宁夏六盘山高级中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题

宁夏六盘山高级中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题

宁夏六盘山高级中学 2019-2020 学年第一学期高二期末测试卷 学科：数学（理） 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1.已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 ，则复 （ ） A. 1 B. C. i D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用两个复数代数形式的除法法则及虚数单位的幂运算性质，化简复数到最简形式． 【详解】解：复数 ， 故选： ． 【点睛】本题考查两个复数代数形式的乘除法，两个复数相除，分子和分母同时除以分母的 共轭复数，属于基础题． 2.若 ， ，如果 与 为共线向量，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】 利用向量共线的充要条件即可求出． 【详解】解： 与 为共线向量， 存在实数 使得 ， ，解得 ． 1 1 iz i += − z = 1− i− 1 1 iz i += − (1 )(1 ) 2 (1 )(1 ) 2 i i i ii i + += = =− + C ( )2 ,1,3a x= − ( )1,2 ,9b y= a b 1x = 1y = 1 6x = − 3 2y = 1x = − 1y = 1x = − 1y = −  a b ∴ λ λa b=  ∴ 2 1 2 3 9 x y λ λ λ − =  =  = 1 6 3 2 1 3 x y λ  = −  =   = 故选： ． 【点睛】本题考查空间向量共线定理的应用，属于基础题. 3.下列命题中，假命题是（ ） A. 不是有理数 B. C. 方程 没有实数根 D. 等腰三角形不可能有 角 【答案】D 【解析】 【分析】 根据命题真假的定义，对各选项逐一判定即可． 【详解】解： . 为无理数，故 正确， ． ，故 正确， ．因为 ，即方程 没有实根，故 正确， ．等腰三角形可能以 为顶角， 为底角，故 错误， 故选： ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，属于基础题． 4.椭圆 的长轴长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 将椭圆方程化成标准式，根据椭圆的方程可求 ，进而可得长轴 . 【详解】解：因为 ， 所以 ，即 ， ， 所以 ，故长轴长为 故选： 的 B 2 3.14π ≠ 2 1 0x + = 120° A 2 A B 3.1415926π = … B C 4 0∆ = − < 2 1 0x + = C D 120° 30° D D 2 24 1y x+ = 3 2 2 a 2a 2 24 1y x+ = 2 2 11 4 xy + = 2 1a = 2 1 4b = 1a = 2 2a = B 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义的求解及基本概念的考查，属于基础题． 5.如图，在三棱锥 中，点 D 是棱 的中点，若 ， ， ，则 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用向量的三角形法则，表示所求向量，化简求解即可． 【详解】解：由题意在三棱锥 中，点 是棱 的中点，若 ， ， ， 可知： ， ， ， ． 故选： ． 【点睛】本题考查向量的三角形法则，空间向量与平面向量的转化，属于基础题． 6.“ ”是“ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分 也不必要条件 O ABC− AC OA a=  OB b=  OC c=  BD 1 1 2 2a b c− +   a b c+ −   a b c− +   1 1 2 2a b c− + −   O ABC− D AC OA a=  OB b=  OC c=  BD BO OD= +   BO b= −  1 1 1 1 2 2 2 2OD OA OC a c= + = +     1 1 2 2BD a b c= − +    A 4x ≥ 2 2 3 0x x− − > 【答案】A 【解析】 【分析】 首先解一元二次不等式，再根据集合的包含关系判断充分条件、必要条件； 【详解】解：因为 ， 所以 或 ，即 因为  ， 所以“ ”是“ ”的充分不必要条件， 故选： 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，充分条件、必要条件的判定，属于基础题. 7.己知 ， 是椭圆 的左右两个焦点，若 P 是椭圆上一点且 ，则在 中 （ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】 根据椭圆方程求出 、 ，即可求出 、 ，再根据余弦定理计算可得； 【详解】解：因为 ，所以 ， ， 又因为 ， ，所以 ， 在 中，由余弦定理 ，即 ， ， 故选： 【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质及余弦定理解三角形，属于基础题. 