2018届二轮复习第1讲　空间几何体课件（全国通用）

2018届二轮复习第1讲　空间几何体课件（全国通用）

第 1 讲　 空间 几何体 专题五　立体几何与空间向量 栏目索引 高考 真题体验 1 热点 分类突破 2 高考 押题精练 3 解析 高考真题 体验 1 2 3 4 1.(2016· 山东 ) 一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( 　　 ) √ 四棱锥是底面边长为 1 ，高为 1 的正四棱锥， 解析 1 2 3 4 2.(2016· 课标全国丙 ) 在封闭的直三棱柱 ABC — A 1 B 1 C 1 内有一个体积为 V 的球，若 AB ⊥ BC ， AB ＝ 6 ， BC ＝ 8 ， AA 1 ＝ 3 ，则 V 的最大值是 ( 　　 ) √ 解析　 由题意知，底面三角形的内切圆直径为 4. 三棱柱的高为 3 ， 解析 1 2 3 4 3.(2015· 山东 ) 在梯形 ABCD 中， ∠ ABC ＝ ， AD ∥ BC ， BC ＝ 2 AD ＝ 2 AB ＝ 2. 将梯形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 ( 　　 ) √ 1 2 3 4 解析　 过点 C 作 CE 垂直 AD 所在直线于点 E ， 梯形 ABCD 绕 AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段 AB 的长为底面圆半径， 线段 BC 为母线的圆柱挖去以线段 CE 的长为底面圆半径， ED 为高的圆锥，如图所示， 故选 C. 1 2 3 4 4.(2016· 浙江 ) 如图，已知平面四边形 ABCD ， AB ＝ BC ＝ 3 ， CD ＝ 1 ， AD ＝ ， ∠ ADC ＝ 90° ，沿直线 AC 将 △ ACD 翻折成 △ ACD ′ ，直线 AC 与 BD ′ 所成角的余弦的最大值是 ________. 答案 解析 1 2 3 4 解析　 设直线 AC 与 BD ′ 所成角为 θ ，平面 ACD 翻折的角度为 α ， 以 OB 为 x 轴， OA 为 y 轴，过点 O 与平面 ABC 垂直的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系， 作 DH ⊥ AC 于点 H ，翻折过程中， D ′ H 始终与 AC 垂直， 解析 1 2 3 4 考情考向分 析 返回 1. 以三视图为载体，考查空间几何体面积、体积的计算 . 2. 考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题 . 热点一　三视图与直观图 1. 一个物体的三视图的排列规则 俯视图放在正 ( 主 ) 视图的下面，长度与正 ( 主 ) 视图的长度一样，侧 ( 左 ) 视图放在正 ( 主 ) 视图的右面，高度与正 ( 主 ) 视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样 . 即 “ 长对正、高平齐、宽相等 ”. 2. 由三视图还原几何体的步骤 一般先从俯视图确定底面再利用正视图与侧视图确定几何体 . 热点分类突破 A.20π B.24π C.28π D.32π 例 1 　 (1)(2016· 课标全国甲 ) 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 ( 　　 ) √ 解析 解析　 由三视图可知，组合体的底面圆的面积和周长均为 4π ， 圆柱的侧面积 S 柱侧 ＝ 4π × 4 ＝ 16π ， 所以组合体的表面积 S ＝ 8π ＋ 16π ＋ 4π ＝ 28π ，故选 C. (2) 将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为 ( 　　 ) √ 解析　 所得几何体的轮廓线中，除长方体原有的棱外，有两条是原长方体的面对角线，它们在侧视图中落在矩形的两条边上 ， 另 一条是原长方体的体对角线，在侧视图中体现为矩形的自左下至右上的一条对角线，因不可见 ，故 用虚线表示 ， 由 以上分析可知，应选 D. 解析 思维升华 思维 升华 空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果 . 跟踪演练 1 　 (1) 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是 ( 　　 ) √ 解析　 由俯视图，易知答案为 D. 解析 (2) 一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是 ( 　　 ) √ 解析　 由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组合 . 从 上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接的两个三角形 . 解析 热点二　几何体的表面积与体积 空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧，把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧 . 例 2 　 (1)(2016· 北京 ) 某三棱锥的三视图如图 所 示 ，则该三棱锥的体积为 ( 　　 ) √ 解析　 由三视图知，三棱锥如图所示： 由侧视图得高 h ＝ 1 ， 解析 A.66 B.68 C.70 D.72 (2) 如图，在棱长为 6 的正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中，点 E ， F 分别在 C 1 D 1 与 C 1 B 1 上，且 C 1 E ＝ 4 ， C 1 F ＝ 3 ，连接 EF ， FB ， DE ， BD ，则几何体 EFC 1 － DBC 的体积为 ( 　　 ) √ 解析 思维升华 解析　 如图，连接 DF ， DC 1 ， 那么几何体 EFC 1 － DBC 被分割成三棱锥 D － EFC 1 及四棱锥 D － CBFC 1 ， 那么几何体 EFC 1 － DBC 的体积为 故所求几何体 EFC 1 － DBC 的体积为 66. 