辽宁省朝阳市建平县第二高级中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试卷

辽宁省朝阳市建平县第二高级中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试卷

‎ 数学试题（理科）‎ 一、选择题：本题共12 小题，每小题5分，共60分 1. 设集合，，则 ‎ A． B． C． D．‎ 2. 已知，为虚数单位，若，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎3.在等差数列中，为其前项和，若，则 ‎ A．60 B．75 C.90 D．105‎ ‎4．已知向量，且∥，若均为正数，则的最小值是 　 A．24 B．8 C． D．‎ ‎5．甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 甲 乙 ‎9 4‎ m ‎ 2‎ ‎5 n ‎1 3‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 甲 乙 ‎9 4‎ m ‎ 2‎ ‎5 n ‎1 3‎ ‎2‎ 平均数也相同，则图中的m,n的比值 A． B． C．2 D．3 ‎ ‎6．在区间上随机地取两个数、,则事件“”发生的概率为 ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎7.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎8.下列判断错误的是 ‎ ‎ A．“”是“”的充分不必要条件 ‎ B．命题“”的否定是“”‎ ‎ C．若均为假命题,则为假命题 ‎ D．命题：若，则或的逆否命题为：若或，则 ‎9.设点在不等式组表示的平面区域上，则的最小值为 ‎ A． B． C. D．‎ ‎10.若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图像的一个对称中心可以为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎11.如图，过抛物线的焦点的直线交抛物 线于点，交其准线于点C，若，且，‎ 则为 A． B． C． D．‎ ‎12.已知函数，若正实数满足 ‎，则的最小值为 ‎ A.1 B. C.9 D.18‎ 二.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 ‎13.在的展开式中，项的系数为 .‎ ‎14.抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次试验成功，则在8次试验中，成功次数ξ的期望是 .‎ ‎15.已知椭圆，是的长轴的两个端点，点是上的一点，满足，设椭圆的离心率为，则______.‎ ‎16.已知是边长为的等边三角形，是平面内一点，则的最小值为 . ‎ 三.解答题：共70分 ‎ ‎17.（本题满分12分）已知在△中，．‎ ‎（Ⅰ）若，求；‎ ‎（Ⅱ）求的最大值．‎ ‎18.（本题满分12分）‎ 私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：‎ 年龄（岁）‎ ‎[15，25)‎ ‎[25，35)‎ ‎[35，45)‎ ‎[45，55)‎ ‎[55，65)‎ ‎[65，75]‎ 频数 ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎5‎ 赞成人数 ‎4‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎（Ⅰ）完成被调查人员的频率分布直方图；‎ ‎（Ⅱ）若从年龄在[15，25)，[25，35)的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查，求恰有2人不赞成的概率；‎ ‎（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，再记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．‎ ‎19（本题满分12分）‎ 如图，边长为3的正方形所在平面与等腰直角三角形所在平面互相垂直，，且，.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值的大小.‎ ‎20.如图，是圆：内一个定点，是圆上任意一点．线段的垂直平分线和半径相交于点．（1）当点在圆上运动时，点的轨迹是什么曲线？并求出其轨迹方程；（2）过点作直线与曲线交于、两点，点关于原点的对称点为，求的面积的最大值．‎ ‎21.(本题满分12分)‎ 已知函数.‎ ‎(Ⅰ) 若函数在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；‎ ‎(Ⅱ) 设函数，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围．‎ 选做题（请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分）‎ 22. ‎（本小题满分10分）选修4—5；极坐标与参数方程 已知直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎(Ⅰ)求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；‎ ‎(Ⅱ)设直线与曲线交于两点，求.‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲 已知函数 ‎（Ⅰ）当时，解关于的不等式；‎ ‎（Ⅱ）若的解集包含，求实数的取值范围 ‎ ‎ ‎ 高三数学（理）答案 一、选择题 ‎1. B 2.D 3. B 4. B 5. A 6. D 7. C 8. D 9.D 10.A 11.C 12.A 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17解：（Ⅰ）由余弦定理及题设 ‎，得．‎ 由正弦定理，， 得． ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知．‎ ‎ 因为，所以当，取得最大值 ‎18解：（Ⅰ）各组的频率分别为 所以图中各组的纵坐标分别是 ‎（Ⅱ）由表知年龄在[15，25)内的有5人，不赞成的有1人，年龄在[25，35) 内的有10人，不赞成的有4人，恰有2人不赞成的概率为：‎ ‎……………7分 ‎（Ⅲ）的所有可能取值为：0,1,2,3……………6分 ‎ ‎ 所以的分布列是：‎ ‎……………………………………………10分 所以的数学期望． ………………………………………………12分 ‎19.【答案】（Ⅰ）略； （Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）证明：过作交于，连接因为，，所以……2分 又，所以故，…4分 所以四边形为平行四边形，故，‎ 而平面，平面，‎ 所以平面；……6分 ‎（Ⅱ）以为坐标原点，所在方向为轴正方向，建立平面 直角坐标系，则，，，‎ 平面的法向量为，设平面的法向量为 ‎，则，即 ‎，不妨设，则 二面角的余弦值是 ……12分 ‎20.解（1）由题意得，‎ 根据椭圆的定义得点的轨迹是以、为焦点的椭圆，·········2分 ‎，，，轨迹方程为．·········4分 ‎（2）由题意知（为点到直线的距离），‎ 设的方程为，联立方程得，‎ 消去得，‎ 设，，则，，·········6分 则，·········8分 又，·········9分 ‎，·········10分 令，由，得，‎ ‎，，易证在递增，，‎ ‎，面积的最大值．·········12分 ‎21．已知函数．‎ ‎(Ⅰ) ，‎ 即，对恒成立，‎ 设，‎ 在上增，减，则 ‎，即………………4分 ‎(Ⅱ) 设函数，‎ 则原问题在上至少存在一点，使得．………5分 ‎，则在增，，舍；………………7分 ‎，，‎ ‎ ，，则，舍；………………9分 ‎，‎ 则在增，，整理得………11分 综上，………12分 ‎22.【答案】（Ⅰ）,； （2）‎ ‎【解析】（Ⅰ）直线:（为参数），消去得，即……2分 曲线：，即，……3分 又，……4分 故曲线：……5分 ‎（Ⅱ）直线的参数方程为（为参数）直线的参数方程为（为参数），……7分 代入曲线：，消去得，……9分 由参数的几何意义知，……10分 ‎23.（Ⅰ）————————————————5分 ‎（Ⅱ）对恒成立 时，‎ 时，‎ 综上：—————————————————————10分