8.已知向量 是空间的一组基底，则下列可以构成基底的一组向量是（ ） 2 2 3 0x x− − > 3x > 1x < − ( ) ( ), 1 3,x∈ −∞ − +∞ [ )4,+∞ ( ) ( ), 1 3,−∞ − +∞ 4x ≥ 2 2 3 0x x− − > A 1F 2F 2 2 116 12 x y+ = 2 3=PF 1 2F PF∆ 1 2cos F PF∠ = 3 5 4 5 1 2 a c 1PF 1 2F F 2 2 116 12 x y+ = 4a = 2c = 21 2 4F F c == 2 3=PF 21 2 8PF PF a+ = = 1 5=PF 1 2F PF∆ 1 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 cos2F F PF F PF PF PFP F= ∠+ − ⋅ ⋅ 2 2 1 2 24 3 c5 o2 s3 5 F PF= + − ∠× × 1 2 3 5cos F PF∴ =∠ A { }, ,a b c   A. ， ， B. ， ， C. ， ， D. ， ， 【答案】C 【解析】 【分析】 空间的一组基底，必须是不共面的三个向量，利用向量共面的充要条件可证明 、 、 三 个选项中的向量均为共面向量，利用反证法可证明 中的向量不共面 【详解】解： ， ， ， 共面，不能构成基底，排除 ； ， ， ， 共面，不能构成基底，排除 ； ， ， ， 共面，不能构成基底，排除 ； 若 、 ， 共面，则 ，则 、 、 为共 面向量，此与 为空间的一组基底矛盾，故 、 ， 可构成空间向量的一组基 底． 故选： ． 【点睛】本题主要考查了空间向量基本定理，向量共面的充要条件等基础知识，判断向量是 否共面是解决本题的关键，属于中档题. 9.动点 在圆 上移动时，它与定点 连线的中点的轨迹方程是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 设连线的中点为 ,再表示出动点 的坐标,代入圆 化简即可. 【详解】设连线的中点为 ,则因为动点 与定点 连线的中点为 ,故 a b+  a a b−  a b+  b a b−  a b+  c a b−  a b+  2a b−  a b−  A B D C ( ) ( ) 2a b a b a+ + − =      ∴ a a b+  a b−  A ( ) ( ) 2a b a b b+ − − =      ∴ b a b+  a b−  B  ( ) ( )3 12 2 2a b a b a b− = − + +      ∴ a b+  a b−  2a b−  D c a b+  a b−  ( ) ( ) ( ) ( )c a b m a b m a m bλ λ λ= + + − = + + −       a b c { }, ,a b c   c a b+  a b−  C A 2 2 1x y+ = ( )3,0B 2 2 3 2 0x y x+ + + = 2 2 3 2 0x y x+ − + = 2 2 3 2 0x y y+ + + = 2 2 3 2 0x y y+ − + = ( , )P x y A 2 2 1x y+ = ( , )P x y ( , )A AA x y ( )3,0B ( , )P x y ,又 在圆 上,故 , 即 即 故选 B 【点睛】本题主要考查了轨迹方程的一般方法,属于基础题型. 10.已知椭圆 ，则以点 为中点的弦所在直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用点差法求出直线 的斜率，再利用点斜式即可求出直线方程． 【详解】解：设以点 为中点的弦与椭圆 交于点 ， ， ， ， 则 ， ， 分别把点 ， 的坐标代入椭圆方程得： ， 两式相减得： ， ， 直线 的斜率 ， 以点 为中点的弦所在直线方程为： ，即 ， 故选： ． 【点睛】本题主要考查了点差法解决中点弦问题，属于中档题． 11.多面体是由底面为 的长方体被截面 所截得到的，建立下图的空间直角坐标 3 2 32 20 2 A A AA x x x x y yy y + = = − ⇒  =+  = A 2 2 1x y+ = 2 2( ) (2 3 1)2x y− + = 2 2 2 24 12 9 4 1,4 12 8 4 0x x y x x y− + + = − + + = 2 2 3 2 0x y x+ − + = 2 2 12 4 x y+ = ( )1,1M 2 3 0x y+ − = 4 5 9 0x y− + = 5 4 9 0x y− + = 2 3 0x y− − = AB ( )1,1M 2 2 12 4 x y+ = 1(A x 1)y 2(B x 2 )y 1 2 2x x+ = 1 2 2y y+ = A B 2 2 1 1 2 2 2 2 12 4 12 4 x y x y  + =  + = 1 2 1 2 1 2 1 2( )( ) ( )( ) 02 4 x x x x y y y y+ − + −+ = ∴ 1 2 1 2( ) 02 y yx x −− + = ∴ AB 1 2 1 2 2y yk x x −= = −− ∴ (1,1)M 1 2( 1)y x− = − − 2 3 0x y+ − = A ABCD 1AEC F 系，已知 、 、 、 、 、 .