北师大版高中数学选修1-1同步练习：综合学习与测试（2）（含答案）
综合学习与测试(二)
一．填空题（每小题 5 分，共 60 分）
1. f(x)=x3, 0'( )f x =6，则x0= ( )
A. 2 B. － 2 C. 2 D. ±1
2．若函数 f(x)=2x2+1，图象上 P(1,3)及邻近上点 Q(1+Δx,3+Δy)， 则
x
y
=（ ）
A. 4 B .4Δx C .4+2Δx D. 2Δx
3、 0'( )f x =0是可导函数y=f(x)在点x=x0处有极值的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.非充分非必要条件
4．椭圆 2 2
125 9
x y 上有一点 P 到左准线的距离是 5，则点 P 到右焦点的距离是（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
5．命题“方程 x2－1=0 的解是 x=±1”中使用逻辑联结词的情况是( )
A．没有使用逻辑联结词； B．使用了逻辑联结词“且”；
C．使用了逻辑联结词“或”； D．使用了逻辑联结词“非”．
6．下列说法正确的是( )
A．x≥3 是 x＞5 的充分而不必要条件
B．x≠±1 是|x|≠1 的充要条件
C．若 ，则 p 是 q 的充分条件
D．一个四边形是矩形的充分条件是：它是平行四边形
7. 下列命题为特称命题的是（ ）
A 偶函数的图象关于 y 轴对称 B 正四棱柱都是平行六面体
C 不相交的两条直线是平行直线 D 存在实数大于等于 3
8．已知抛物线 C1： 2 2y x x 和 C2： 2y x a ,如果直线 l 同时是 C1 和 C2 的切线，
称
l 是 C1 和 C2 的 公 切 线 ， 若 C1 和 C2 有 且 仅 有 一 条 公 切 线 ， 则 a 的 值 为
( )
A．1 B．－1 C． 1
2
D． 1
2
9．设函数 f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如图 1 所示，则导函数 y=f (x)
可能为（ ）
x
y
O
A
x
y
O
B
x
y
O
C
y
O
D
x x
y
O
图 1
10．已知 h>0，设命题 p：两个实数 a , b 满足| a b|<2h，命题 q：两个实数满足
| a 1|
c>0)的点的轨迹 是左半
个椭圆 D．到定直线
c
ax
2
和定点 F(c，0)的距离之比为
c
a (a>c>0)的点的轨迹是椭
圆
12． 1F 、 2F 为椭圆的两个焦点,Q 为椭圆上任一点,从任一焦点向 1 2FQF 的顶点 Q 的
外
角 平 分 线 引 垂 线 , 垂 足 为 P, 则 P 点 轨 迹 是
( )
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D ．抛物线
二．填空题（每小题 5 分，共 30 分）
13 ． 写 出 命 题 “ 至 少 有 一 个 实 数 x ， 使 013 x ” 的 否
定 。
14 ． 离 心 率
2
1e ， 一 个 焦 点 是 3,0 F 的 椭 圆 标 准 方 程 为
___________ .
15．与椭圆 4 x 2 + 9 y 2 = 36 有相同的焦点,且过点(－3，２)的椭圆方程为
_______________．
16．已知椭圆 126
22
yx ， M 为椭圆上的一点， 21, FF 为椭圆的左右两个焦点，且满
足 32|||| 21 MFMF ，则 21cos MFF 的值为 .
17、曲线
xy 12 在点（3，4）处的切线方程是_________________________________.
18、若曲线 pxxy 42 2 与直线 1y 相切，则 p =____________________.
三．解答题（共 5 小题，满分 70 分）
19. 关于 x 的实系数一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 有两个异号实根的充要条件
是什么？为什么？
20．（14 分）已知双曲线与椭圆 136
22
yx 有相同的焦点，且与椭圆相交，其四个交
点恰好是一个正方形的四个顶点，求此双曲线的方程.
21．（14 分）已知命题 p： 1| | 23
a ，命题 q：集合 A＝ 2{ | ( 2) 1 0}x x a x ，B={ | 0}x x
且 A B ，求实数 a 的取值范围，使命题 p，q 中至少有一个为真命题.
22．（14 分）已知： 2( )f x x px q ，求证：
（1） (1) (3) 2 (2) 2f f f ；（2） (1) , (2) , (3)f f f 中至少有一个不小于 1
2
.
