的最大值、最小值都存在，则最大值一定大于最小值．‎ ‎②最大值不一定是极大值，若函数是单峰函数，则极大（小）值就是最大（小）值．‎ ‎（2）函数最问题 ‎①对求函数在某一闭区间上，先用导数求出极值点的值和区间端点的值，最大者为最大值，最小者为最小值，对求函数定义域上最值问题或值域，先利用导数研究函数的单调性和极值，从而弄清函数的图像，结合函数图像求出极值；‎ ‎②对已知最值或不等式恒成立求参数范围问题，通过参变分离转化为不等式≤（≥）（ 是自变量，是参数）恒成立问题，≥（≤），转化为求函数的最值问题，注意函数最值与极值的区别与联系．‎ ‎1．【2018天津河西区三模】已知函数 ．‎ ‎（1）若曲线与直线相切，求实数的值；‎ ‎（2）若不等式在定义域内恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）1；（2）．‎ ‎（2）由题意，在定义域内恒成立，得在定义域内恒成立，‎ 令，则，‎ 再令，则，‎ 即在上单调递减，又，‎ 所以当时，，从而，在上单调递增；‎ 当时，，从而，在上单调递减；‎ 所以在处取得最大值，所以实数的取值范围是．‎ ‎【名师点睛】1．在处理曲线的切线时，要注意区分“在某点的切线”和“过某点的切线”，前者的点一定为切点，但后者的点不一定在曲线上，且也不一定为切点；‎ ‎2．在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往分离参数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用“恒成立”进行处理．‎ ‎2．【2018天津部分区二模】已知函数，若函数有两个零点，．‎ ‎（1）求实数的取值范围；‎ ‎（2）求证：当时，；‎ ‎（3）求证：．‎ ‎【答案】(1);(2)见解析;(3)见解析．‎ ‎（3）证明：由题意得是两根，∴①，②，‎ 可得，要证明，只需证，即 令，所以只需证在成立即可，设，利用导数研究其性质，可证成立．设，‎ 所以在是增函数，∴，即成立．‎ ‎（1），定义域为，‎ ‎（2）在是减函数，∵，‎ ‎∴存在唯一的，使，即，所以，即。‎ 当时，，当时，，‎ ‎∴是函数的极大值点，也是最大值点。‎ ‎∴，‎ 在上，∵，∴，‎ ‎∴，即成立。‎ ‎（3）证明：由题意得是两根，∴①，②，‎ ‎①②得，，得，‎ 即成立．‎ ‎【名师点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查不等式的证明，属难题．‎ ‎3．【2018天津河东区二模】已知函数，‎ ‎(1)若a=1，b=2，求函数在点(2，f(2))处的切线方程；‎ ‎(2)求函数的单调区间；‎ ‎(3)若a＜b，任取存在实数m使恒成立，求m的取值范围．‎ ‎【答案】(1) ．‎ ‎(2) 当时，在上为增函数，上为减函数。‎ 当时，在上为增函数，上为减函数当时，‎ 在R上为增函数；(3) ．‎ ‎【解析】分析：（1）直接利用导数的几何意义求函数在点(2，f(2))处的切线方程．(2)对a，b分类讨论求函数的单调区间．(3)先求最大值，即得m的取值范围．‎ 详解：（1），由已知，‎ 所以切线斜率，所以切线方程 即 ．‎ ‎（2）令， 即，‎ 当时，在上为增函数，上为减函数 当时，在上为增函数，上为减函数当时，在 ‎【名师点睛】（1）本题主要考查导数的几何意义，考查导数求函数的单调性和最值，意在考查 生对这些基础知识的掌握的能力和分析推理能力．(2)解答本题的关键是最大值，注意这里要利用上一问的结论，时，，，，由（2）可知在内有最小值．‎ ‎4．【2018天津河北区二模】已知函数，其中a >2．‎ ‎（I）讨论函数f(x)的单调性；‎ ‎（II）若对于任意的，恒有，求a的取值范围．‎ ‎（III）设，，求证：．‎ ‎【答案】(1)f(x)的单调递增区间为，单调减区间为(1，a-1)．(2)(2，5 ;(3)见解析．‎ ‎【解析】分析：（I）求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，‎ 求得的范围，可得函数的减区间；；（II）对任意的，恒有，等价于，令，即函数在上为增函数，，∴恒成立，结合基本不等式，‎ ‎ ∵ ∴，由，解得0a-1，由，解得12，∴，∴，即a的取值范围是（2，5 ．