步步高大一轮复习讲义数学2_4函数的奇偶性

步步高大一轮复习讲义数学2_4函数的奇偶性

‎§2.4　函数的奇偶性 ‎1．奇、偶函数的概念 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有______________，那么函数f(x)就叫做偶函数．‎ 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有________________，那么函数f(x)就叫做奇函数．‎ 奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于y轴对称．‎ ‎2．奇、偶函数的性质 ‎(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性________，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性________．‎ ‎(2)在公共定义域内，‎ ‎①两个奇函数的和是________，两个奇函数的积是偶函数；‎ ‎②两个偶函数的和、积都是__________；‎ ‎③一个奇函数，一个偶函数的积是__________．‎ ‎3．周期性 ‎(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝________，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．‎ ‎(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中____________的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．‎ ‎4．对称性 若函数f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x)或f(x)＝f(‎2a－x)，则函数f(x)关于直线x＝a对称．‎ ‎[难点正本　疑点清源]‎ ‎1．函数奇偶性的判断 判断函数的奇偶性主要根据定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)(或f(－x)＝－f(x))，那么函数f(x)就叫做偶函数(或奇函数)．其中包含两个必备条件：‎ ‎①定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域有利于准确简捷地解决问题；‎ ‎②判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．‎ ‎2．函数奇偶性的性质 ‎(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．‎ ‎(2)若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．‎ ‎(3)若奇函数f(x)定义域中含有0，则必有f(0)＝0.‎ ‎“f(0)＝‎0”‎是“f(x)为奇函数”的既不充分也不必要条件．‎ ‎(4)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差)”．‎ ‎(5)复合函数的奇偶性特点：“内偶则偶，内奇同外”．‎ ‎(6)既奇又偶的函数有无穷多个(如f(x)＝0，定义域是关于原点对称的任意一个数集)．‎ ‎1．(课本改编题)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,‎2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________．‎ ‎2．(课本改编题)下列函数中，所有奇函数的序号是________．‎ ‎①f(x)＝2x4＋3x2；②f(x)＝x3－2x；‎ ‎③f(x)＝；④f(x)＝x3＋1.‎ ‎3．(2011·广东)设函数f(x)＝x3cos x＋1.若f(a)＝11，则f(－a)＝________.‎ ‎4．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg x，则满足f(x)>0的x的取值范围是________．‎ ‎5．定义在R上的函数y＝f(x)是奇函数，且满足f(1＋x)＝f(1－x)．当x∈[－1,1]时，f(x)＝x3，则f(2 013)的值是 (　　)‎ A．－1　　　 B．‎0　‎　　　 C．1　　　　 D．2‎ 题型一　函数奇偶性的判断 例1　判断下列函数的奇偶性．‎ ‎(1)f(x)＝＋；‎ ‎(2)f(x)＝(x＋1) ；‎ ‎(3)f(x)＝.‎ 探究提高　判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：‎ ‎(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域对解决问题是有利的；‎ ‎(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．‎ 分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数，分段函数奇偶性的判断，‎ 要分别从x>0或x<0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．‎ ‎ 判断下列函数的奇偶性．‎ ‎(1)f(x)＝lg；(2)f(x)＝(x－1) ；‎ ‎(3)f(x)＝(4)f(x)＝.‎ 题型二　函数的单调性与奇偶性 例2　定义在(－1,1)上的函数f(x)．‎ ‎(ⅰ)对任意x，y∈(－1,1)都有：f(x)＋f(y)＝f；‎ ‎(ⅱ)当x∈(－∞，0)时，f(x)>0，回答下列问题．‎ ‎(1)判断f(x)在(－1,1)上的奇偶性，并说明理由；‎ ‎(2)判断函数f(x)在(0,1)上的单调性，并说明理由；‎ ‎(3)若f＝，试求f－f－f的值．‎ 探究提高　对于抽象函数单调性和奇偶性的判断一般要紧扣定义．通过赋值要出现：f(x1)－f(x2)与0的大小关系，f(x)与f(－x)的关系．就本题来讲要注意运用x<0时f(x)>0的条件．‎ ‎ 函数y＝f(x)(x≠0)是奇函数，且当x∈(0，＋∞)时是增函数，若f(1)＝0，求不等式f[x(x－)]<0的解集．‎ 题型三　函数的奇偶性与周期性 例3　设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.‎ ‎(1)求证：f(x)是周期函数；‎ ‎(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；‎ ‎(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 011)．‎ 探究提高　判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x) (T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题．‎ ‎ 已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)＝________.‎ ‎　2.等价转换要规范 试题：(12分)函数f(x)的定义域D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D.有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．‎ ‎(1)求f(1)的值；‎ ‎(2)判断f(x)的奇偶性并证明；‎ ‎(3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．‎ 学生解答展示 审题视角　(1)从f(1)联想自变量的值为1，进而想到赋值x1＝x2＝1.(2)判断f(x)的奇偶性，就是研究f(x)、f(－x)的关系．从而想到赋值x1＝－1，x2＝x.即f(－x)＝f(－1)＋f(x)．(3)就是要出现f(M)N的形式求解．‎ 规范解答 解　(1)令x1＝x2＝1，‎ 有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0. [2分]‎ ‎(2)f(x)为偶函数，证明如下： [4分]‎ 令x1＝x2＝－1，‎ 有f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，解得f(－1)＝0.‎ 令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，‎ ‎∴f(－x)＝f(x)．∴f(x)为偶函数． [7分]‎ ‎(3)f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，‎ f(16×4)＝f(16)＋f(4)＝3. [8分]‎ 由f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，‎ 变形为f[(3x＋1)(2x－6)]≤f(64)． (*)‎ ‎∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．‎ ‎∴不等式(*)等价于f[|(3x＋1)(2x－6)|]≤f(64)． [9分]‎ 又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，‎ ‎∴|(3x＋1)(2x－6)|≤64，且(3x＋1)(2x－6)≠0.‎ 解得－≤x<－或－0⇒－10时，f(x)＝x2＋x，则当x<0时，－x>0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)；‎ 当x<0时，f(x)＝x2－x，‎ 则当x>0时，－x<0，‎ 故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，‎ 故原函数是偶函数．‎ ‎(4)由得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称，‎ ‎∴f(x)＝＝－.‎ ‎∵f(－x)＝－＝－＝f(x)，∴f(x)为偶函数．‎ 例2　解　(1)令x＝y＝0⇒f(0)＝0，‎ 令y＝－x，则f(x)＋f(－x)＝0⇒f(－x)＝－f(x)⇒f(x)在(－1,1)上是奇函数．‎ ‎(2)设00，‎ 即当0f(x2)，‎ ‎∴f(x)在(0,1)上单调递减．‎ ‎(3)由于f－f ‎＝f＋f ‎＝f＝f，‎ 同理，f－f＝f，‎ f－f＝f，‎ ‎∴f－f－f ‎＝‎2f＝2×＝1.‎ 变式训练2　解　∵y＝f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)上为增函数，‎ ‎∴y＝f(x)在(－∞，0)上也是增函数，‎ 且由f(1)＝0得f(－1)＝0.‎ 若f[x(x－)]<0＝f(1)，‎ 则 即0，‎ 所以f(x1)

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