高考数学 17-18版 第6章 第31课 课时分层训练31

高考数学 17-18版 第6章 第31课 课时分层训练31

课时分层训练(三十一)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、填空题 ‎1．在边长为1的等边△ABC中，设＝a，＝b，＝c，则a·b＋b·c＋c·a＝________.‎ ‎－　[依题意有a·b＋b·c＋c·a＝＋＋＝－.]‎ ‎2．(2017·启东中学高三第一次月考)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝________.‎ ‎8　[∵a＝(1，m)，b＝(3，－2)，‎ ‎∴a＋b＝(4，m－2)．‎ 由(a＋b)⊥b可知，(a＋b)·b＝0.‎ 即12－2(m－2)＝0，∴m＝8.]‎ ‎3．已知点A(0,1)，B(－2,3)，C(－1,2)，D(1,5)，则向量在方向上的投影为________．‎ ‎－　[∵＝(－1,1)，＝(3,2)，‎ ‎∴在方向上的投影为||cos〈，〉＝＝＝＝－.]‎ ‎4．(2017·盐城模拟)已知|a|＝4，|b|＝2，且a与b夹角为120°，则(a＋2b)·(a＋b)＝________.‎ ‎12　[∵|a|＝4，|b|＝2，∴a·b＝4×2×cos 120°＝－4.‎ ‎∴(a＋2b)·(a＋b)＝a2＋3a·b＋2b2＝16－12＋8＝12.]‎ ‎5．已知平面向量a与b的夹角为，a＝(1，)，|a－2b|＝2，则|b ‎|＝________. ‎ ‎【导学号：62172168】‎ ‎2　[由题意得|a|＝＝2，则|a－2b|2＝|a|2－4|a||b|cos〈a，b〉＋4|b|2＝22－4×2cos |b|＋4|b|2＝12，解得|b|＝2(负舍)．]‎ ‎6．(2017·南通模拟)已知向量a，b满足a＝(4，－3)，|b|＝1，|a－b|＝，则向量a，b的夹角为________．‎ 　[∵a＝(4，－3)，∴|a|＝5，‎ 又|a－b|＝ ‎∴|a－b|2＝a2＋b2－2a·b，即21＝25＋1－2a·b，‎ ‎∴a·b＝.‎ 设a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝.‎ 又θ∈[0，π]，∴θ＝.]‎ ‎7．在△ABC中，若·＝·＝·，则点O是△ABC的________(填“重心”“垂心”“内心”或“外心”)．‎ 垂心　[∵·＝·，‎ ‎∴·(－)＝0，‎ ‎∴·＝0，‎ ‎∴OB⊥CA，即OB为△ABC底边CA上的高所在直线．‎ 同理·＝0，·＝0，故O是△ABC的垂心．]‎ ‎8．已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________. 【导学号：62172169】‎ 　[因为⊥，所以·＝0，‎ 所以(λ＋)·＝0，即(λ＋)·(－)＝λ·－λ＋－·＝0.‎ 因为向量与的夹角为120°，||＝3，||＝2，‎ 所以(λ－1)||||·cos 120°－9λ＋4＝0，解得λ＝.]‎ ‎9．(2017·南京一模)如图313，在△ABC中，AB＝AC＝3，cos∠BAC＝，＝2，则·的值为________．‎ 图313‎ ‎－2　[∵＝－，‎ ‎∴·＝(＋)·＝·(－)‎ ‎＝·(－)‎ ‎＝－2＋2＋· ‎＝－×9＋×9＋×3×3× ‎＝－6＋3＋1＝－2.]‎ ‎10．(2016·天津高考改编)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连结DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为________．‎ 　[如图所示，＝＋.‎ 又D，E分别为AB，BC的中点，‎ 且DE＝2EF，所以＝，＝＋＝，‎ 所以＝＋.‎ 又＝－，‎ 则·＝·(－)‎ ‎＝·－2＋2－· ‎＝2－2－·.‎ 又||＝||＝1，∠BAC＝60°，‎ 故·＝－－×1×1×＝.]‎ 二、解答题 ‎11．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．‎ ‎(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；‎ ‎(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值. 【导学号：62172170】‎ ‎[解]　(1)由题设知＝(3,5)，＝(－1,1)，则 ＋＝(2,6)，－＝(4,4)．