广东省江门一中2019-2020学年高二上学期开学考试数学试题

广东省江门一中2019-2020学年高二上学期开学考试数学试题

‎2019-2020学年广东省江门一中高二（上）开学数学试卷（9月份）‎ 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 已如集合，，则 A. B. C. 或 D. ‎ 2. 已知向量，，，若，则实数x的值为 A. B. C. D. ‎ 3. 已知，，则 A. B. C. D. ‎ 4. 已知等比数列满足，且，则 A. 8 B. ‎16 ‎C. 32 D. 64‎ 5. 对于实数a，b，c，下列命题正确的是 A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 过两直线：，：的交点且与平行的直线方程为 A. B. C. D. ‎ 7. 已知是公差为1的等差数列，为的前n项和，若，则 A. B. C. 10 D. 12‎ 8. 设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是 A. ，，且，则 B. ，，且，则 C. ，，，则 D. ，，，，则 9. 已知的内角A，B，C所对的边分别为，c，且，，‎ A. B. C. D. ‎ 10. 直线与圆的位置关系是 A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 相交或相切 11. 已知圆锥的底面圆周及顶点均在球面上，若圆锥的轴截面为正三角形，则圆锥的体积与球的体积之比为 A. 27：32 B. 3：‎8 ‎C. ：16 D. 9：32‎ 12. 在R上定义运算：若不等式对任意实数x成立，则 A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ 13. 函数的定义域为______．‎ 14. 若，，，则的最小值为______．‎ 15. 设，将的图象向右平移个单位长度，得到的图象，若是偶函数，则的最小值为______‎ 16. 如图，正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若，则                   ． ‎ 三、解答题（本大题共4小题）‎ 1. 等差数列中，，， Ⅰ求的通项公式； Ⅱ设，求数列的前n项和． ‎ 2. 已知圆C：，直线：，： 若，，被圆C所截得的弦的长度之比为1：2，求实数k的值 已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆C上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程 ‎ 3. 如图，正方体切掉三棱锥后形成多面体，过的截面分别交，于点E，F． 证明：平面； 求异面直线与EF所成角的余弦值．‎ ‎ ‎ 4. 如图，某城市有一块半径为单位：百米的圆形景观，圆心为C，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路．最初规划在拐角处图中阴影部分只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路．规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C相切的小道问：A，B两点应选在何处可使得小道AB最短？‎ ‎ ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】D ‎ ‎【解析】解：，， ． 故选：D． 可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可． 本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题． 2.【答案】A ‎ ‎【解析】解：， ， 即， 向量，，， ，即， 解得， 故选：A． 根据向量垂直和向量数量积的关系，建立方程关系即可得到结论． 本题主要考查平面向量垂直于向量数量积之间的关系，利用向量坐标的基本运算是解决本题的关键，考查学生的计算能力． 3.【答案】D ‎ ‎【解析】解：由，， 得到，所以， 则． 故选：D． 由cosx的值及x的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinx的值，进而求出tanx的值，然后把所求的式子利用二倍角的正切函数公式变形后，将tanx的值代入即可求出值． 此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的正切函数公式．学生求sinx和tanx时注意利用x的范围判定其符合． 4.【答案】A ‎ ‎【解析】解：等比数列满足，且， 则， 解得， ， 故选：A． 先由题意求出公比，再根据等比数列的通项公式公式即可求出的值 本题考查了等比数列的通项公式，考查了运算求解能力，属于基础题 5.【答案】B ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查命题真假，用到了不等式性质，特值的思想方法． 选项是不等式，可以利用不等式性质，结合特例逐项判断，得出正确结果． 【解答】 解：A，当时，有  故A错误； B 若，则，；，，  故B正确； C  若，取，，可知，故C错误； D 若，取，，可知，故D错误． 故选：B． 6.【答案】D ‎ ‎【解析】解：两直线：，：的交点为， 解得，即； 设与平行的直线方程为， 则， 解得， 所求的直线方程为． 故选：D． 求出两直线、的交点坐标，再设与平行的直线方程为，代入交点坐标求出m的值，即可写出方程． 本题考查了直线方程的应用问题，是基础题． 7.【答案】B ‎ ‎【解析】解：是公差为1的等差数列，， ， 解得． 则． 故选：B． 