‎ ‎（III）∵ 由（I）可知当时，函数f(x)为减函数，‎ 而，‎ 那么 ，∴ ，‎ 由（II）知，∴‎ 即．‎ ‎【名师点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题．‎ ‎5．【2018天津十二校模拟】已知函数，的最大值为．‎ ‎（Ⅰ）求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）当时，讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅲ）当时，令，是否存在区间．使得函数在区间上的值域为若存在，求实数的取值范围；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】(1) ;(2) 时，在单调增；时，在单调递减，在单调递增；时，同理在单调递减，在单调递增；（3）不存在．‎ ‎，使得函数在区间上的值域是，则，问题转化为关于的方程在区间内是否存在两个不相等的实根，进而可得结果．‎ 详解：(1) 由题意得，‎ 令，解得，‎ 当时，，函数单调递增；‎ 当时，，函数单调递减．‎ 所以当时，取得极大值，也是最大值，‎ 当及时，‎ 故在单调递减，在单调递增．‎ ‎③若，即，同理在单调递减，在单调递增 ‎（3）由（1）知，‎ 所以，令，则对恒成立，所以在区间内单调递增，‎ 所以恒成立，‎ 所以函数在区间内单调递增．‎ 假设存在区间，使得函数在区间上的值域是，‎ 设，则对恒成立，所以函数在区间内单调递增，‎ 故恒成立，所以，所以函数在区间内单调递增，所以方程 在区间内不存在两个不相等的实根． …… ‎ 综上所述，不存在区间，使得函数在区间上的值域是．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的最值值，属于难题．求函数极值、最值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数 ；(3) 解方程 求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查 在 的根 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么 在 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么 在 处取极小值．（5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小．‎ ‎6．【2018天津滨海新区七模拟】已知函数（其中，）．‎ ‎（1）当时，求函数在点处的切线方程;‎ ‎（2）若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围;‎ ‎（3）求证:对于任意大于1的正整数，都有．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）见解析 ‎【解析】试题分析：（1），，，可求得切线方程．（2）即在区间上恒成立．（3）由（1）得 在上恒成立，即．令，得，，不等式同向相加可得．‎ 试题解析：（1）， ．‎ ‎，．‎ ‎（2）， ‎ 当时，，故在上是增函数．‎ 当时，令，则当时，．‎ 所以，‎ 所以，，‎ 所以，即，‎ 所以，即对于任意大于1的正整数，都有．‎ ‎【名师点睛】(1)若可导函数f(x)在(a，b)上单调递增，则≥0在区间(a，b)上恒成立；要检验=0．(2)若可导函数f(x)在(a，b)上单调递减，则≤0在区间(a，b)上恒成立；要检验=0．‎ 离散型不等式证明关键要找到恒成立不等函数，再x用离散点列代换，利用不等式同向相加可证，恒成立不等函数一般需要在题中寻找．‎ ‎7．【2018天津模拟】已知函数．‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）若不等式对任意的正实数都成立，求实数的最大整数；‎ ‎（3）当时，若存在实数且，使得，求证： ．‎ ‎【答案】（1）单调减区间为，单调增区间为；（2）；（3）证明见解析．