‎ 所以|＋|＝2，|－|＝4.‎ 故所求的两条对角线长分别为4，2.‎ ‎(2)由题设知＝(－2，－1)，‎ －t＝(3＋2t,5＋t)．‎ 由(－t)·＝0，‎ 得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，‎ 从而5t＝－11，所以t＝－.‎ ‎12．已知|a|＝4，|b|＝3，(‎2a－3b)·(‎2a＋b)＝61.‎ ‎(1)求a与b的夹角θ；‎ ‎(2)求|a＋b|；‎ ‎(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积．‎ ‎[解]　(1)∵(‎2a－3b)·(‎2a＋b)＝61.‎ ‎∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.‎ 又∵|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6.‎ ‎∴cos θ＝＝＝－，‎ 又∵0≤θ≤π，∴θ＝.‎ ‎(2)|a＋b|2＝(a＋b)2‎ ‎＝|a|2＋2a·b＋|b|2‎ ‎＝42＋2×(－6)＋32＝13，‎ ‎∴|a＋b|＝.‎ ‎(3)∵与的夹角θ＝，‎ ‎∴∠ABC＝π－＝.‎ 又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，‎ ‎∴S△ABC＝||||sin∠ABC＝×4×3×＝3.‎ B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．(2017·南通一模)已知边长为4的正三角形ABC，＝，＝，AD与BE交于点P，则·的值为________．‎ 图314‎ ‎3　[以BC为x轴，AD为y轴，建立坐标系，B(－2,0)，C(2,0)，A(0,2)，P(0，)．所以·＝(－2，－)·(0，－)＝3.]‎ ‎2．设向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，定义一种向量积a⊗b＝(a1b1，a2b2)，已知向量m＝，n＝，点P(x，y)在y＝sin x的图象上运动，Q是函数y＝f(x)图象上的点，且满足＝m⊗＋n(其中O为坐标原点)，则函数y＝f(x)的值域是________．‎ 　　[设Q(c，d)，由新的运算可得 ＝m⊗＋n＝＋ ‎＝，‎ 由 消去x得d＝sin ，‎ 所以y＝f(x)＝sin ，‎ 易知y＝f(x)的值域是.]‎ ‎3．(2017·如皋市高三调研一)如图315所示，矩形ABCD的顶点A，D分别在x轴，y轴正半轴(含坐标原点)滑动，其中AD＝4，AB＝2.‎ 图315‎ ‎(1)若∠DAO＝，求|＋|；‎ ‎(2)求·的最大值．‎ ‎[解]　(1)由题意可知点A(2，0)，D(0,2)，B(3，)，C(，3)，‎ 所以|＋|＝|(，5)|＝2.‎ ‎(2)过点B作BM⊥AO，垂足为M，过点C作CN⊥OD，垂足为N，设∠DAO＝θ，则∠CDN＝θ，∠ABM＝θ，所以点A(4cos θ，0)，D(0,4sin θ)，B(4cos θ＋2sin θ，2cos θ)，C(2sin θ，4sin θ＋2cos θ)，‎ 则·＝(4cos θ＋2sin θ，2cos θ)·(2sin θ，4sin θ＋2cos θ)＝16sin θcos θ＋4sin2θ＋4cos2θ ‎＝4＋8sin 2θ，∵θ∈，∴(·)max＝12.‎ ‎4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－c)·＝c·.‎ ‎(1)求角B的大小；‎ ‎(2)若|－|＝，求△ABC面积的最大值．‎ ‎[解]　(1)由题意得(a－c)cos B＝bcos C.‎ 根据正弦定理得(sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，‎ 所以sin Acos B＝sin(C＋B)，‎ 即sin Acos B＝sin A，因为A∈(0，π)，所以sin A>0，‎ 所以cos B＝，又B∈(0，π)，所以B＝.‎ ‎(2)因为|－|＝，所以||＝，‎ 即b＝，根据余弦定理及基本不等式得6＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝(2－)ac(当且仅当a＝c时取等号)，‎ 即ac≤3(2＋)，‎ 故△ABC的面积S＝acsin B≤，‎ 即△ABC的面积的最大值为.‎