2009年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（天津卷）

2009年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（天津卷）

‎2009年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）‎ 数学（文史类）‎ 参考公式：‎ ‎。如果事件A，B互相排斥，那么P（AUB）=P（A）+P(B)。‎ ‎。棱柱的体积公式V=sh。其中S表示棱柱的底面积，h表示棱柱的高 ‎1.是虚数单位，=‎ A B C D ‎ ‎【答案】D ‎ 【解析】由已知，‎ ‎【考点定位】本试题考查了复数的基本的除法运算。‎ ‎2.设变量x,y满足约束条件，则目标函数的最小值为 A 6 B ‎7 C 8 D 23‎ ‎【答案】B ‎ 【解析】由已知，先作出线性规划区域为一个三角形区域，得到三个交点（2，1）（1，2）（4，5），那么作一系列平行于直线 的平行直线，当过其中点（2，1）时，目标函数最小。‎ ‎【考点定位】本试题考查了线性规划的最优解的运用以及作图能力。‎ ‎3．设的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎ 【解析】 因为，显然条件的集合小，结论表示的集合大，由集合的包含关系，我们不难得到结论。‎ ‎【考点定位】本试题考察了充分条件的判定以及一元高次方程的求解问题。考查逻辑推理能力。‎ ‎4．设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A B C D ‎【答案】C ‎ 【解析】由已知得到 ‎，因为双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为 ‎【考点定位】本试题主要考查了双曲线的几何性质和运用。考察了同学们的运算能力和推理能力。‎ ‎5.设，则 A ax,x下面的不等式在R内恒成立的是 A B C D ‎【答案】A ‎ 【解析】由已知，首先令 ，排除B，D。然后结合已知条件排除C,得到A ‎【考点定位】本试题考察了导数来解决函数单调性的运用。通过分析解析式的特点，考查了分析问题和解决问题的能力。‎ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分。把答案填写在题中的横线上。）‎ ‎11. 如图，相交与点O, 且，若得外接圆直径为1，则的外接圆直径为_________.‎ ‎ 【答案】2‎ ‎ 【解析】由正弦定理可以知道，,所以的外接圆半径是外接圆半径的二倍。‎ ‎【考点定位】本试题考查了正弦定理的运用。以及三角形中外接圆半径与边角的关系式运用。考察了同学们对于新问题的转化化归思想。‎ ‎12. 如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则a=________.‎ ‎【答案】‎ ‎ 【解析】由已知正视图可以知道这个几何体是睡着的直三棱柱，两个底面是等腰的三角形，且底边为2，等腰三角形的高位a，侧棱长为3，结合面积公式可以得到 ，解得a=‎ ‎【考点定位】本试题考查了简单几何体的三视图的运用。培养同学们的空间想象能力和基本的运算能力。‎ ‎13. 设全集，若，则集合B=__________.‎ ‎【答案】{2，4，6，8}‎ ‎ 【解析】 ‎ ‎【考点定位】本试题主要考查了集合的概念和基本的运算能力。‎ ‎14. 若圆与圆的公共弦长为，则a=________.‎ ‎【答案】1‎ ‎ 【解析】由已知，两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为 ，利用圆心（0，0）到直线的距离d为，解得a=1‎ ‎【考点定位】本试题考查了直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式的运用。考察了同学们的运算能力和推理能力。‎ ‎15. 若等边的边长为，平面内一点M满足,则________.‎ ‎【答案】-2‎ ‎ 【解析】合理建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设 这样利用向量关系式，求得M，然后求得 ‎，运用数量积公式解得为-2.‎ ‎【考点定位】本试题考察了向量在解三角形中的几何运用。也体现了向量的代数化手段的重要性。考查了基本知识的综合运用能力。‎ ‎16. 若关于x的不等式的解集中整数恰好有3个，则实数a的取值范围是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为不等式等价于，其中中的，且有，故，不等式的解集为，则一定有1，2，3为所求的整数解集。所以，解得a的范围为 ‎【考点定位】本试题考查含有参数的一元二次不等式的解集问题的运用。考查了分类讨论思想以及逆向思维的能力。‎ 三、解答题 ‎17. （本小题满分12分）‎ 在中， ‎ ‎（Ⅰ）求AB的值。‎ ‎（Ⅱ）求的值。‎ ‎【答案】‎ ‎ 【解析】（1）解：在 中，根据正弦定理，，于是 ‎（2）解：在 中，根据余弦定理，得 于是=，‎ 从而 ‎【考点定位】本题主要考查正弦定理，余弦定理同角的三角函数的关系式，二倍角的正弦和余弦，两角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力。‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 为了了解某工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A，B,C三个区中抽取7个工厂进行调查，已知A,B，C区中分别有18，27，18个工厂 ‎（Ⅰ）求从A,B,C区中分别抽取的工厂个数；‎ ‎（Ⅱ）若从抽取的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率。‎ ‎【答案】(1) 2，3，2(2) ‎ ‎【解析】 （1）解： 工厂总数为18+27+18=63，样本容量与总体中的个体数比为，所以从A,B,C三个区中应分别抽取的工厂个数为2，3，2.‎ ‎（2）设为在A区中抽得的2个工厂，为在B区中抽得的3个工厂，为在C区中抽得的2个工厂，这7个工厂中随机的抽取2个，全部的可能结果有：种，随机的抽取的2个工厂至少有一个来自A区的结果有，,同理还能组合5种，一共有11种。所以所求的概率为 ‎【考点定位】本小题主要考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率等基础知识，考查运用统计、概率知识解决实际问题的能力。‎ ‎19.如图，在四棱锥中，，，且DB平分，E为PC的中点，, ‎ ‎（Ⅰ）证明 ‎ ‎（Ⅱ）证明 ‎（Ⅲ）求直线BC与平面PBD所成的角的正切值 ‎【答案】（1）略（2）略（3）‎ ‎【解析】 证明：设，连结EH，在中，因为AD=CD，且DB平分，所以H为AC的中点，又有题设，E为PC的中点，故,又 ‎,所以 ‎（2）证明：因为，，所以 由（1）知，,故 ‎(3)解：由可知，BH为BC在平面PBD内的射影，所以为直线与平面PBD所成的角。‎ 由,‎ 在中，,所以直线BC与平面PBD所成的角的正切值为。‎ ‎【考点定位】本小题主要考察直线与平面平行。直线和平面垂直。直线和平面所成的角等基础知识，考察空间想象能力、运算能力和推理能力。‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知等差数列的公差d不为0，设 ‎（Ⅰ）若 ,求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若成等比数列，求q的值。‎ ‎（Ⅲ）若 ‎【答案】（1）（2）（3）略 ‎【解析】 （1）解：由题设，‎ 代入解得，所以 ‎ ‎（2）解：当成等比数列，所以，即，注意到，整理得 ‎（3）证明：由题设，可得，则 ‎ ① ‎ ‎ ②‎ ‎①-②得，‎ ‎①+②得，‎ ‎ ③‎ ‎③式两边同乘以 q，得 所以 ‎（3）证明：‎ ‎=‎ 因为，所以 若，取i=n，‎ 若，取i满足，且，‎ 由（1）（2）及题设知，，且 ① 当时，，由，‎ 即，‎ 所以 因此 ‎ ① 当时，同理可得因此 综上，‎ ‎【考点定位】本小题主要考查了等差数列的通项公式，等比数列通项公式与前n项和等基本知识，考查运算能力和推理论证能力和综合分析解决问题的能力。‎ ‎21. （本小题满分12分） ‎ 设函数 ‎（Ⅰ）当曲线处的切线斜率 ‎（Ⅱ）求函数的单调区间与极值；‎ ‎（Ⅲ）已知函数有三个互不相同的零点0，，且。若对任意的，恒成立，求m的取值范围。‎ ‎【答案】（1）1（2）在和内减函数，在内增函数。函数在处取得极大值，且=‎ 函数在处取得极小值，且=‎ ‎【解析】解：当 所以曲线处的切线斜率为1.‎ ‎（2）解：，令，得到 因为 当x变化时，的变化情况如下表：‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 极小值 极大值 在和内减函数，在内增函数。‎ 函数在处取得极大值，且=‎ 函数在处取得极小值，且=‎ ‎（3）解：由题设， ‎ 所以方程=0由两个相异的实根，故，且，解得 因为 若，而，不合题意 若则对任意的有 则又，所以函数在的最小值为0，于是对任意的，恒成立的充要条件是,解得 ‎ 综上，m的取值范围是 ‎【考点定位】本小题主要考查导数的几何意义，导数的运算，以及函数与方程的根的关系解不等式等基础知识，考查综合分析问题和解决问题的能力。‎ ‎22. （本小题满分14分）‎ 已知椭圆（）的两个焦点分别为，过点的直线与椭圆相交于点A,B两点，且 ‎ ‎（Ⅰ求椭圆的离心率 ‎（Ⅱ）直线AB的斜率；‎ ‎（Ⅲ）设点C与点A关于坐标原点对称，直线上有一点H(m,n)()在的外接圆上，求的值。‎ ‎【答案】（1）（2）（3）‎ ‎【解析】 （1）解：由，得,从而 ‎，整理得，故离心率 ‎ ‎（2）解：由（1）知，，所以椭圆的方程可以写为 设直线AB的方程为即 由已知设则它们的坐标满足方程组 消去y整理，得 依题意， ‎ 而，有题设知，点B为线段AE的中点，所以 联立三式，解得，将结果代入韦达定理中解得 ‎ ‎(3)由（2）知，，当时，得A由已知得 线段的垂直平分线l的方程为直线l与x轴的交点是的外接圆的圆心，因此外接圆的方程为 直线的方程为，于是点满足方程组 由，解得，故 当时，同理可得 ‎ ‎【考点定位】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，圆的方程等基础知识。考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的思想，考查运算能力和推理能力。‎