思维升华 思维 升华 (1) 求多面体的表面积的基本方法就是逐个计算各个面的面积，然后求和 . ( 2) 求体积时可以把空间几何体进行分解，把复杂的空间几何体的体积分解为一些简单几何体体积的和或差 . 求解时注意不要多算也不要少算 . 跟踪演练 2 　 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积 为 ________. 答案 解析 解析　 由三视图可知，该几何体为如图所示的多面体 ABCDEF ( 置于长方体 ABCD — MNFG 中去观察 ) ，且点 E 为 DG 的中点，可得 AB ＝ BC ＝ GE ＝ DE ＝ 3 ，连接 AG ， 所以多面体 ABCDEF 的体积 为 V 多面体 ABCDEF ＝ V 三棱柱 ADG — BCF － V 三棱锥 A — GEF 热点三　多面体与球 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接 . 解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图 . 如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径 . 球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径 . 球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心 ( 或 “ 切点 ”“ 接点 ” ) 作出截面图 . 例 3 　 (1) 已知三棱锥 S － ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， SA ⊥ 平面 ABC ， SA ＝ ， AB ＝ 1 ， AC ＝ 2 ， ∠ BAC ＝ 60° ，则球 O 的表面积为 ( 　　 ) A.4π B.12π C.16π D.64π √ 解析 解析　 在 △ ABC 中， BC 2 ＝ AB 2 ＋ AC 2 － 2 AB · AC cos 60° ＝ 3 ， ∴ AC 2 ＝ AB 2 ＋ BC 2 ， 即 AB ⊥ BC ， 又 SA ⊥ 平面 ABC ， 故球 O 的表面积为 4π × 2 2 ＝ 16π. (2) 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( 　　 ) √ 解析 思维升华 解析　 过球心与正方体中点的截面如图 ， 设球心为点 O ，球半径为 R cm ， 正方体 上底面中心为点 A ，上底面一边的中点为点 B ， 在 Rt △ OAB 中， OA ＝ ( R － 2)cm ， AB ＝ 4 cm ， OB ＝ R cm ， 由 R 2 ＝ ( R － 2) 2 ＋ 4 2 ，得 R ＝ 5 ， 思维升华 思维 升华 三棱锥 P － ABC 可通过补形为长方体求解外接球问题的两种情形： (1) 点 P 可作为长方体上底面的一个顶点，点 A 、 B 、 C 可作为下底面的三个顶点； (2) P － ABC 为正四面体，则正四面体的棱都可作为一个正方体的面对角线 . 答案 解析 返回 解析　 如图，以 AB ， AC ， AD 为棱把该三棱锥扩充成长方体，则该长方体的外接球恰为三棱锥的外接球， ∴ 三棱锥的外接球的直径是长方体的体对角线长 . 返回 1 2 3 解析 押题依据 高考押题精练 1. 一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的表面积为 ( 　　 ) √ 押题依据　 求空间几何体的表面积或体积是立体几何的重要内容之一，也是高考命题的热点 . 此类题常以三视图为载体，给出几何体的特征，求几何体的表面积或体积 . 1 2 3 解析　 由三视图知， 高 PD ＝ 2 的四棱锥 P － ABCD ， 因为 PD ⊥ 平面 ABCD ，且四边形 ABCD 是正方形， 易得 BC ⊥ PC ， BA ⊥ PA ， 1 2 3 解析 押题依据 2. 在正三棱锥 S － ABC 中，点 M 是 SC 的中点，且 AM ⊥ SB ，底面边长 AB ＝ ， 则正三棱锥 S － ABC 的外接球的表面积为 ( 　　 ) A.6π B.12π C.32π D.36π √ 押题依据　 多面体的外接球一般借助补形为长方体的外接球解决，解法灵活，是高考的热点 . 1 2 3 解析　 因为三棱锥 S － ABC 为正三棱锥 ， 所以 SB ⊥ AC ，又 AM ⊥ SB ， AC ∩ AM ＝ A ， 所以 SB ⊥ 平面 SAC ，所以 SB ⊥ SA ， SB ⊥ SC ， 同理 ， SA ⊥ SC ， 即 SA ， SB ， SC 三线两两垂直，且 AB ＝ ， 所以 SA ＝ SB ＝ SC ＝ 2 ， 所以 (2 R ) 2 ＝ 3 × 2 2 ＝ 12 ， 所以 球的表面积 S ＝ 4π R 2 ＝ 12π ，故选 B. 1 2 3 3. 已知半径为 1 的球 O 中内接一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球 的 体积 与圆柱的体积的比值为 ________. 押题依据　 求空间几何体的体积是立体几何的重要内容之一，也是高考的热点问题之一，主要是求柱体、锥体、球体或简单组合体的体积 . 本题通过球的内接圆柱，来考查球与圆柱的体积计算，设问角度新颖，值得关注 . 解析 押题依据 答案 返回 1 2 3 解析　 如图所示 ， 设圆柱的底面半径为 r ， 返回