‎ ‎【解析】试题分析：（1）当时，，通过求导得出函数的单调性；（2）由可得对任意的正实数都成立，等价于对任意的正实数都成立，设，求出，即可求出实数的最大整数；（3）由题意，（ ），得出在上为减函数，在上为增函数，若存在实数，，则介于之间，根据函数单调性列出不等式组，即可求证．‎ ‎∴函数在区间上为减函数，在区间上为增函数．‎ 且，综上，的单调减区间为，单调增区间为．‎ ‎（2）由可得对任意的正实数都成立，即对任意的正实数都成立．‎ 记，则，可得，‎ 令 ‎∴在上为增函数，即在上为增函数 ‎ 又∵，‎ ‎∴存在唯一零点，记为，‎ 当时，，当时，，∴在区间上为减函数，在区间上为增函数．∴的最小值为．‎ 若存在实数，，则介于之间，不妨设．‎ ‎∵在上单减，在上单增，且，‎ ‎∴当时，， ‎ 由，可得，故，‎ 又∵在上单调递减，且，∴，∴，‎ 同理，则，解得，∴．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查利用函数导数研究函数的单调性，最值，考查利用函数的导数求解不等式恒成问题．要通过求解不等式恒成立问题来求得参数的取值范围，可将不等式变形成一为零的形式，然后将另一边构造为函数，利用函数的导数求得这个函数的最值，根据最值的情况来求得参数的取值范围．‎ ‎8．【2018天津十二校模拟】已知函数．‎ ‎（1）讨论函数的单调性 ；‎ ‎（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）当时，若函数有两个极值点，求 的最大值．‎ ‎【答案】（1）当时，在上递减；当 时，在 上内单调递增，在 内单调递减；（2）；（3）．‎ 时，取得最大值，最大值为．‎ 试题解析：（1）由已知得，‎ 当时，，在内单调递减．‎ 当时，若，有，若，有，则在上内单调递增，在内单调递减．‎ ‎（2）令，由 解法一：‎ 当时，，所以在内单调递减，‎ 则有 ，从而，‎ 当时，，得，当，有，则在上内单调递增，此时 ，与恒成立矛盾，因此不符合题意，‎ 综上实数的取值范围为．‎ 解法二：当时，，所以在内单调递减，则有 ，符合题意．当时，，得，当，有，若，有，则在上内单调递增，在内单调递减．又，‎ 因此，即．‎ 综上实数的取值范围为．‎ ‎（3），则，‎ 由可得，又，所以，‎ 设，，‎ ‎，由，则，故 所以在单调递增，当时，取得最大值，最大值为．‎ ‎9．【2108天津部分区期末考】已知函数，．‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）当时，令，其导函数为，设是函数的两个零点，判断是否为的零点？并说明理由．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性的关系即可求出，‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g（x）=x2﹣2lnx﹣x，x1，x2是函数g（x）的两个零点，不妨设0＜x1＜x2，可得x12﹣2lnx1﹣x1=0，x22﹣2lnx2﹣x2=0，两式相减化简可得x1+x2﹣1=，再对g（x）求导，判断的符号即可证明 试题解析：（1）依题意知函数的定义域为，且．‎ ‎①当时，，所以在上单调递增．‎ 两式相减得： ‎ 即： ，又．则 ‎．‎ 设，∵，∴，‎ 令，．‎ 又，∴，∴在上是増函数，‎ 则，即当时，，‎ 从而，‎ 又所以，‎ 故，所以不是导函数的零点．‎ ‎10．【2018天津河西期中考试】已知函数．‎ ‎（）若是函数的一个极值点，求实数的值． ‎ ‎（）设，当时，函数的图象恒不在直线的上方，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（）；（）．‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）由解得，注意要检验此时2是极值点；‎ ‎（2）题意说明在区间上的最大值，因此只要求出导数，确定在区间上的 当时，；‎ 当时，，∴是的极值．∴．‎ ‎（）当时，函数的图象恒不在直线上方，等价于，恒成立，即，恒成立，由（）知，，‎ 令，得，，当时，，∴在单调减，‎ ‎，与矛盾，舍去．‎ 当时，，在上单调递减，在上单调递增，∴在或处取到，，，‎ ‎∴只要，计算得出．