陕西省宝鸡中学2020届高三上学期第一次联考数学（文）试题

陕西省宝鸡中学2020届高三上学期第一次联考数学（文）试题

‎2019-2020学年陕西省宝鸡中学、西安三中等五校高三（上）第一次联考数学试卷（文科）‎ 一、选择题 ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求两个集合，再求交集.‎ ‎【详解】∵，‎ ‎，解得： ‎ ‎，‎ ‎∴.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查简单函数的定义域和值域，和集合的交集，属于基础题型.‎ ‎2.复数等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ ‎3.已知一组数据点，，，…，，用最小二乘法得到其线性回归方程为，若数据，，，…的平均数为1，则（ ）‎ A. 2 B. ‎11 ‎C. 12 D. 14‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据在回归直线上，代入求，再求.‎ ‎【详解】∵，且在线性回归直线上，‎ ‎∴，‎ 则.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查回归直线方程的应用，意在考查基础知识，本题的关键是知道回归直线必过样本中心点.‎ ‎4.经过原点并且与直线相切于点的圆的标准方程是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设圆心为，根据条件列关于的方程，求圆的标准方程.‎ ‎【详解】设圆心的坐标为，‎ 则①，‎ ‎②，‎ ‎③；‎ 由①②③组成方程组，解得 ‎，，；‎ 故所求圆的标准方程是.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查求圆的标准方程，意在考查计算能力，属于基础题型.‎ ‎5.已知向量，.若向量，则实数等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接根据向量垂直的数量积的坐标表示列式求解.‎ ‎【详解】向量，，若向量，‎ 则，‎ 则实数，‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查向量垂直的数量积的坐标表示，意在考查基本计算，属于基础题型.‎ ‎6.．阅读如图的程序框图. 若输入, 则输出的值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：第一圈，n=6,n=13,否k=1；‎ 第二圈，n=13,n=27,否k=2；‎ 第三圈，n=27,n=55,否k=3；‎ 第四圈，n=55,n=110,是，输出k=3；故选B．‎ 考点：本题主要考查程序框图．‎ 点评：简单题，解的思路明确，主要看对程序框图的理解，注意逐次循环看结果．‎ ‎7.如图，正三棱柱中，是中点，则下列叙述正确的是（ ）‎ A. 与是异面直线 B. 平面 C. ，为异面直线，且 D. 平面 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 逐一分析选项，得到正确答案，A.根据是否共面分析；‎ B.根据与的夹角判断；‎ C.利用面面垂直的性质定理证明；‎ D.利用，判断线面是否平行.‎ ‎【详解】A. 与都在平面内，所以是共面直线，不是异面直线，故不正确；‎ B.若平面，则应垂直于平面内的任一条直线，但与的夹角是 ，不垂直，故不正确；‎ C. 与是异面直线，‎ 平面平面，且平面平面，‎ 又是正三角形，且是的中点，‎ ‎,‎ 平面，‎ 故C正确；‎ D. , 又与平面相交，那么与平面相交，故不正确.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查线线和线面关系的判断，意在考查空间想象能力和推理与证明，属于中档题型.‎ ‎8.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可．‎ ‎【详解】在中，，，，由余弦定理，得，‎ 所以.‎ 所以所求概率为.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．‎ ‎9.等差数列的公差为，前项和为，当首项和变化时，是一个定值，则下列各数也为定值的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列的性质可知，可知是定值，再利用等差数列的前项和公式计算.‎ ‎【详解】一个定值，‎ 只有：是一个定值.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的性质和等差数列的前项和，意在考查基本计算，属于基础题型.‎ ‎10.已知定义在上的偶函数满足，且当时，，则在区间上函数的图象与轴的交点的个数为（　　）‎ A. 6 B. ‎7 ‎C. 8 D. 9‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先由题意判断函数的周期，再根据时的零点个数，判断在上的零点个数.‎ ‎【详解】因为是上偶函数，且满足，‎ ‎∴满足，‎ 令，则，∴；‎ ‎∴是最小正周期为2的周期函数，‎ 当时，解得或，‎ 故在区间上解的个数为6，‎ 又因为，故在区间上解的个数为7，‎ 即函数的图象在区间上与x轴的交点的个数为7.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数的性质求函数的零点个数，属于基础综合问题，本题的关键是根据函数性质判断函数的周期，当函数有两个对称轴时，可判断函数是周期函数.‎ ‎11.已知点是双曲线：右支上一点，是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段的中垂线，则该双曲线的离心率是（ ）‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设渐近线与交于点，分别是和的中点，则，由题意可知，是直角三角形，设，，内建立边长的等量关系，求双曲线的离心率.