若 为平行四边形，则点 到平面 的距离为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用向量垂直数量积为零列方程组求出平面 法向量，结合 ，利用空 间向量夹角余弦公式求出 与所求法向量的夹角余弦，进而可得结果. 【详解】 建立如图所示 空间直角坐标系， 则 ， 设 ， 为平行四边形， 由 得， ， ， ， 设 为平面 的法向量，显然 不垂直于平面 ， 故可设 ， 的 的 (0,0,0)D (2,4,0)B (2,0,0)A (0,4,0)C (2,4,1)E 1(0,4,3)C 1AEC F C 1AEC F 4 11 33 4 33 4 33 33 4 33 11 1AEC F ( )1 0,0,3CC = 1CC ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )10,0,0 , 2,4,0 , 2,0,0 , 0,4,0 , 2,4,1 , 0,4,3D B A C E C ( )0,0,F z 1AEC F ∴ 1AF EC=  ( ) ( )2,0, 2,0,2z− = − 2z∴ = ( ) ( ) ( )0,0,2 , 2,0,2 , 0,4,1F AF AE∴ ∴ = − =  n 1AEC F n ADF ( ), ,1n x y= ， 即 ， ， 所以 ， 又 ，设 与 夹角为 ， 则 ， 到平面 的距离为 ，故选 D. 【点睛】本题主要考查利用空间向量求点面距离，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一 般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相 应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求 出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 12.已知 ， 分别是椭圆 C： 的上下两个焦点，若椭圆上存在四个不同点 P， 使得 的面积为 ，则椭圆 C 的离心率 e 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 求出椭圆的焦距，求出椭圆的短半轴的长，利用已知条件列出不等式求出 的范围，然后求 解离心率的范围． 【详解】解： ， 分别是椭圆 的上下两个焦点，可得 ，短半轴 的 0 4 1 00 2 0 2 00 x yn AE x yn AF  × + × + =⋅ = ⇒ − × + × + =⋅ =    4 1 0 2 2 0 y x + = − + = 1 1 4 x y =∴ = − 11, ,14n  = −    ( )1 0,0,3CC = 1CC n α 1 1 3 4 33cos 3313 1 116 CC n CC n α ⋅= = = ⋅ + +     C∴ 1AEC F 1 4 33 4 33cos 3 33 11d CC α= = × = 1F 2F 2 2 14 x y m + = 1 2PF F∆ 3 1 3,2 2       1 1,3 2      3 2,3 2       20, 2       m 1F 2F 2 2 : 14 x yC m + = 2 2 4c m= − 的长： ， 椭圆上存在四个不同点 ，使得△ 的面积为 ，可得 ， 可得 ，解得 ， 则椭圆 的离心率为： ． 故选： ． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，属于基础题． 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分）. 13.命题“ ， ”的否定为______. 【答案】 ， 【解析】 【分析】 直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可． 【详解】解：因为全称 命题的否定为特称命题，故命题“ ， ”的否定为：“ ， ” 故答案为： ， 【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的关系，属于基础题． 14.己知 ， ，则 ______. 【答案】 【解析】 【分析】 利用公式 ，能求出向量 与 的夹角的余弦值． 【详解】解：因为 ， ， 所以 ， ， m P 1 2PF F 3 1 22 × 4 3m m− × > 2 4 3 0m m− + < (1,3)m∈ C 1 3,2 2 4 2 me      =  − ∈ A 0x∀ > 2 1 0x + > 0x∃ > 2 1 0x + ≤ 0x∀ > 2 1 0x + > 0x∃ > 2 1 0x + ≤ 0x∃ > 2 1 0x + ≤ ( )1,1,2a = ( )1, 1, 1b = − − cos ,a b =  2 3 − cos , a bb a b a =         a b ( )1,1,2a = ( )1, 1, 1b = − − 2 2 21 1 2 6a = + + = ( ) ( )2 221 1 1 3b = + − + − = 故答案为： 【点睛】本题考查向量的夹角的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，属于基 础题． 