内蒙古北京八中乌兰察布分校2018-2019学年高二下学期期中考试数学（理）试题

内蒙古北京八中乌兰察布分校2018-2019学年高二下学期期中考试数学（理）试题

‎2018-2019学年第二学期质量调研二 高二年级数学试题（理科）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.设全集为R，集合，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解一元二次不等式求得求得集合B，再根据补集、交集的定义即可求出．‎ ‎【详解】解：，或，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．‎ ‎2.若复数为虚数单位在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a为（ ）‎ A. B. ‎2 ‎C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为求得值．‎ ‎【详解】解：在复平面内所对应的点在虚轴上，‎ ‎，即．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．‎ ‎3.已知正方形ABCD的边长为2，以AB中点O为圆心，1为半径画圆，从正方形ABCD中任取一点P，则点P落在该圆中的概率为　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出圆落在正方形中的面积为，正方形的面积为4，再由几何概型的概率公式可得点落在该圆中的概率为．‎ ‎【详解】解：如图所示，‎ 因为，圆的半径为1‎ 所以，圆落在正方形中（阴影部分）的面积为，‎ 而正方形的面积为4，‎ 由几何概型的概率公式可得点落在该圆中的概率为．‎ ‎【点睛】本题考查几何概型概念与概率公式，几何概型有两大特征：1.无限性，2.等可能性， 几何概型的概率公式为（构成事件的区域长度（面积、体积））÷（试验的全部结果所构成的区域长度（面积、体积））．‎ ‎4.函数的大致图象为　　‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断函数的奇偶性和图象的对称性，利用特殊值进行排除即可．‎ ‎【详解】函数，‎ 则函数是奇函数，图象关于原点对称，排除C，D，‎ ‎，排除B，‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性的关系以及特殊值，结合排除法是解决本题的关键．‎ ‎5.在等比数列中，，且为和的等差中项，则为　　‎ A. 9 B. ‎27 ‎C. 54 D. 81‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，设等比数列的公比为q，由为和的等差中项，可得，利用等比数列的通项公式代入化简为，解得q，又，即，，分析可得、q的值，可得数列的通项公式，将代入计算可得答案．‎ ‎【详解】解：根据题意，设等比数列的公比为q，‎ 若为和的等差中项，则有，变形可得，即 ‎，‎ 解得或3；‎ 又，即，则，，‎ 则，则有；‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查等比数列性质以及通项公式，关键是掌握等比数列通项公式的形式，属于基础题．‎ ‎6.政府为了调查市民对A、B两服务部门的服务满意度情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对两部门的评分评分越高表明市民的满意度越高绘制的茎叶图如图：‎ 则下列说法正确的是　　‎ A. 这50位市民对A、B两部门评分的方差，A部门的评分方差大 B. 估计市民对A、B两部门的评分高于90的概率相同 C. 这50位市民对A部门的评分其众数大于中位数 D. 该市的市民对B部门评分中位数的估计值是67‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据茎叶图的知识以及样本来估计总体，进行合理的评价，恰当的描述即可．‎ ‎【详解】由茎叶图知，市民对A部门的评分的中位数高于B部门的评分的中位数，‎ 而且由茎叶图可以大致看出对A部门的评分标准差要小于B部门的标准差，‎ 说明该市市民对A部门的评价较高、评价较为一致，对B部门的评价较低、评价差异较大，‎ 由茎叶图知，50位市民对A、B部门的评分高于90的比率分别为，，‎ 故该市的市民对A、B两部门的评分高于90的概率得估计值分别为，，‎ 故A，B错误；‎ 由茎叶图知，50位市民对A部门的评分有小到大顺序，排在第25，26位的是75，75，故样本的中位数是75，‎ 所以该市的市民对A部门的评分的中位数的估计值是75．‎ 这50位市民对A部门的评分其众数为75，所以这50位市民对A部门的评分其众数等于中位数，所以选项C错误.‎ ‎50位市民对B部门的评分有小到大顺序，排在第25，26位的是66，68，‎ 故样本的中位数是，所以该市的市民对B部门的评分的中位数的估计值是67，‎ 故D正确；‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了茎叶图的知识，以及中位数，用样本来估计总体的统计知识，属于基础题．