北京市第五十五中学2019-2020学年高二下学期5月月考数学试题

北京市第五十五中学2019-2020学年高二下学期5月月考数学试题

北京市第五十五中学2019-2020年度第二学期5月阶段调研试卷高二数学 第一部分（选择题 共50分）‎ 一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，把答案填在答题纸上）‎ ‎1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,a2+a4=6,则S5等于(　　)‎ A. 10 B. ‎12 ‎C. 15 D. 30‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 因为等差数列{an}中,a2+a4=6,故a1+a5=6,所以S5===15.故选C.‎ ‎2.设等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时，等于( )‎ A. 6 B. ‎7 ‎C. 8 D. 9‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得数列的通项公式，根据通项公式求得当取最小值时，的值.‎ ‎【详解】依题意，由得，由于，所以时，取最小值.‎ 故选：A ‎【点睛】本小题主要考查等差数列的通项公式，考查等差数列前项和最值的有关问题，属于基础题.‎ ‎3.等比数列的前项和为，若，则的值为( )‎ A. 0 B. ‎-1 ‎C. 1 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等比数列前项和公式的性质，求得的值.‎ ‎【详解】由于，，‎ 所以.‎ 故选：B ‎【点睛】本小题主要考查等比数列前项和公式的性质，属于基础题.‎ ‎4.若椭圆上一点到其焦点的距离为6，则到另一焦点的距离为( )‎ A. 4 B. ‎194 ‎C. 94 D. 14‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆的定义，求得到另一焦点的距离.‎ ‎【详解】依题意，且.‎ 故选：D ‎【点睛】本小题主要考查椭圆的定义，属于基础题.‎ ‎5.“”是“方程表示双曲线”的（ ）‎ A 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据充分条件与必要条件的判断，看条件与结论之间能否互推，条件能推结论，充分性成立，结论能推条件，必要性成立，由此即可求解.‎ ‎【详解】若方程表示双曲线，‎ 则或，‎ 所以“”是“方程表示双曲线”的充分而不必要条件.‎ 故选：A ‎【点睛】本题以双曲线的标准方程及充分必要条件的判断，考查理解辨析能力，属于基础题.‎ ‎6.已知抛物线经过点，若点到该抛物线焦点的距离为3，则( )‎ A. 2 B. C. 4 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据到焦点的距离和抛物线的定义，求得，进而求得，从而求得.‎ ‎【详解】由于点到该抛物线焦点的距离为，根据抛物线的定义可知，所以抛物线的方程为，将代入得，所以.‎ 故选：D ‎【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，属于基础题.‎ ‎7.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 A. 24 B. 48‎ C. 60 D. 72‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，则个位数应该为1或3或5，其他位置共有种排法，所以奇数的个数为，故选D.‎ ‎【考点】排列、组合 ‎【名师点睛】利用排列、组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏，分步时要注意整个事件的完成步骤．在本题中，个位是特殊位置，第一步应先安排这个位置，第二步再安排其他四个位置．‎ ‎8.有三对师徒共6个人,站成一排照相,每对师徒相邻的站法共有 A. 72 B. 54‎ C. 48 D. 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意得每对师徒相邻的站法共有种.选C．‎ ‎9.在的展开式中，若二项式系数的和为32，则展开式中各项系数和为( )‎ A. -1 B. ‎1 ‎C. D. 32‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二项式展开式中二项式系数的和求得，利用赋值法求得展开式中各项系数和.‎ ‎【详解】由于二项式展开式中二项式系数和为，所以.‎ 所以二项式为，令，求得展开式中各项系数和为.‎ 故选：A ‎【点睛】本小题主要考查二项式展开式中二项式系数和、系数和的有关计算，属于基础题.‎ ‎10.位于坐标原点的一个质点按下述规则移动，质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上，向右移动的概率都是，质点移动六次后位于点的概率是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.‎ ‎【详解】由于移动六次后位于点，故质点向右移动 次，向上移动两次，故所求的概率为.‎ 故选：B ‎【点睛】本小题主要考查相互独立事件概率计算，属于基础题.‎ 第二部分 （非选择题 共70分）‎ 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分. 把答案填在答题纸上）‎ ‎11.等比数列{an}的前n项和为．已知，则{an}的通项公式____， ____．‎ ‎【答案】 (1). (2). 2‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ ‎12.已知双曲线的一条渐近线方程为，则______；离心率______.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由双曲线方程的一条渐近线方程为，求得的值，进而得到的值，根据离心率的定义，即可求得离心率.‎ ‎【详解】由双曲线方程，可得其渐近线方程为，‎ 因为双曲线的一条渐近线方程为，所以，‎ 又由，‎ 所以双曲线的离心率为.‎ 故答案：，.‎ ‎【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，以及双曲线的几何性质的求解，其中解答中熟记双曲线的几何性质，求得的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎13.已知某离散型随机变量的数学期望，的分布列如下：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ b 则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据以及概率之和为列方程，解方程求得的值.‎ ‎【详解】依题意，‎ 解得.