23．（16 分）已知 1x 是函数 3 2( ) 3( 1) 1f x mx m x nx 的一个极值点，其中
, , 0m n R m ，
（I）求m 与n 的关系式；（II）求 ( )f x 的单调区间； （III）当 1,1x 时，函数
( )y f x 的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3m ，求m 的取值范围.
参考答案
一．选择题：
1．C 2．C 3．B 4．C 5．C 6．B 7．D 8．D 9．D 10．B 11．D 12．A
二．填空题：
13． Rx ， 013 x ；14．
12736
22
xy , 15．
11015
22
yx ； 16． 1
3 ；17．
02434 yx ； 18．3.
三．解答题
19．解：关于 x 的实系数的一元二次方程 ax2＋bx＋c=0 有两个异号实根的充
要条件是 ac＜0．证明：(1)充分性：∵ac＜0，∴－4ac＞0，∴Δ=b2－4ac＞0，
∴设 x1，x2 为原方程的两个不等实根，又
由韦达定理得： ＜ ，从而 ， 异号．即： ＜ 是关于x x = a
c = ac
a 0 x x ac 01 2 2 1 2
x 的实系数一元二次方程 ax2＋bx＋c=0 有两个异号实根的充分条件．(2)必要
性；设 x1，x2 是关于 x 的实系数一元二次方程 ax2＋bx＋c=0 的两
个异号实根，则 ＜ ，∴ ＜ ．即： ＜ 是关于 的实系数一x x = c
a 0 ac 0 ac 0 x1 2
元二次方程 ax2＋bx＋c=0 有两个异号实根的必要条件．综合(1)(2)可得原结
论成立
20．椭圆的焦点为（ 3,0 ）和（－ 3,0 ）
由椭圆及双曲线的对称性可知，四个交点分别关于 x 轴和 y 轴对称，又是正方形
的四个顶点，故可设其中一个交点为（m，m）
代入椭圆方程，可得 m＝± 2 ，于是其中一个交点为（ 2 ， 2 ）
设双曲线方程为
2 2
2 2 1x y
a b
，有
2 2
2 2
3
2 2 1
a b
a b
，解得 2 1a ， 2 2b
可求得双曲线方程为
2
2 12
yx
21． 1| | 2 5 73
a a ，则命题 p： 5 7a
由 A B 得： { | 0}A x x ，则：
2( 2) 4 0a 或 2( 2) 4 0
( 2) 0
a
a
，解得： 4a ，即 q： 4a
若 p 真 q 假，则 5 4a ；若 p 假 q 真，则 7a ；若若 p 真 q 真，则 4 7a
综上所述，实数 a 的取值范围为 ( 5, )
22．（1）证明：∵ qpxxxf 2)(
∴ qpf 1)1( qpf 24)2( qpf 39)3(
所以， (1) (3) 2 (2)f f f (1 ) (9 3 ) 2(4 2 )p q p q p q ＝2
（2）假设 )3(,)2(,)1( fff 都小于 2
1 ，则 2
1)3(,2
1)2(,2
1)1( fff ，
即有 2
1)1(2
1 f 2
1)2(2
1 f
2
1)3(2
1 f
∴ 2)2(2)3()1(2 fff
由（1）可知 2)2(2)3()1( fff ，与 2)2(2)3()1(2 fff 矛盾，
∴假设不成立，即原命题成立。
23．(I) 2( ) 3 6( 1)f x mx m x n ，因为 1x 是函数 ( )f x 的一个极值点,所以 (1) 0f ,
即3 6( 1) 0m m n ，所以 3 6n m
（II）由（I）知， 2( ) 3 6( 1) 3 6f x mx m x m = 23 ( 1) 1m x x m
当 0m 时，有 21 1 m
，当 x 变化时， ( )f x 与 ( )f x 的变化如下表：
x 2,1 m
21 m
21 ,1m
1 1,
( )f x
0 0 0 0 0
( )f x 调调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
故由上表知，当 0m 时，
( )f x 在 2,1 m
单调递减，在 2(1 ,1)m
单调递增，在(1, ) 上单调递减.
（III）由已知得 ( ) 3f x m ，即 2 2( 1) 2 0mx m x
又 0m 所以 2 2 2( 1) 0x m xm m
即 2 2 2( 1) 0, 1,1x m x xm m
①
设 2 1 2( ) 2(1 )g x x xm m
，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，
所以
2 2( 1) 0 1 2 0
(1) 0 1 0
g
m mg
解之得 4
3 m 又 0m 所以 4 03 m
即m 的取值范围为 4 ,03