‎ ‎7.函数（其中，，）的图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象上所有点　　‎ A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得得解析式，再利用函数的图象变换规律，得出结论．‎ ‎【详解】解：根据函数 （其中，，）的图象，‎ 可得，，．‎ 再利用五点法作图可得，求得，‎ 为了得到的图象，‎ 只需将的图象上所有点向右平移个单位长度，即可，‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，函数的图象变换规律，属于基础题．‎ ‎8.九章算术是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出m的值为67，则输入a的值为　　‎ A. 7 B. ‎4 ‎C. 5 D. 11‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 模拟程序框图的运行过程，如下：‎ 输入，，，；‎ ‎，；‎ ‎，；‎ ‎，；‎ 输出，结束；‎ 令，解得.‎ 故选C.‎ ‎9.圆柱被一个平面截去一部分后与半径为1的半球组成一个几何体该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积为　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 该几何体是由半个圆柱对接半个球而形成的，利用三视图的数据求解几何体的表面积，然后推出结果．‎ ‎【详解】‎ 该几何体是由半个圆柱对接半个球而形成的，视图表示的是几何体水平放置时的情形，‎ 其表面积．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查三视图求解几何体的表面积，考查空间想象能力以及计算能力．‎ ‎10.设有如下三个命题：‎ 甲：相交直线l、m都在平面内，并且都不在平面内；‎ 乙：直线l、m中至少有一条与平面相交；‎ 丙：平面与平面相交．‎ 当甲成立时　　‎ A. 乙是丙的充分而不必要条件 B. 乙是丙的必要而不充分条件 C. 乙是丙的充分且必要条件 D. 乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断乙是丙的什么条件，即看乙丙、丙乙是否成立当乙成立时，直线l、m中至少有一条与平面相交，则平面与平面至少有一个公共点，故相交相交反之丙成立时，若l、m中至少有一条与平面相交，则，由已知矛盾，故乙成立．‎ ‎【详解】解：当甲成立，即“相交直线l、m都在平面内，并且都不在平面内”时，若“l、m中至少有一条与平面相交”，则“平面与平面相交”成立；若“平面与平面相交”，则“l、m中至少有一条与平面相交”也成立 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查空间两条直线、两个平面的位置关系判断、充要条件的判断，考查逻辑推理能力．‎ ‎11.已知函数与的零点分别为，，且，则，，的大小关系为　　‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数与方程关系，分别转化为与的图象，和的图象，和的图象，利用数形结合研究，，的范围即可得到结论．‎ ‎【详解】解：由得，即，‎ 作出函数与图象如图，黑色图象，由图象知两个图象交点的横坐标满足，由得，作出和的图象如图红色图象由图象知两个图象交点的横坐标满足，作出和，的图象如图蓝色图象由图象知两个图象交点的横坐标满足，综上，，的大小关系为，故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件转化为两个函数图象交点问题，利用数形结合求出对应究，，的范围是解决本题的关键．‎ ‎12.已知双曲线的上、下焦点分别为，，过且倾斜角为锐角的直线1与圆相切，与双曲线的上支交于点若线段的垂直平分线过点，则该双曲线的渐近线的方程为　　‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先设与圆相切于点E，利用，及直线与圆相切，可得几何量之间的关系，从而可求双曲线的渐近线方程．‎ ‎【详解】解：设与圆相切于点E，因为，所以为等腰三角形，N为的中点，所以，又因为在直角中，，‎ 所以 又   ，‎ ‎ ‎ 由可得，即为，即，，则双曲线的渐近线方程为，即为故选B．‎ ‎【点睛】本题考查直线与圆相切，考查双曲线的定义，考查双曲线的几何性质，注意运用平面几何的性质，考查运算能力，属于中档题．‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ ‎13.已知是单位向量，且与夹角为，则 等于_____．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎14.