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查随机变量数学期望的有关计算，属于基础题.‎ ‎14.在二项式的展开式中，含的项的系数是________．‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】‎ 分析：先根据二项展开式的通项公式求含的项的项数，再确定对应项系数.‎ 详解： ，‎ 所以令得 ，即含的项的系数是 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 ‎(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.‎ ‎(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.‎ ‎15.如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1（允许一侧无珠），记上、中、下三档的数字和分别为，，. 例如，图中上档的数字和. 若，，成等差数列，则不同的分珠计数法有____种.‎ ‎【答案】32‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先确定每档可取的整数，再根据公差分类讨论，最后根据分类计数原理得结果.‎ ‎【详解】每档可取7到14中的每个整数，‎ 若公差为0，共有8种；‎ 若公差为±1，则共有12种；‎ 若公差为±2，则共有8种；‎ 若公差为±3，则共有4种；‎ 所以，不同分珠方法有：8＋12＋8＋4＝32种，‎ 故答案为32‎ ‎【点睛】本题考查分类计数原理，考查基本分析求解能力，属难题.‎ 三、解答题（共3小题，共45分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）‎ ‎16.已知等差数列满足，.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设等比数列满足，，问：与数列的第几项相等？‎ ‎（3）若数列，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）； （2）； （3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，求得公差，再由，求得，结合等差数列的通项公式，即可求解；‎ ‎（2）由，，求得等比数列的首项和公比，利用等比数列的通项公式求得，结合（1），即可求解；‎ ‎（3）由（1）、（2）求得，利用等差数列和等比数列的前n项和公式，即可求解.‎ ‎【详解】（1）设等差数列的公差为，‎ 因为，所以，‎ 又因，即，解得，‎ 所以数列的通项公式为.‎ ‎（2）设等比数列的公比为，‎ 因为，，所以，解得，‎ 所以，则，‎ 令，解得，即是数列的第63项相等.‎ ‎（3）由（1）、（2）可知，，所以，‎ 所以数列的前项和 ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式，以及前n项和公式的应用，其中解答中熟记等差、等比的通项公式，以及等差、等比数列的求和公式，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.‎ ‎17.挑选空间飞行员可以说是“万里挑一”，要想通过需要五关：目测、初检、复检、文考（文化考试）、政审.若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、丙三位同学通过复检关的概率分别是0.5、0.6、0.75，能通过文考关的概率分别是0.6、0.5、0.4，由于他们平时表现较好，都能通过政审关，若后三关之间通过与否没有影响.‎ ‎（1）求甲被录取成为空军飞行员的概率；‎ ‎（2）求甲、乙、丙三位同学中恰好有一个人通过复检的概率；‎ ‎（3）设只要通过后三关就可以被录取，求录取人数的分布列.‎ ‎【答案】（1）； （2）； （3）分布列见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设甲乙丙三位同学分别通过复检为事件，甲乙丙同学通过文考为事件,‎ 可得，，‎ ‎（1）根据相互独立事件的概率计算公式，即可求得甲被录取成为空军飞行员的概率；‎ ‎（2）根据题意，得到甲乙丙三位同学分别通过复检的事件，‎ 利用相互独立事件的概率计算公式，即可求解；‎ ‎（3）分别求得甲、乙、丙同学被录取的概率为，找出随机变量可能取值为，‎ 求得相应的概率，即可得到随机变量的分布列.‎ ‎【详解】设甲乙丙三位同学分别通过复检为事件，甲乙丙同学通过文考为事件,‎ 可得，，‎ ‎（1）由题意，可得甲被录取成为空军飞行员的概率为：‎ ‎.‎ ‎（2）由题意，甲乙丙三位同学分别通过复检，即为事件，‎ 利用独立事件的概率计算公式，可得甲、乙、丙三位同学中恰好有一个人通过复检的概率为：‎ ‎.‎ ‎（3）由题意，甲同学被录取的概率为，‎ 乙同学被录取概率为，‎ 丙同学被录取的概率为，‎ 可以看作3次的独立重复试验，其中随机变量可能取值为，‎ 则，，‎ ‎，，‎ 所以随机变量的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ ‎ ‎【点睛】本题主要考查了相互独立事件的概率计算，以及离散型随机变量的分布列与数学期望的求解，其中解答中认真审题，合理利用独立事件的概率计算公式，以及找出随机变量的取值，求得相应的概率是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.‎ ‎18.已知抛物线经过点.‎ ‎（1）写出抛物线的标准方程及其准线方程，并求抛物线的焦点到准线的距离；‎ ‎（2）过点且斜率存在的直线与抛物线交于不同的两点，，且点关于轴的对称点为，直线与轴交于点.‎ ‎（i）求点的坐标；‎ ‎（ii）求与面积之和的最小值.‎ ‎【答案】（1），，焦点到准线的距离为1； （2）（i），（ii）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由抛物线经过点，求得抛物线的方程为，再结合抛物线的几何性质，即可求解；‎ ‎（2）（i）设过点的直线，联立方程组，求得，再由直线 的方程，，即可求解的坐标；‎ ‎（ii）利用三角形的面积公式，求得与面积之和的表示，结合基本不等式，即可求解.‎ ‎【详解】（1）由题意，抛物线经过点，即，‎ 解得，所以抛物线的方程为，‎ 抛物线的准线方程为，抛物线的焦点到准线的距离为1.‎ ‎（2）（i）设过点的直线，‎ 代入抛物线的方程，可得，‎ 设直线与抛物线的交点，且，‎ 则，‎ 所以直线的方程为，‎ 即，即，‎ 令，可得，‎ 所以，所以，所以，‎ ‎（ii）如图所示，可得，‎ ‎，‎ 所以与面积之和为：‎ ‎，‎ 当且仅当时，即时等号成立，‎ 所以与面积之和的最小值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程及几何性质、及直线与抛物线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等。‎