云南省大理丽江怒江2020届高三毕业生复习统一检测数学（理）试题

云南省大理丽江怒江2020届高三毕业生复习统一检测数学（理）试题

秘密★启用前 【考试时间：1月2日 15∶00 — 17∶00】‎ 大理、丽江、怒江2020届高中毕业生第二次复习统一检测 理科数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟 考生注意：‎ ‎1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮檫干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，则为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．设是虚数单位，如果复数的实部与虚部是互为相反数，那么实数的值为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后，甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用．若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ）‎ ‎ A．丙被录用了 B．乙被录用了 C．甲被录用了 D．无法确定谁被录用了 ‎4．设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列四个命题：‎ ‎ ①若，，则，为异面直线； ②若，，，则；‎ ‎ ③若，，则； ④若，，，则 ‎．‎ 则上述命题中真命题的序号为（ ）‎ ‎ A．①② B．③④ C．②③ D．②④‎ ‎5．若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如．下面程序框图的算法源于我国南北朝时期闻名中外的《中国剩余定理》，执行该程序框图，则输出的值等于（ ）‎ ‎ A．29 ‎ ‎ B．30 ‎ ‎ C．31 ‎ ‎ D．32‎ ‎6．曲线在处的切线的倾斜角为，则的值为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知函数，，则函数的大致图象是（ ）‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C． D． ‎ ‎8．等比数列的前项和为，若，，‎ 则（ ）‎ ‎ A．510 B．255 C．127 D．6540‎ ‎9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）‎ ‎ A． ‎ ‎ B． ‎ ‎ C． ‎ ‎ D．‎ ‎10．已知，，，，则（ ）‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎11．设、分别是椭圆的焦点，过的直线交椭圆于、两点，且，，则椭圆的离心率为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数，，若函数的所有零点依次记为，，，，，且，则（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．在的展开式中，的系数是 ．‎ ‎14．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”．其中“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则每天比前一天少织布的尺数为 ．‎ ‎15．已知双曲线的两条渐进线均与圆 相切，且双曲线的右焦点为圆的圆心，则双曲线的方程为 ． ‎ ‎16．平行四边形中，，，，是平行四边形内一点，且．若，则的最大值为 ．‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎17．（12分）‎ ‎ 在中，内角、、的对边分别为、、，已知，‎ 且．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求的面积．‎ ‎18．（12分）‎ 某工厂预购买软件服务，有如下两种方案：‎ 方案一：软件服务公司每日收取工厂60元，对于提供的软件服务每次10元；‎ 方案二：软件服务公司每日收取工厂200元，若每日软件服务不超过15次，不另外收费，若超过15次，超过部分的软件服务每次收费标准为20元．‎ ‎（1）设日收费为元，每天软件服务的次数为，试写出两种方案中与的函数关系式；‎ ‎（2）该工厂对过去100天的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形图，依据该统计数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，从两个方案中选择一个，哪个方案更合适？请说明理由．‎ ‎19．（12分）‎ 在四棱锥中，，．‎ ‎（1）设与相交于点，若存在点使得，且平面，求实数的值；‎ ‎（2）若，，，且，求二面角的余弦值．‎ A B C M D P ‎20．（12分）‎ 设函数．‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若函数在有零点，证明：．‎ ‎21．（12分）‎ ‎ 设、为曲线上两点，与的横坐标之和为．‎ ‎（1）求直线的斜率；‎ ‎（2）设弦的中点为，过点、分别作抛物线的切线，则两切线的交点为，过点作直线，交抛物线于、两点，连接、．‎ 证明：. ‎ 请考生在第22、23题中任选一道作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．‎ ‎22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系中，圆C的参数方程为（为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求圆C的极坐标方程；‎ ‎（2）直线l的极坐标方程是，射线与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段的长度． ‎ ‎23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）‎ 设函数．‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式的解集为实数集，求的取值范围．‎ 大理、丽江、怒江2020届高中毕业生第二次复习统一检测 理科数学参考答案及评分标准 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D A C C D A A B B D B C ‎12、函数，‎ 令得,，即的对称轴方程为,．‎ 的最小正周期为，，当时,可得，‎ 在上有31条对称轴，根据正弦函数的性质可知：‎ 函数与的交点，关于对称，,关于对称，，‎ 故．即,，，，‎ 将以上各式相加得：‎ ‎．故选C．‎ 二、填空题 ‎13、0 14、 15、 16、2‎ 三、解答题 ‎17、解：（1）因为 由正弦定理得： …………………………2分 又，所以即 又，由余弦定理得 ………………………………………4分 所以……………………………………………………6分 ‎（2）因为…………………………………………………………8分 所以，即 …………………………………………………… 10分 所以 …………………………………………12分 ‎18、解：（1）由题可知，方案一中的日收费与的函数关系式为 ‎…………………………………………………………………2分 方案二中的日收费与的函数关系式为 . …5分 ‎（2）设方案一中的日收费为，由条形图可得的分布列为 ‎190‎ ‎200‎ ‎210‎ ‎220‎ ‎230‎ ‎0.1‎ ‎0.4‎ ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ 所以（元）……8分 方案二中的日收费为，由条形图可得的分布列为 ‎200‎ ‎220‎ ‎240‎ ‎0.6‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎（元）…………………………………11分 所以从节约成本的角度考虑，选择方案一.…………………………………………………12分 ‎19、解：（1）因为，所以．……………………1分 因为平面，平面，平面平面，‎ 所以．………………………………………………………………3分 所以，即．…………………………………………4分 ‎（2）因为，可知三角形ABD为等边三角形，所以，‎ 又，故，所有．‎ 由已知，所以平面，‎ 如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，‎ 设，则，‎ 所以，‎ 则，…………………………6分 设平面的一个法向量为，则有 即令，则，‎ 即，………………………………………………………………………8分 设平面的一个法向量为，则有 即令，则，‎ 即．…………………………………………………………………10分 所以，‎ 设二面角的平面角为，则………………………………12分 ‎20、解：（1）‎ ‎，………………………………………………………………2分 时，，函数在上单调递增；‎ 时，，函数在上单调递减；………………4分 ‎（2）证明：函数在有零点，可得方程有解，‎ 有解，‎ 令，‎ 则，…………………………………6分 设函数，，函数在上单调递增, 又，，………………………………………………8分 又函数在上单调递增，‎ 存在，当时，；当时，，‎ 函数存在唯一最小值点，满足，‎ ‎，‎ 有解，‎ ‎，．……………………………………………………………… 12分 ‎21、解：设则 ‎（1）直线的斜率 …………………………………… 3分 ‎（2）由（1）知，等价于证明，‎ ‎，‎ ‎………………………………………………5分 设直线 过点的切线方程为，整理得 同理，过点处切线的方程为，‎ 联立方程组解得：‎ ‎………………………………………………………………………… 7分 设易知割线的斜率存在，因为，设割线的方程为 ‎，代入抛物线，整理得，‎ 则．‎ 所以，‎ ‎，‎ ‎ …………… 8分 因为，‎ 所以 所以 ‎ ……………………………………………………………………………………… 11分 综上可得 所以 ………………………………………………12分 ‎22、解：（1）圆C的普通方程为，……………………………………2分 又，‎ 所以圆C的极坐标方程为.……………………………………………………5分 ‎（2）设，则由解得，，得；…………7分 设，则由解得，，得；…9分 所以.……………………………………………………………………10分 ‎23、（1）………………………3分 由，得.……………………………………………………5分 ‎（2），‎ 的图象如图所示：‎ ‎…………………………………………………8分 由的解集为实数集，可得，，‎ 即.………………………………………………………………………………10分