利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出． 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 8.【答案】A ‎ ‎【解析】解：对于A，，，且，利用面面垂直的性质定理得到作垂直于交线的直线与垂直，又，得到，又，得到，所以；故A正确； 对于B，，，且，则m与n位置关系不确定，可能相交、平行或者异面；故B错误； 对于C，，，，则与可能平行；故C错误； 对于D，，，，，则与可能相交；故D错误； 故选：A． 利用线面垂直、面面垂直的性质定理和判定定理对选项分别分析选择． 本题考查了线面垂直、面面垂直的性质定理和判定定理的运用；关键是由已知条件，正确运用定理的条件进行判断． 9.【答案】B ‎ ‎【解析】解：， 由正弦定理角化边得：， 化简得：， ， 又， ， 故选：B ‎． 对已知等式利用正弦定理角化边，再利用余弦定理即可求出角A． 本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，考查运算能力，属于基础题． 10.【答案】D ‎ ‎【解析】解：表示圆心为，半径， ，， 由，， 得，， 代入成立，所以点为圆上的定点， 所以直线与圆相切或者相交， 故选：D． 求出直线上的定点，判断点与圆的关系，求出即可． 本题主要考查直线和圆的位置关系的判断，基础题． 11.【答案】D ‎ ‎【解析】解：取圆锥的轴截面如下图所示， 设球的半径为R，圆锥的高为h，底面圆的半径为r，则圆锥的母线长为2r， 结合图形可得，所以，， 圆锥的高为， 所以，圆锥的体积为， 因此，圆锥的体积与球的体积之比为． 故选：D． 设球的半径为2R，用R表示圆锥的底面圆半径以及高，再利用锥体体积公式得出圆锥的体积的表达式，然后再结合球体的体积公式可得出答案． 本题考查球体体积的计算，考查圆锥体积的计算，解决本题的关键在于利用球体的半径来表示圆锥中的几何量，考查计算能力，属于中等题． 12.【答案】C ‎ ‎【解析】解： ， 即 任意实数x成立， 故 ， 故选：C． 此题新定义运算：，由题意，再根据，列出不等式，然后把不等式解出来． 此题是一道新定义的题，要遵守命题人定的规则，另外此题主要还是考查一元二次不等式的解法． 13.【答案】 ‎ ‎【解析】解：要使原函数有意义，则：； ； 原函数的定义域为：． 故答案为：． 可看出，要使得原函数有意义，则需满足，解出x的范围即可． 考查函数定义域的概念及求法，对数函数的定义域． 14.【答案】 ‎ ‎【解析】解：若，，，则，当且仅当时，取等号， 则的最小值为． 故答案为：． 利用柯西不等式求出即可． 本题考查了柯西不等式的应用，属于基础题． 15.【答案】 ‎ ‎【解析】解：因为， 所以， 将的图象向右平移个单位长度，得到的图象， 则， 又是偶函数， 所以， 即， 又， 所以的最小值为， 故答案为：． 由三角函数图象的平移及三角函数的性质得：，又是偶函数，所以，即，又，所以的最小值为，得解． 本题考查了三角函数图象的平移及三角函数的性质，属中档题． 16.【答案】 ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查平面向量基本定理的运用，考查向量的加法运算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题， 设，，则，，利用平面向量基本定理，建立方程，求出，，即可得出结论． 【解答】 解：设，，则，． 由于 ， ，且，解得，， ， 故答案为． 17.【答案】解：设等差数列的公差为d ，， 解得，， ‎ ‎【解析】由，，结合等差数列的通项公式可求，d，进而可求 由，利用裂项求和即可求解 本题主要考查了等差数列的通项公式及裂项求和方法的应用，试题比较容易 ‎ ‎18.【答案】解：根据题意，圆C：，其圆心为，半径， 点C到直线的距离， 则直线被圆C截得的弦长， 若直线、，被圆C所截得的弦的长度之比为1：2，则直线被圆C截得的弦长， 则点C到直线的距离， 直线：，即，则； 解可得：； 根据题意，设， 线段AB的中点为M，且，则， 又由端点A在圆C上运动，则有， 变形可得：； 故线段AB的中点M的轨迹方程为． ‎ ‎【解析】根据题意，由直线与圆的位置关系分析求出圆心C到直线的距离和被圆C所截得的弦长，再求出直线被圆C所截得的弦长与圆心C到直线的距离，列方程求出k的值， 根据题意，设，由中点坐标公式可得A的坐标，将A的坐标代入圆C的方程，即可得答案． 本题考查直线与圆的位置关系，涉及轨迹方程的求法，属于基础题． 19.【答案】证明：，，，， ，，四边形是平行四边形， ， 又平面，平面， 平面． 解：由得平面， 又平面，平面平面， ， 是异面直线与EF所成的角或所成角的补角， 设正方休的棱长为a，则，，， 在中，， 异面直线与EF所成角的余弦值为． ‎ ‎【解析】推导出，，从而四边形是平行四边形，进而，由此能证明平面． 推导出，从而是异面直线与EF所成的角或所成角的补角，由此能求出异面直线与EF所成角的余弦值． 本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 20.【答案】解：如图，分别由两条道路所在直线建立直角坐标系xOy． 设，， 则直线AB方程为，即． 因为AB与圆C：相切，所以， 化简得，即， 因此 ‎ ‎， 因为，，所以， 于是． 又， 解得，或， 因为，所以， 所以， 当且仅当时取等号， 所以AB最小值为，此时． 答：当A，B两点离道路的交点都为百米时，小道AB最短． ‎ ‎【解析】分别由两条道路所在直线建立直角坐标系设，，求得直线AB的方程和圆的方程，运用直线和圆相切的条件：，求得a，b的关系，再由两点的距离公式和基本不等式，解不等式可得AB的最小值，及此时A，B的位置． 本题考查基本不等式在最值问题中的运用，同时考查直线和圆相切的条件，考查化简整理的运算能力，属于中档题． ‎