‎ ‎【详解】设渐近线与交于点，分别是和的中点，则，‎ 由题意，是直角三角形， 的斜率为，‎ 设，，则①,‎ ‎∵②，③，‎ 由①②可知， ， ‎ 解得：，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查求双曲线的离心率，意在考查转化和化归，计算能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出，然后利用公式求解；2.公式法：，3.构造法：根据条件，可构造出的齐次方程，通过等式两边同时除以，进而得到关于的方程.‎ ‎12.函数，若，且，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先画出函数的图象，根据可知，并解出和，表示，根据的范围，再代入分段函数求值域.‎ ‎【详解】‎ 设，‎ 作出的图象，‎ 由图象知，，‎ 由，得，‎ 由，得，‎ 则，‎ ‎∵，∴，‎ 则，‎ 即，‎ 此时，‎ 即的取值范围是，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查函数图象的应用和利用自变量的范围求分段函数的值域，本题的难点是用表示，并求其范围.‎ 二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知函数，则_____.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求，再求的值.‎ ‎【详解】∵函数，‎ ‎∴，‎ ‎.‎ 故答案为：2.‎ ‎【点睛】本题考查分段函数求值，属于简单计算题型.‎ ‎14.甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“庆国庆70周年，爱国主义知识大赛”活动，决出第1名到第5名的名次.甲乙两名同学去询问成绩，回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好，但是你俩都没得到第一名”；对乙说“你当然不会是最差的”从以上回答分析，丙是第一名的概率是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据提示可知丙、丁、戊获得第一名的概率时一样的，故可求其概率.‎ ‎【详解】∵甲和乙都不可能是第一名，‎ ‎∴第一名只可能是丙、丁或戊，‎ 又考虑到所有的限制条件对丙、丁、戊都没有影响，‎ ‎∴这三个人获得第一名是等概率事件，‎ ‎∴丙是第一名的概率是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查推理和概率的求法，意在考查推理，抽象概括能力，属于简单题型.‎ ‎15.若变量，满足约束条件，则的最大值等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：作出不等式组所表示的可行域如下图所示，‎ 直线交直线于点，作直线，则为直线在轴上的截距，当直线经过可行域上的点时，直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即，故选C.‎ 考点：本题考查线性规划中线性目标函数最值，属于中等题.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎16.已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为________．‎ ‎【答案】144π ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 易知当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球O的半径为R，列方程求解即可.‎ ‎【详解】如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥的体积最大，‎ 设球O的半径为R，此时VO－ABC＝VC－AOB＝×R2×R＝R3＝36，‎ 故R＝6，则球O的表面积为S＝4πR2＝144π.‎ 故答案为144π.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三棱锥体积的求解,球的几何特征和面积公式，属于基础题.‎ 三.解答题（本题共5小题，共70分）‎ ‎17.已知函数.‎ ‎（1）当时，求的单调递增区间；‎ ‎（2）当，且时，的值域是，求，的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，利用降幂公式，和辅助角公式化简函数，再求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）类似于（1）的化简，先求的范围，再求的范围，再用表示函数的最值，列方程组求解.‎ ‎【详解】（1）当时，.‎ 由得：，‎ 所以的单调递增区间为；‎ ‎（2）因为，‎ ‎，‎ 所以，，又的值域是，‎ 所以，.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数恒等变形和三角函数性质的综合应用，属于基础题型，本题的关键是熟练掌握降幂公式和辅助角公式.‎ ‎18.交通拥堵指数是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通拥堵指数为，其范围为，分别有五个级别：畅通；基本畅通；轻度拥堵；中度拥堵；严重拥堵.晚高峰时段（），从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通拥堵指数数据绘制的直方图如图所示.‎ ‎（Ⅰ）用分层抽样的方法从交通指数在，，的路段中共抽取个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；‎ ‎（Ⅱ）从（Ⅰ）中抽出的个路段中任取个，求至少有个路段为轻度拥堵的概率.