‎ 当时，，在上单调增，，符合题意，‎ ‎∴实数的取值范围是．‎ ‎【名师点睛】利用导数研究函数的极值与最值是中 习导数的主要内容，解题时要注意导数与极值的关系，是为可导函数的极值的必要条件，还必要满足在两侧 的符号是异号，因此在由极值点求参数值时，必须检验，否则可能出错．‎ ‎11．【2018天津滨海新区模拟】已知函数 ‎ ‎（1）求函数f(x)是单调区间；‎ ‎（2）如果关于x的方程有实数根，求实数的取值集合；‎ ‎（3）是否存在正数 ，使得关于x的方程有两个不相等的实数根？如果存在，求 满足的条件；如果不存在，说明理由．‎ ‎【答案】(1) 是函数的增区间；（－1，0）和（0，3）是函数的减区间;‎ ‎(2) 实数m的取值范围是;(3) 满足条件的正数 不存在．‎ ‎【解析】试题分析：（1）先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定单调区间，（2）分离参变得求函数值域，利用导数求值域，（3）由于为恒正递增函数，是 上恒正减函数，因此可得矛盾，即推得不存在 试题解析：（1）函数的定义域是 对求导得 ‎ 由 ，由 因此 是函数的增区间；‎ ‎（－1，0）和（0，3）是函数的减区间 ‎ ‎（2）因为 进而有无限趋近于－∞．因此函数的值域是 ‎ 即实数m的取值范围是 ‎ ‎（3）结论：这样的正数 不存在．‎ 证明：假设存在正数 ，使得关于x的方程 有两个不相等的实数根，则 ‎ ‎ 根据对数函数定义域知都是正数．‎ 又由（1）可知，当 ‎ ‎∴=‎ 再由 >0，可得 ‎ ‎ 由于上的恒正增函数，且 ‎ 又由于 上的恒正减函数，且 ∴‎ ‎∴，这与（ ）式矛盾．因此满足条件的正数 不存在．‎ ‎【名师点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路． ‎ ‎12．【2018天津一中月考五】已知函数，．‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间和极值；‎ ‎（2）若对于任意，都有成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若，且，证明：．‎ ‎【答案】(1)答案见解析；(2)；(3)证明见解析．‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意x>0，由此根据 ≤0， >0利用导数性质分类讨论，能求出函数f（x）的单调区间和极值． （2）问题转化为，对于x∈[e，e2 恒成立，令，则，令，由此利用导数性质能求出实数 的取值范围． （3）设，则，要证，只要证，即证，由此利用导数性质能证明．‎ 试题解析：‎ ‎（1）， ‎ ‎（2）由题意，，‎ 即问题转化为对于恒成立，‎ 即对于恒成立，‎ 令，则，‎ 令，则，‎ ‎（3）证法1 因为，由（1）知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且．‎ 不妨设，则，‎ 要证，只要证，即证．‎ 因为在区间上单调递增，所以，‎ 又，即证， -- ‎ 构造函数，‎ 即，．‎ ‎ ，‎ 因为，所以，即，‎ 所以函数在区间上单调递增，故，‎ 而，故， ‎ 所以，即，所以成立．‎ 证法2 要证成立，只要证：．‎ 因为，且，所以，‎ 即，，‎ 即，‎ ‎，同理，从而，‎ ‎13．【2018天津静海一中模拟】函数，且在处的切线斜率为．‎ ‎(1)求的值，并讨论在上的单调性；‎ ‎(2)设函数 ，其中，若对任意的总存在，使得成立，求的取值范围 ‎（3）已知函数，试判断在内零点的个数．‎ ‎【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析．（3）1个零点 ‎【解析】试题分析：(1)由函数的解析式可得f′(x)＝(a－1)sin x＋axcos x，由可得，利用导函数讨论单调性可得f(x)在，上单调递增；在，上单调递减；(2)结合(1)的结论可知f(x)min＝f(0)＝1，则g(x)≥1在x∈[0，＋∞)上恒成立．且g′(x)＝ (x≥0，m>0)，据此讨论可知m≥2时满足题意，当00时，－π

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