在的展开式中，的系数为______．‎ ‎【答案】80‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二项式展开式的通项公式，化简后求得的值，进而求得结论．‎ ‎【详解】解：的展开式中，通项公式，‎ 令，解得．的系数．故答案为80．‎ ‎【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎15.设抛物线的焦点为F，准线为L，P为抛物线上一点，，A为垂足如果直线AF的斜率为，那么以PF为直径的圆的标准方程为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用抛物线的定义，，设F在l上的射影为，依题意，可求得，，从而可求得点P的纵坐标，代入抛物线方程可求得点P的横坐标，从而可求得．进而求得圆的方程 ‎【详解】解：抛物线的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，‎ ‎，，准线l的方程为：；设F在l上的射影为，又，依题意，，，，轴，点P的纵坐标为，设点P的横坐标为，，，．故以PF为直径的圆的圆心为，半径为2．以PF为直径的圆的标准方程为.故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查转化思想，考查解三角形的能力，属于中档题．‎ ‎16.已知等差数列的公差为2，前n项和为，且，，成等比数列令，则数列的前100的项和为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首项利用已知条件求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．‎ ‎【详解】解：设等差数列的首项为，公差为2，前n项和为，且，，成等比数列．‎ 则：，解得：，所以：，‎ 所以：，‎ 所以：，，‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．‎ 三、解答题（本大题共7小题，22题10分，其余每题12分）‎ ‎17.如图，D是直角斜边BC上一点，．‎ Ⅰ若，求的大小；‎ Ⅱ若，且，求AD的长．‎ ‎【答案】ⅠⅡ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ Ⅰ由已知可求，在中，由正弦定理可得，即可解得．Ⅱ由已知在中，由勾股定理可得，，，令，由余弦定理，即可解得AD的值．‎ ‎【详解】Ⅰ，，‎ ‎， ‎ 在中，由正弦定理可得：， ‎ ‎， ‎ 或， ‎ 又，‎ Ⅱ，‎ ‎，‎ 在中，由勾股定理可得：，可得：，‎ ‎，，， ‎ 令，由余弦定理：‎ 在中，， ‎ 在中，， ‎ 可得：，‎ 解得：，可得：‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理在解三角形中应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．‎ ‎18.如图，平面四边形ABCD，，，，将沿BD翻折到与面BCD垂直的位置．‎ Ⅰ证明：面ABC；‎ Ⅱ若E为AD中点，求二面角的大小．‎ ‎【答案】（1）见证明；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 推导出面BCD，从而，再求出，，，由此能证明平面ABC．‎ 以B为原点，在平面BCD中，过B作BD的垂线为x轴，以BD为y轴，以BA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的大小．‎ ‎【详解】证明：平面四边形ABCD，，，，‎ 面面BCD，，面平面，‎ 面BCD，，‎ 又，，，‎ ‎，，，‎ ‎，平面ABC．‎ 解：面BCD，如图以B为原点，在平面BCD中，过B作BD的垂线为x轴，‎ 以BD为y轴，以BA为z轴，建立空间直角坐标系，‎ 则0，，0，，，，‎ 是AD的中点，，‎ ‎，，‎ 令平面BCE的一个法向量为y，，‎ 则，取，得，‎ 面ABC，平面ABC的一个法向量为，‎ ‎，，‎ 二面角的大小为．‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．‎ ‎19.某超市计划按月订购一种饮料，每天进货量相同，进货成本每瓶3元，售价每瓶5元，每天未售出的饮料最后打4折当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温单位：有关如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为100瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：‎ 最高气温 天数 ‎2‎ ‎16‎ ‎36‎ ‎25‎ ‎7‎ ‎4‎ 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．‎ Ⅰ求六月份这种饮料一天的需求量单位：瓶的分布列，并求出期望EX；‎ Ⅱ设六月份一天销售这种饮料的利润为单位：元，且六月份这种饮料一天的进货量为单位：瓶，请判断Y的数学期望是否在时取得最大值？‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ Ⅰ由题意知X的可能取值为100，300，500，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和．Ⅱ六月份这种饮料的进货量n，当时，求出，故当时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元；当时，，故当 时，Y的数学期望达到最大值，最大值为480元由此能求出时，y的数学期望达到最大值，最大值为520元．‎ ‎【详解】解：Ⅰ由题意知X的可能取值为100，300，500，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 的分布列为：‎ ‎ X ‎ 100‎ ‎ 300‎ ‎ 500‎ ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎．‎ Ⅱ由题意知六月份这种饮料的进货量n满足，‎ 当时，‎ 若最高气温不低于25，则，‎ 若最高气温位于，则，‎ 若最高气温低于20，则，‎ ‎，‎ 此时，时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元，‎ 当时，‎ 若最高气温不低于25，则，‎ 若最高气温位于，则，‎ 若最高气温低于20，则，‎ ‎，‎ 此时，时，Y的数学期望达到最大值，最大值为480元，‎ 时，Y的数学期望值为：不是最大值，‎ 时，y的数学期望达到最大值，最大值为520元．‎ ‎【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎20.已知椭圆C：过点，其左右焦点分别为，，三角形的面积为．‎ Ⅰ求椭圆C的方程；‎ Ⅱ已知A，B是椭圆C上的两个动点且不与坐标原点O共线，若的角平分线总垂直于x轴，求证：直线AB与两坐标轴围成的三角形一定是等腰三角形．‎ ‎【答案】ⅠⅡ见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ Ⅰ由题意可得，解得，，则椭圆方程可求；Ⅱ设直线PA的方程为，联立直线方程和椭圆方程，求得A的横坐标，同理求得B的横坐标，进一步求得A、B的纵坐标的差，代入斜率公式得答案．‎ ‎【详解】Ⅰ由题意可得，解得，，‎ 故椭圆C的方程为，‎ 证明Ⅱ：设直线AP的斜率为k，则直线BP的斜率为，‎ 设，，直线PA的方程为，即 联立，得．‎ ‎，即 设直线PB的方程为，同理求得 ‎，‎ 直线AB的斜率，‎ 易知l与在两坐标轴的截距绝对值相等且都不为0，‎ 直线AB与两坐标轴围成的三角形一定是等腰三角形.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属中档题．‎ ‎21.已知函数，．‎ Ⅰ当时，讨论函数的单调性；‎ Ⅱ若函数有两个极值点，，且，求证．‎ ‎【答案】（1）函数在上单调递减；在和上单调递增．（2）见证明 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求得导函数，然后分类讨论确定函数的单调性即可；‎ 首先确定，的范围，化简的表达式为．构造函数 ‎，利用导数求得函数的最小值，并由极限证得，由此证得不等式成立.‎ ‎【详解】解：，‎ ‎，‎ 令，，，‎ 令则，‎ 当，即时，‎ 令则；令则．‎ 此时函数在上单调递减；在上单调递增．‎ 当，即时，‎ 令，则；‎ 令则，‎ 此时函数在上单调递减；在和上单调递增．‎ 由知，若有两个极值点，‎ 则且，‎ 又，是的两个根，则，‎ ‎，‎ 令，则，‎ 令，则，令，则，‎ 所以在上单调递减；在上单调递增．‎ ‎，‎ ‎，，得证．‎ ‎【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的极值，利用导数证明不等式的方法等知识，属于中等题．‎ ‎22.在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，不与坐标轴重合的直线l的极坐标方程为，设1与曲线，异于极点的交点分别为A，B．‎ Ⅰ当时，求；‎ Ⅱ求AB中点轨迹的直角坐标方程．‎ ‎【答案】ⅠⅡ，去掉，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ Ⅰ用直线l的极坐标方程分别代入，的极坐标方程，再根据极径的几何意义可得；Ⅱ先求出AB的中点的轨迹的极坐标方程，再化成直角坐标方程．‎ ‎【详解】Ⅰ当时，联立得；‎ 同理得，由极径的几何意义有．‎ Ⅱ由已知令，，，‎ ‎，，P为AB的中点，‎ ‎，‎ 即，‎ 所以P点的轨迹的直角坐标方程为，‎ 因为直线l不与坐标轴重合，所以需去掉 ‎【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程，考查轨迹方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