15.双曲线 上一点 到点 的距离为 9，则点 到点 的距离 ______. 【答案】 或 【解析】 【分析】 先根据双曲线方程求出焦点坐标，再结合双曲线的定义可得到 ，进而可求 出 的值，得到答案. 【详解】 双曲线 ， ， ， ， 和 为双曲线的两个焦点， 点 在双曲线 上， ，解 或 ， ， 或 ， 故答案为： 或 . 【点睛】本题主要考查的是双曲线的定义，属于基础题.求双曲线上一点到某一焦点的距离时， 若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离， 则根据 求解，注意对所求结果进行必要的验证，负数应该舍去，且所求距 离应该不小于 . ( ) ( )1 1 1 1 1 2 2a b = × + − × + − × = −   2 2cos 6 , 33a a ba b b ∴ −= = = − ×       2 3 − 2 2 19 16 x y− = P ( )1 5,0F − P ( )2 5,0F 3 15 1 2 2PF PF a− = 2PF  2 2 19 16 x y− = ∴ 3a = 4b = 5c = ( )1 5,0F − ( )2 5,0F  P 2 2 19 16 x y− = ∴ 1 2 29 6PF PF PF− = − = 2 3PF = 15  2 2PF c a≥ − = ∴ 2 3PF = 15 3 15 1 2 2PF PF a− = c a− 16.已知椭圆 与双曲线 有相同的焦点，则实数 a＝________. 【答案】1 【解析】 由双曲线 可知 a>0，且焦点在 x 轴上，根据题意知 4－a2＝a＋2，即 a2＋a－2＝0， 解得 a＝1 或 a＝－2(舍去)．故实数 a＝1. 点睛：如果已知双曲线 中心在原点，且确定了焦点在 x 轴上或 y 轴上，则设出相应形式的 标准方程，然后根据条件确定关于 a，b，c 的方程组，解出 a2，b2，从而写出双曲线的标准方 程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)． 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分）. 17.实数 m 取什么值时，复数 是： （1）实数； （2）纯虚数； （3）表示复数 z 的点在复平面的第四象限. 【答案】（1） ；（2） ；（3） 【解析】 【分析】 由复数的解析式可得，（1）当虚部等于零时，复数为实数；（2）当虚部不等于零且实部为零 时，复数为纯虚数；（3）当实部大于零且虚部小于零时，复数在复平面内对应的点位于第四 象限． 【详解】解： 复数 ， （1）当 ，即 时，复数为实数． （2）当 ，且 时，即 时，复数为纯虚数． （3）当 ，且 时，即 时，表示复数 的点在复平面的第四象限． 【点睛】本题主要考查复数的基本概念，属于基础题． 18.已知命题 ：实数 满足 （其中 ），命题 ：实数 满足 （1）若 ，且 与 都为真命题，求实数 的取值范围； （2）若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围. 的 2 2 2 14 x y a + = 2 2 12 x y a − = 2 2 12 x y a − = ( )2z m m i= + − 2m = 0m = 0 2m< <  ( )2z m m i= + − ∴ 2 0m − = 2m = 2 0m − ≠ 0m = 0m = 0m > 2 0m − < 0 2m< < z p x 3a x a− < < 0a > q x 1 4x< < 1a = p q x p q a 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 记命题 ： ，命题 ： （1）当 时，求出 ， ，根据 与 均为真命题，即可求出 的范围； （2）求出 ， ，通过 是 的必要不充分条件，得出 ，建立不等式组，求解即可. 【详解】记命题 ： ，命题 ： （1）当 时， ， ， 与 均为真命题，则 ， 的取值范围是 . （2） ， ， 是 的必要不充分条件， 集合 ， ，解得 ， 综上所述， 的取值范围是 . 【点睛】1.命题真假的判断 （1）真命题的判断方法：真命题的判定过程实际就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理 方法进行正确地逻辑推理的一个过程，判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的 逻辑推理方法． （2）假命题的判断方法：通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题 的常用方法． （3）一些命题的真假也可以依据客观事实作出判断． 2.从逻辑关系上看，若 ，但 ，则 是 的充分不必要条件；若 ，但 ，则 是 的必要不充分条件；若 ，且 ，则 是 的充要条件；若 ，且 ，则 是 的既不充分也不必要条件. 19.如图，在正方体 中， 分别是 的中点．