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）分别求，，这三个级别的路段，然后求抽样比，再求三个级别抽取的路段的个数；‎ ‎（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结果，分别设个轻度拥堵路段为，，选取的个中度拥堵路段为，，，选取的个严重拥堵路段为，然后按照列举法求概率.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由直方图可知：‎ ‎，，.‎ 所以这20个路段中，轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵路段分别为6个，9个，3个.‎ 拥堵路段共有个，按分层抽样从18个路段中选出6个，‎ 每种情况分别为：，，，‎ 即这三个级别路段中分别抽取的个数为.‎ ‎（Ⅱ）记（Ⅰ）中选取的个轻度拥堵路段为，，选取的个中度拥堵路段为，，，选取的个严重拥堵路段为，则从个路段选取个路段的可能情况如下：‎ ‎，，，，，，，，，，，，，，，共15种可能，‎ 其中至少有个轻度拥堵的有：‎ ‎，，，，，，，，，共9种可能，所以所选个路段中至少个路段轻度拥堵的概率为：.‎ ‎【点睛】本题考查频率分布直方图的应用和古典概型，意在考查分析数据，解决问题的能力，属于基础题型.‎ ‎19.如图，在四棱锥中，，且.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若，，且四棱锥的体积为 ‎，求该四棱锥的侧面积．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由，得，．从而得，进而而平面，由面面垂直的判定定理可得平面平面；（2）设，取中点，连结，则底面，且，由四棱锥的体积为，求出，由此能求出该四棱锥的侧面积.‎ 试题解析：（1）由已知，得，．‎ 由于，故，从而平面．‎ 又平面，所以平面平面．‎ ‎（2）在平面内作，垂足为．‎ 由（1）知，面，故，可得平面．‎ 设，则由已知可得，．‎ 故四棱锥的体积．‎ 由题设得，故．‎ 从而，，．‎ 可得四棱锥侧面积为 ‎ ．‎ ‎20.已知函数，曲线在点处的切线方程为.‎ ‎（Ⅰ）求，的值；‎ ‎（Ⅱ）求在上的最大值.‎ ‎【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用导数的几何意义可知，和，求，的值；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，先求，再求 ，利用的正负，分析的单调性，并求的最小值，并判断的单调性，求函数的最大值.‎ ‎【详解】（Ⅰ），‎ 由题设得，，‎ 解得，‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以，，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以，‎ 所以在上单调递增，所以.‎ ‎【点睛】本题考查函数的几何意义，以及利用导数求函数的最值，重点考查了推理和计算能力，属于中档题型，本题的难点是第二问，需求函数的二阶导数，从二阶导数的正负，分析的单调性，‎ ‎21.如图，已知椭圆：经过点，离心率.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设点为椭圆与轴正半轴的交点，点为线段的中点，点是椭圆上的动点（异于椭圆顶点）且直线，分别交直线于，两点，问是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）是定值，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据已知条件列方程组，求解椭圆方程；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）求得点的坐标，并求直线的方程，设，，，根据三点共线求和，并表示.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题意可知：，解得，‎ 所以椭圆的方程：；‎ ‎（Ⅱ）由已知，点的坐标为，得直线 的方程为，‎ 设，，，‎ 因，，三点共线，故，整理得，‎ 因，，三点共线，故，整理得，‎ 因点在椭圆上，故，‎ 从而，‎ 所以为定值.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程以及椭圆直线与椭圆位置关系的综合问题，本题所涉及直线比较多，分析问题时抓住关键求点的纵坐标并用点的纵坐标表示，并将表示为，这样问题迎刃而解.‎ ‎22.已知直线：（为参数，a为的倾斜角），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线为：.‎ ‎（1）若直线与曲线相切，求的值；‎ ‎（2）设曲线上任意一点的直角坐标为，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（1）曲线C的直角坐标方程为 即曲线C为圆心为（3，0），半径为2的圆.‎ 直线l的方程为: ‎ ‎∵直线l与曲线C相切 ∴‎ 即 ‎ ‎∴a=‎ ‎（2）设 则= ‎ ‎∴的取值范围是. ‎ ‎.‎ ‎23.若实数，，满足，则称比接近.‎ ‎（Ⅰ）若比接近，求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）已知，且，求证：比接近0.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由题意可知，转化为解含绝对值不等式；‎ ‎（Ⅱ）利用分析法转化为证明，然后两边平方，逐步转化为使命题成立的充分条件.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由已知得，‎ 则，∴，‎ ‎∴的取值范围为.‎ ‎（Ⅱ） 要证比接近0，‎ 只需证，‎ 只需证，‎ 只需证，‎ 即证.‎ ‎∵，且，∴显然成立，‎ ‎∴比接近0.‎ ‎【点睛】本题考查解含绝对值不等式，以及分析法证明不等式，意在考查推理能力和计算能力，属于中档题型.‎