求 ( )1,3 4 ,3  +∞  p x A∈ q x B∈ 1a = A B p q x A B p q B A⊆ p x A∈ q x B∈ 1a = { }1 3A x x= − < < { }1 4B x x= < <  p q x A B∈  ∴ x ( )1,3 { }3A x a x a= − < < { }1 4B x x= < <  p q ∴ B A⊆ ∴ 1 3 4 a a − ≤  ≥ 4 3a ≥ a 4 ,3  +∞  p q⇒ q p⇒/ p q p q⇒/ q p⇒ p q p q⇒ q p⇒ p q p q⇒/ q p⇒/ p q 1 1 1 1ABCD A B C D− , , ,E F G H 1 1 1 1, ,C ,BC CC D A A 证： （1）求证： 平面 （2）求异面直线 与 所成角的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】 （ 1 ） 取 的 中 点 ， 连 接 ， 证 明 四 边 形 是 平 行 四 边 形 ， 从 而 ，进而可得 平面 ； （2）设出正方体的棱长，利用向量的加法和数量积求出 ，根据向量的夹角公式可求 出异面直线 与 所成角的余弦值. 【详解】（1）取 的中点 ，连接 ， 则 ， 又 ， EG  1 1BB D D BF 1HB 1 5 BD O 1,EO D O 1OEGD 1/ /EG D O EG  1 1BB D D 1HBBF ⋅  BF 1HB BD O 1,EO D O 1/ / , 2OO C EE D DC= 1 1 1/ / , 2D G D GDC DC= ∴四边形 是平行四边形， ，又 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ； （2）设正方体的棱长为 2，异面直线 与 所成角为 ， 则 ， ， ， 所以异面直线 与 所成角的余弦值为 . 【点睛】本题考查线面平行的判定，以及异面直线所成的角，利用向量的夹角公式，可方便 求出异面直线所成的角，不用建系，不用作图. 20.己知抛物线 ： 过点 （1）求抛物线 的方程： （2）设 为抛物线 的焦点，直线 ： 与抛物线 交于 ， 两点，求 的 面积. 【答案】（1） ；（2）12. 【解析】 【分析】 （1）将点 的坐标代入抛物线方程中即可； （2）联立方程组先求出 ， 点坐标，进而利用两点间距离公式求出 ，然后利用点到直 线距离公式求出 的高，最后代入三角形面积公式求解即可. 【详解】（1） 点 在抛物线 上， 将 代入方程 中，有 ，解得 ， 1 1/ / ,G OEOE D GD∴ = 1OEGD 1/ / OEG D∴ 1D O ⊂ 1 1BB D D EG ⊄ 1 1BB D D EG  1 1BB D D BF 1HB θ 1 5BF HB= = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( )HB BC CF HA A B BC HA BC A B CF HA BF CF AB∴ ⋅ = + ⋅ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅              0 0 1 0 1= + + + = 1 1 1 1cos 55 5 BF BF HB HB θ∴ = = = × ⋅ ⋅      BF 1HB 1 5 C 2 2 ( 0)y px p= > (1, 2 2)M − C F C l 2 8y x= − C A B FAB 2 8y x= M A B AB FAB  M C ∴ (1, 2 2)M − 2 2y px= ( )2 2 2 2 1p− = × × 4p = 抛物线 的方程为 . （2）如图所示，由抛物线方程可知焦点 ， 则点 到直线 的距离为 ， 联立方程组 ，可解得 ， ， 所以， ， 所以， . 【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系以及抛物线性质的应用， 涉及到的知识点包括两点的之间的距离公式和点到直线的距离公式，意在考查学生对这些基 础知识的掌握能力和分析推理能力，属于基础题. 21.如图四棱锥 中，底面 是正方形， ， ，且 ， 为 中点． (1)求证： 平面 ； ∴ C 2 8y x= F(2,0) F AB 2 2 | 2 2 0 8| 4 5 52 ( 1) d × − −= = + − 2 8 2 8 y x y x  =  = − A(8,8) B(2,-4) 2 2| | (2 8) ( 4 8) 6 5AB = − + − − = 1 4 5| | 6 5 122 2 5FAB dS AB= × = × × =  P ABCD− ABCD PB BC⊥ PD CD⊥ PA AB= E PD PA ⊥ ABCD (2)求二面角 的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) . 【解析】 【分析】 （ 1 ） 推 导 出 ， ， 从 而 平 面 ， 进 而 ． 求 出 ，由此能证明 平面 ． （2）以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，利用向量 法能求出二面角 的正弦值． 【详解】（1）∵底面 为正方形， ∴ ， 又 ， ， ∴ 平面 ， ∴ . 同理 ， ， ∴ 平面 . （2）建立如图的空间直角坐标系 ，不妨设正方形的边长为 2.则 ， ， ， 设 为平面 的一个法向量，又 ， ， ，令 ， ，得 同理 是平面 的一个法向量， 则 . ∴二面角 的余弦值为 . A BE C− − 10 5 − BC AB⊥ BC PB⊥ BC ⊥ PAB BC PA⊥ CD PA⊥ PA ⊥ ABCD A AB x AD y AP z A BE C− − ABCD BC AB⊥ BC PB⊥ AB PB B∩ = BC ⊥ PAB BC PA⊥ CD PA⊥ BC CD C∩ = PA ⊥ ABCD A xyz− (0,0,0)A (2,2,0)C (0,1,1)E (2,0,0)B ( ; , )m x y z= ABE (0,1,1)AE = (2,0,0)AB = 0 2 0 m AE y z m AB x  ⋅ = + =  ⋅ = =   1y = − 1z = (0, 1,1)m = − (1,0,2)n = BCE 2 10cos , | || | 52 5 m nm n m n ⋅< >= = = ×      A BE C− − 10 5 − 【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、 面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、 数形结合思想，是中档题． 22.已知椭圆 C： 的一个焦点与上下顶点构成直角三角形，以椭圆 C 的 长轴长为直径的圆与直线 相切． 1 求椭圆 C 的标准方程； 2 设过椭圆右焦点且不重合于 x 轴的动直线与椭圆 C 相交于 A、B 两点，探究在 x 轴上是否 存在定点 E，使得 为定值？若存在，试求出定值和点 E 的坐标；若不存在，请说明理 由． 【答案】（1） ；（2）定点为 . 【解析】 分析：（1）根据一个焦点与短轴两端点的连线相互垂直，以椭圆 的长轴为直径的圆与直线 相切，结合性质 ，列出关于 、 、 的方程组，求出 、 、 ， 即 可 得 结 果 ； (2) 设 直 线 联 立 ， 得 . 假设 轴上存在定点 ，由韦达定 理，利用平面向量数量积公式可得 ，要使 为 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 2 0x y+ − = ( ) ( ) EA EB⋅  2 2 12 x y+ = 5 ,04      C 2 0x y+ + = 2 2 2a b c= + a b c a b c ( )( )1 0y k x k= − ≠ ( ) 2 2 12 1 x y y k x  + =  = − ( )2 2 2 2 21 2 4 2 2 0, 8 8 0k x k x k k+ − + − = ∆ = + > x ( )0 ,0E x ( ) ( )2 2 2 0 0 0 2 2 4 1 2 1 2 x x k x EA EB k − + + − ⋅ == +   EA EB⋅  定值，则 的值与 无关，所以 ，从而可得结果. 详解：（1）由题意知， ，解得 则椭圆 的方程是 （2）①当直线的斜率存在时，设直线 联立 ，得 所以 假设 轴上存在定点 ，使得 为定值。 所以 要使 为定值，则 的值与 无关， 所以 解得 ， 此时 为定值，定点为 ②当直线的斜率不存在时， ， 也成立 所以，综上所述，在 轴上存在定点 ，使得 为定值 EA EB⋅  k ( )2 2 0 0 02 4 1 2 2x x x− + = − 2 2 2 0 0 2 2 b c a b c a =  + − =   + = 1 2 1 b a c =  =  = C 2 2 12 x y+ = ( )( )1 0y k x k= − ≠ ( ) 2 2 12 1 x y y k x  + =  = − ( )2 2 2 2 21 2 4 2 2 0, 8 8 0k x k x k k+ − + − = ∆ = + > 2 2 2 2 4 2 2,1 2 1 2A B A B k kx x x xk k −+ = =+ + x ( )0 ,0E x EA EB⋅  ( ) ( ) ( ) 2 0 0 0 0, ,A A B B A B A B A BEA EB x x y x x y x x x x x x y y⋅ = − ⋅ − = − + + +  ( )( )2 2 0 0 1 1A B A Bx x x x k x x= − + + − − ( ) ( )( )2 2 2 2 0 01 A B A Bk x x x k x x x k= + − + + + + ( ) ( )2 2 2 0 0 0 2 2 4 1 2 1 2 x x k x k − + + − = + EA EB⋅  EA EB⋅  k ( )2 2 0 0 02 4 1 2 2x x x− + = − 0 5 4x = 7 16EA EB⋅ = −  5 ,04      2 21, , 1,2 2A B    −          7 16EA EB⋅ = −  x 5 ,04E      EA EB⋅  7 16 − 点睛：本题主要考查待定待定系数法求椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点在曲线上 问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位 置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中 消去变量，从而得到定值.